¿Alguna vez te has preguntado cuánto gana un banco cuando un cliente pide un préstamo? O, quizá, hayas oído hablar de los intereses que produce una cantidad de dinero en un fondo de inversiones. Pues todo esto es lo que estudia la matemática financiera. No hace falta que seas banquero o economista para entender estos conceptos e incluso poder utilizarlos; y, quizá así, puedas ganar dinero invirtiendo en algún fondo.
La matemática financiera se basa en una serie de conceptos básicos como los porcentajes y los logaritmos. Así que si aún no sabes muy bien cómo funciona esto y quieres poder entender algunas de las cartas que te envía tu banco, ¡sigue leyendo!
Conceptos básicos: logaritmos y porcentajes
Como te hemos mencionado, los primeros conceptos que necesitas conocer para trabajar con la matemática financiera son los logaritmos y los porcentajes.
Logaritmos
El logaritmo en base \(a\) de un número \(n\) es el exponente \(x\) al que se eleva \(a\) para que el resultado sea \(n\). Por tanto:
$$\log_a n=x\Leftrightarrow a^x=n$$
Los logaritmos tienen la característica de que el argumento \(n\) no puede ser negativo. Adicionalmente, los logaritmos tienen ciertas propiedades que hacen que se pueda operar con ellos más fácilmente.
Puedes aprender más sobre estas propiedades en nuestro artículo sobre Propiedades de los exponentes y logaritmos.
Cabe señalar los tipos de logaritmos que puedes encontrarte, dependiendo de la base \(a\) en la que esté el logaritmo.
Por ejemplo, los logaritmos en los que \(a=10\) se denominan logaritmos decimales.
Los logaritmos decimales son aquellos en los que su base \(a\) es igual a \(10\). Normalmente se escriben como:
$$\log_{10} n=\log n$$
Además de los logaritmos decimales existen otros cuya base es el conocido número de Euler \(e\). Estos logaritmos se conocen como logaritmos naturales o neperianos.
Los logaritmos naturales o neperianos son aquellos en los que su base \(a\) corresponde al número de Euler \(e\). Se escriben como:
$$\log_{e} n=\ln n$$
Por último, otra característica de los logaritmos es que es posible cambiar su base, haciendo la siguiente operación:
$$\log_{a} n=\dfrac{\log_b n}{\log_b a}$$
Porcentajes
Otro concepto muy importante en la matemática financiera son los porcentajes. Aunque seguramente ya tengas una idea de lo que son y cómo calcularlos, vamos a repasarlos y profundizar en su importancia para conocimientos sobre economía o finanzas.
El \(x\) por ciento de una cantidad \(C\) se calcula como:
$$C·\dfrac{x}{100}=\text{x% de C}$$
Por tanto, cuando (por ejemplo) hablamos del \(25\%\) de una cantidad \(C\) estamos realmente haciendo la operación:
$$C·\dfrac{25}{100}=C·0{,}25$$
Hagamos un ejercicio ilustrativo:
En una tienda de moda, encuentras unos pantalones cuya etiqueta marca un precio de \(60\) €. Pero, debajo hay otra etiqueta que indica que están rebajados un \(30\%\). ¿Cuánto es el descuento que se le aplica a los pantalones?
Solución:
La cantidad \(C\) a la que se aplica el descuento son \(60\) €, y el porcentaje es del \(30\%\). Aplicando la fórmula anterior:
$$C·\dfrac{x}{100}=60\text{ €}·\dfrac{30}{100}=18\text{ €}$$
Por tanto, los pantalones tienen un descuento de 18 €.
Aumentos y disminuciones porcentuales
Según el ejemplo anterior, hemos podido calcular el valor del descuento que se aplica a los pantalones; pero, ese no es el precio final de los pantalones. Para calcular el precio final de los pantalones se aplica lo que se conoce como una disminución porcentual.
