Matemáticas Puras

¿Cuáles son los temas de las matemáticas puras?

Puedes encontrar los siguientes temas en StudySmarter:

Pruebas

Una demostración es un argumento lógico que muestra si una afirmación matemática es cierta o no. Las pruebas matemáticas son sólidas, es decir, deben considerar todas las posibilidades y no debe haber agujeros en la lógica. Las pruebas se basan en axiomas y son increíblemente importantes: sin ellas, no sabríamos que los resultados matemáticos son exactos.

Puedes utilizar muchas técnicas diferentes para demostrar enunciados, y los artículos de StudySmarter cubren las principales que necesitas conocer.

Álgebra

El álgebra es una representación abstracta de los números que te permite hacer afirmaciones generales consistentes en operaciones matemáticas. Por ejemplo, supón que quieres escribir una afirmación matemática que incluya una cantidad desconocida. En ese caso, podrías referirte a ella como x y ver cómo cambiaría esta variable al cambiar el enunciado.

Hay unos cuantos subtemas directos que exploramos en StudySmarter, pero puedes utilizar los conceptos algebraicos en todas las áreas de las matemáticas: el álgebra es una herramienta extremadamente poderosa, y una comprensión sólida de ella es increíblemente valiosa. Incluso si te resulta confuso, nuestras guías te guiarán por los fundamentos y te permitirán aplicarlos a preguntas similares a las que puedes ver en tus exámenes.

Funciones

Las funciones se utilizan para aplicar una determinada operación o conjunto de operaciones a un valor de entrada, dando un valor de salida. A menudo se expresan como f(x), lo que significa que la función tiene como valor una variable, normalmente "x"para las funciones más sencillas. Un ejemplo sencillo es \(f(x) = x+2\), esta función sólo suma dos a una entrada representada por x.

Las funciones están estrechamente relacionadas con las gráficas, y ser capaz de trazarlas es una habilidad esencial para tus exámenes.

Geometría de coordenadas

La geometría de coordenadas es el estudio de la geometría que utiliza un sistema de coordenadas, normalmente en dos dimensiones con los ejes x e y , como se muestra a continuación. La geometría de coordenadas también puede incluir sistemas en tres dimensiones. Las funciones pueden representarse como gráficas en los sistemas de coordenadas. De nuevo, ¡las gráficas son una parte importante de este tema!

Secuencias y series

Las secuencias son una lista de números que siguen un patrón o regla, normalmente unidos por alguna función común. La expansión binómica es también una forma de secuencia estrechamente vinculada a los factoriales. Tendrás que saber generar los términos de una secuencia, identificar la función común y hallar sus sumas (la suma de una secuencia se conoce como serie).

Trigonometría

La trigonometría es el área de las matemáticas en la que intervienen los ángulos y las líneas geométricas de las formas, normalmente triángulos. Sus aplicaciones son más amplias de lo que cabría esperar -no se limitan a los triángulos- y es una de las áreas más importantes de las matemáticas que necesitas comprender para tus exámenes. Incluye funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente y sus recíprocos, radianes (una forma de medir ángulos alternativa a los grados) y otras reglas importantes.

Exponenciales y logaritmos

Las exponenciales son funciones de la forma ^Nx, que aumentan o disminuyen rápidamente al aumentar x, cuando el número N se eleva a una potencia de x. Un ejemplo de función exponencial es \(f(x) = 2^x\) y existe una función especial^ex.

Los logaritmos son la función inversa de una exponencial. Se pueden utilizar para hallar la potencia a la que se elevó un número para obtener otro número. Para cualquier exponencial, tenemos un logaritmo de la forma \(\log_a(b)\). Por ejemplo, \(\log_2(8) = 3\) porque \(2^3 = 8\). De nuevo, existe una función especial llamada logaritmo natural, que es la inversa de e - expresada como "\(\ln(x)\)".

Diferenciación

La diferenciación es un método para hallar tasas de cambio, es decir, gradientes de funciones. Podemos hallarlas trazando líneas de gradiente de las gráficas. Esto no siempre es fácil ni preciso, así que también podemos hacerlo analíticamente. El resultado de un cálculo de diferenciación se llama derivada de una función. El proceso de diferenciación se representa por \(\frac{dy}{dx}\). Esto equivale a "cambio en y dividido por cambio en x", y x e y pueden sustituirse por cualquier variable.

Hay algunas reglas diferentes que deberás recordar para resolver problemas más complejos, algunas de las cuales se indican a continuación:

• Regla del producto, se utiliza cuando dos funciones se multiplican entre sí, por ejemplo \(f(x) g(x)\).

• Regla del cociente, que se utiliza cuando dos funciones se dividen entre sí, por ejemplo: \(\frac{f(x)}{g(x)}\).

• La regla de la cadena, utilizada para funciones compuestas, por ejemplo \(f(g(x))\).

También tendrás que saber derivar funciones trigonométricas. Por ejemplo, la derivada de \(\sin(x)\) es \(\cos(x)\).

Integración

La integración es un método para hallar el área bajo una gráfica y es la operación inversa de la derivación. Una integral se representa mediante el símbolo \(\int\). Este tipo de integral se denomina integral indefinida - una integral definida se refiere al área de un rango determinado y se representa con el formato \(\int^a_b\), donde a y b significan el rango de valores deseado.

Una vez más, hay métodos clave que puedes utilizar para resolver problemas más complejos, como la integración por partes, y puedes memorizar algunos resultados estándar.

Métodos numéricos

Los métodos numéricos son formas de aproximar soluciones matemáticas que no se pueden encontrar fácilmente. Algunos ejemplos en los que podemos utilizar estos métodos son la búsqueda de raíces de ecuaciones y la integración.

Un ejemplo es el método de Newton-Raphson, un algoritmo que intenta mejorar repetidamente su precisión con cada iteración.

Los métodos numéricos tienen amplias aplicaciones y son muy importantes no sólo en matemáticas, sino también en ingeniería. A continuación se enumeran algunos ejemplos del mundo real:

• Resolución de problemas de ingeniería naval, aeroespacial y mecánica estructural.

• Algoritmos de aprendizaje automático.

• Predicción meteorológica.

• Estimaciones de precios, como las que realizan las compañías aéreas.

Como estudiante de matemáticas, el conocimiento de los métodos numéricos te ayudará a resolver problemas y a adquirir una buena base de las herramientas utilizadas en los sectores público y privado.

Vectores

Los vectores son cantidades que tienen magnitud y dirección, y puedes utilizarlos para mostrar la posición de un punto en relación con otro punto. Las coordenadas son útiles para representar vectores, ¡como se muestra en el diagrama siguiente!

Los vectores pueden expresarse mediante los vectores unitarios i y j (que representan las direcciones x e y, respectivamente). A continuación se da un ejemplo para el vector \(v = \left[ \begin{array}{c} 1\\2 \end{array} \right]\).

\(v = \left[ \begin{array}{c} 1\\2 \end{array} \right] = 1i + 2j\)

Los sistemas de vectores también pueden expresarse como vectores columna cuando tenemos dos o más vectores, y puedes ver un ejemplo a continuación.

\(u = 3i, \espacio v = 4i, \espacio w = 7i\)

Podemos expresar estos vectores como una columna.

\(Izquierda[ {inicio} {array} {c} u\ v {w} {final} {array} {derecha] = Izquierda[ {inicio} {array} {c} 3 \ 4 \ 7 \final} {array} {derecha] i)

También necesitarás conocer los fundamentos de los vectores 3D en el nivel A, donde se introduce la dirección z (representada por k).