Una disminución porcentual de un porcentaje \(x\%\) sobre una cantidad \(C\) se calcula como:
$$C-C\left(\dfrac{x}{100}\right)=C\left(1-\dfrac{x}{100}\right)$$
Ahora, que ya sabemos esto, avancemos.
Calcula el precio final de los pantalones del ejemplo anterior.
Solución:
Aplicamos la fórmula de disminución porcentual:
$$C\left(1-\dfrac{x}{100}\right)=60\text{ €}\left(1-\dfrac{30}{100}\right)=42\text{ €}$$
El precio final de los pantalones es de \(42\) €.
Observa que en una disminución porcentual, tal como su nombre indica, la cantidad disminuye.
Esto lo puedes comprobar utilizando el resultado del ejemplo anterior:
Si el descuento es de \(18\) €, el precio final del pantalón sería
$$60\text{ €}-18\text{ €}=42\text{ €}$$
Por tanto, son dos operaciones equivalentes para calcular una cantidad después de aplicarle una disminución porcentual.
De manera análoga, podemos definir el aumento porcentual. En este caso, se debe sumar el porcentaje aplicado a la cantidad inicial.
Un aumento porcentual de un porcentaje \(x\%\) sobre una cantidad \(C\) se calcula como:
$$C+C\left(\dfrac{x}{100}\right)=C\left(1+\dfrac{x}{100}\right)$$
Este aumento se aplica a cantidades sobre las que se añade un porcentaje; por ejemplo, en impuestos como el IVA.
El precio bruto (sin impuestos) de un lote de azulejos es de \(250\) €. Si el impuesto aplicado sobre este tipo de artículos es del \(21\%\) de IVA, ¿cuál es el precio total que debe pagar un cliente que quiere comprarlo?
Solución:
Como en este caso es un aumento porcentual, debemos aplicar su fórmula:
$$C\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=250\text{ €}\left(1+\dfrac{21}{100}\right)=302{,}5\text{ €}$$
El precio final que un cliente pagará por el lote de azulejos es de 302,5 €.
Observa que el aumento porcentual proporciona una cantidad mayor a la original.
Progresiones geométricas
Ahora vamos a explicar brevemente las progresiones geométricas que te ayudarán a entender términos como el interés simple y el interés compuesto.
Se denomina progresión geométrica a la sucesión de números —en general números reales, \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), ..., \(a_n\)— en la que cada término se calcula al multiplicar el anterior por una cantidad llamada razón \(r\).
La sucesión \(243, 81, 27, 9, 3\) es una progresión geométrica con \(a_1=243\) y razón \(r=\dfrac{1}{3}\).
Se puede llegar a una expresión general para una sucesión geométrica, creando lo que se llama término general \(a_n\):
$$a_n=a_1 r^{n-1}$$
Vamos a buscar el término general de la sucesión del ejemplo anterior.
Solución:
El primer término sería:
$$a_1=243$$
Hemos concluido que la razón es:
$$r=\dfrac{1}{3}$$
Por tanto, el término general de esta sucesión es:
$$a_n=243\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$$
Con esto, si queremos encontrar (por ejemplo) el término con \(n=3\):
$$a_3=243\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3-1}=243\left(\dfrac{1}{9}\right)=27$$
Esto coincide con el número en la tercera posición de la sucesión del ejemplo anterior.
Dicho esto, podemos realizar la suma de todos los términos de una sucesión siempre que la razón \(r\) sea menor de 1.
La suma, también llamada serie cuando la suma es infinita, de los \(n\) primeros términos de una sucesión se calcula como:
$$S_n=\dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}$$
Por ejemplo, vamos a calcular la suma de los 4 primeros términos de la sucesión del ejemplo.
Solución:
Como \(n=4\), aplicamos esto a la fórmula de la suma:
$$S_4=\dfrac{243\left[\left(\frac{1}{3}\right)^4-1\right]}{\frac{1}{3}-1}=360$$
Vamos a calcular esto manualmente, sumando directamente los cuatro primeros términos:
$$S_4=243+81+27+9=360$$
Observamos que llegamos al mismo resultado.
Aunque la primera opción pueda parecer tediosa, resulta muy útil cuando la suma es de una gran cantidad de términos.
Interés simple
Habrás escuchado hablar de intereses bancarios y créditos obtenidos. Estos conceptos surgen cuando un cliente de un banco deposita dinero en una cuenta o fondo de inversión. Este dinero produce unos beneficios al cabo de un periodo determinado.
El dinero depositado en el banco se llama capital inicial \(C_i\).
El beneficio que se obtiene después del periodo se llama interés \(I\).
El interés producido por \(100\) € en un año es el rédito, o el tipo de interés en %.
La cantidad de dinero total después del periodo se denomina capital final \(C_f\).
Cuando se deposita dinero a interés simple, los intereses producidos en cada periodo no se suman al capital inicial para generar intereses de manera conjunta. Los intereses del siguiente periodo se producen, de nuevo, sobre el capital inicial, sin contar con los intereses obtenidos del periodo anterior. Esto quiere decir que los intereses no son productivos.
La evolución de un capital inicial \(C_i\) depositado a un \(r\%\) de interés simple anual durante \(t\) años viene dada como:
$$C_f=C_i+I=C_i+C_i rt=C_i(1+rt)$$
Como el periodo está definido en años, si se quiere calcular algún periodo de meses, u otra unidad, deben hacerse los cálculos adecuados para expresarlos en años.
Veamos:
Se deposita un capital de \(5000\) € en un banco a un interés simple anual del \(7\%\) durante un periodo de \(1\) año y \(2\) meses. ¿Cuáles serán el interés obtenido y el capital final?
Solución:
Primero, debemos calcular el periodo en años para poder introducirlo en la fórmula:
$$t=\text{1 año y 2 meses}=\text{1 año}+\dfrac{2}{12}\text{ años}=1{,}17\text{ años}$$
El interés obtenido en el periodo será, entonces:
$$I=C_i rt=5000·\dfrac{7}{100}·1{,}17=409{,}5\text{ €}$$
Por tanto, el capital final será:
$$C_f=C_i+I=5000+409{,}5=5409{,}5 \text{ €}$$
Interés compuesto
Antes hemos mencionado que en el interés simple los intereses generados no son productivos. Esto quiere decir que no se suman al capital inicial en cada periodo para producir nuevos intereses. De modo contrario, en el interés compuesto sí se suma el interés producido en cada periodo al capital inicial. Esto hace que los nuevos intereses se obtengan a partir de esta nueva cantidad.
Si una cantidad de dinero se deposita a interés compuesto, en cada periodo —llamado periodo de capitalización—, los intereses se suman al capital inicial para generar nuevos intereses conjuntamente.
Periodo de capitalización de un año
El capital generado a partir de un capital inicial \(C_i\), depositado a un \(r\) por uno de interés compuesto, con capitalización anual durante \(t\) años, es:
$$C_f=C_i(1+r)^t$$
Periodo de capitalización inferior al año
Puede darse el caso de que el periodo de capitalización sea inferior al año, lo que hace que los intereses se sumen al capital inicial con mayor frecuencia a lo largo del tiempo. Esto genera mayores intereses a largo plazo.
El capital generado a partir de un capital inicial \(C_i\), depositado a un \(r\), por uno de interés compuesto con una capitalización \(k\) veces al año, durante un periodo de \(t\) años, es:
$$C_f=C_i\left(1+\dfrac{r}{k}\right)^{kt}$$
Veámoslo con un caso de ejemplo:
Se deposita un capital inicial de \(2000\) €, a un interés compuesto del \(8\%\) anual, durante un periodo de \(5\) años.
- Calcula el capital final, si el periodo de capitalización es trimestral.
- Calcula el capital final si el periodo de capitalización es mensual.
Solución:
Los datos que nos da el problema son:
$$C_i=2000\text{ €}$$
$$r=0{,}08$$
$$t=5\text{ años}$$
$$k_1=4\text{ veces/año}$$
$$k_2=12\text{ veces/año}$$
Para el caso con \(k_1=4\), aplicamos la fórmula de interés compuesto con capitalización menor de un año:
$$C_f=C_i\left(1+\dfrac{r}{k}\right)^{kt}=2000\left(1+\dfrac{0{,}08}{4}\right)^{4·5}=2971{,}9\text{ €}$$
Ahora, calculamos el capital final si \(k_2=12\):
$$C_f=2000\left(1+\dfrac{0{,}08}{12}\right)^{12·5}=2979{,}7\text{ €}$$
Como puedes observar, cuantas más veces se da la capitalización a lo largo del año, mayores son los intereses generados y, por tanto, el capital final.
Anualidades de capitalización
Las anualidades de capitalización son cantidades de dinero que se depositan cada año durante un periodo determinado, a un interés compuesto. De este modo, al final del periodo se reúne un capital que es la suma de todas las cantidades aportadas año a año y los intereses generados por estas.
El ejemplo principal de anualidad de capitalización son los planes de pensiones. Una persona deposita una cantidad determinada de dinero mes a mes, la cual va produciendo unos intereses a lo largo de los años. Al llegar a la jubilación, la persona retira el total del dinero aportado más los intereses generados a interés compuesto.
El capital \(C\) obtenido al depositar una anualidad de capitalización \(a\) durante \(t\) años a un interés compuesto de \(r\) por uno es:
$$C=\dfrac{a(1+r)\left[(1+r)^t-1\right]}{r}$$
Si el dinero aportado se da con una frecuencia inferior al año, realizando la aportación \(k\) veces al año, entonces el capital final es:
$$C=\dfrac{a\left(1+\dfrac{r}{k}\right)\left[\left(1+\dfrac{r}{k}\right)^{kt}-1\right]}{\dfrac{r}{k}}$$
Una persona tiene un plan de pensiones con el que quiere conseguir una cantidad final de \(50.000\) €, después de \(30\) años, a un interés compuesto del \(4\%\). ¿Qué cantidades debe depositar mensualmente?
Solución:
Si aplicamos la fórmula de anualidades:
$$50.000=\dfrac{a\left(1+\dfrac{0{,}04}{12}\right)\left[\left(1+\dfrac{0{,}04}{12}\right)^{12·30}-1\right]}{\dfrac{0{,}04}{12}}$$
Luego, al depejar, llegamos a:
$$a=\dfrac{50.000·\dfrac{0{,}04}{12}}{\left(1+\dfrac{0{,}04}{12}\right)\left[\left(1+\dfrac{0{,}04}{12}\right)^{12·30}-1\right]}=71{,}8\text{ €}$$
Por lo tanto, deberá ingresar \(71,8\) € mensualmente para después de \(30\) años obtener una cantidad de \(50.000\) €.
Anualidades de amortización
Otra situación financiera se da cuando un cliente pide un préstamo a una entidad, que se devuelve después un tiempo, a través del pago de una cantidad cada año. Esta es la llamada anualidad de amortización. Al final del préstamo, el cliente habrá devuelto la cantidad prestada más los intereses establecidos.
La forma más común de amortización son las hipotecas. Un cliente pide un préstamo para pagar un inmueble. El cliente irá devolviendo el dinero prestado, en cuotas (mensuales, trimestrales, anuales, etc.), con las cuales va pagando el préstamo más los intereses pactados con la entidad financiera.
La anualidad de amortización que un cliente debe pagar al final de cada uno de los \(t\) años que se ha pactado en devolver el préstamo de \(C\)€ a un interés de \(r\) por uno es:
$$a=\dfrac{Cr(1+r)^t}{(1+r)^t-1}$$
Si el pago del préstamo se hace \(k\) veces al año, la anualidad devuelta en cada pago será:
$$a=\dfrac{C\dfrac{r}{k}\left(1+\dfrac{r}{k}\right)^{kt}}{\left(1+\dfrac{r}{k}\right)^{kt}-1}$$
Patricia solicita un préstamo a su banco de \(130.000\) €, a devolver en \(25\) años, a un interés anual del \(4\%\). ¿Cuánto debe pagar mensualmente?
Solución:
Como el pago es mensual, la anualidad queda así:
$$a=\dfrac{130.000·\dfrac{0{,}04}{12}\left(1+\dfrac{0{,}04}{12}\right)^{12·25}}{\left(1+\dfrac{0{,}04}{12}\right)^{12·25}-1}=686{,}19\text{ €}$$
Por tanto, Patricia debe pagar \(686,19\) € mensualmente, durante \(25\) años, para terminar la hipoteca pedida a su banco.
Matemáticas financieras - Puntos clave
- El logaritmo en base \(a\) de un número \(n\) es el exponente \(x\) al que se eleva \(a\), para que el resultado sea \(n\). Por tanto: $$\log_a n=x\Leftrightarrow a^x=n$$
- El \(x\) por ciento de una cantidad \(C\) se calcula como: $$C·\dfrac{x}{100}$$
- Una disminución porcentual de un porcentaje \(x\%\) sobre una cantidad \(C\) se calcula como: $$C-C\left(\dfrac{x}{100}\right)=C\left(1-\dfrac{x}{100}\right)$$
- Un aumento porcentual de un porcentaje \(x\%\) sobre una cantidad \(C\) se calcula como: $$C+C\left(\dfrac{x}{100}\right)=C\left(1+\dfrac{x}{100}\right)$$
- Se denomina progresión geométrica a la sucesión de números, en general números reales, \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), ..., \(a_n\), en la que cada término se calcula al multiplicar el anterior por una cantidad llamada razón \(r\).
La suma —también llamada serie cuando la suma es infinita— de los \(n\) primeros términos de una sucesión se calcula como: $$S_n=\dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}$$
La evolución de un capital inicial \(C_i\) depositado a un \(r\%\) de interés simple anual durante \(t\) años viene dada como: $$C_f=C_i+I=C_i+C_i rt=C_i(1+rt)$$
Si una cantidad de dinero se deposita a interés compuesto, en cada periodo —llamado periodo de capitalización— los intereses se suman al capital inicial para generar nuevos intereses conjuntamente.
El capital generado a partir de un capital inicial \(C_i\) depositado a un \(r\) por uno de interés compuesto con capitalización anual durante \(t\) años es: $$C_f=C_i(1+r)^t$$
El capital generado a partir de un capital inicial \(C_i\) depositado a un \(r\) por uno de interés compuesto con una capitalización \(k\) veces al año durante un periodo de \(t\) años es: $$C_f=C_i\left(1+\dfrac{r}{k}\right)^{kt}$$
El capital \(C\) obtenido al depositar una anualidad de capitalización \(a\) durante \(t\) años a un interés compuesto de \(r\) por uno es: $$C=\dfrac{a(1+r)\left[(1+r)^t-1\right]}{r}$$
Si el dinero aportado se da con una frecuencia inferior al año, realizando la aportación \(k\) veces al año, entonces el capital final es: $$C=\dfrac{a\left(1+\dfrac{r}{k}\right)\left[\left(1+\dfrac{r}{k}\right)^{kt}-1\right]}{\dfrac{r}{k}}$$
La anualidad de amortización que un cliente debe pagar al final de cada uno de los \(t\) años que se ha pactado devolver el préstamo de \(C\)€ a un interés de \(r\) por uno es: $$a=\dfrac{Cr(1+r)^t}{(1+r)^t-1}$$
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