Programación lineal

1. 
   Quieres saber cuánto puedes producir de madera en una plantación forestal.
2. Plantas cierta cantidad de árboles cada año.
3. De cada año anterior, solo puedes talar ciertos árboles.
4. Además de los árboles que plantas, solo algunos árboles maduran, para poder ser talados.

Debes maximizar la cantidad de árboles que puedes talar para producir \(X\) toneladas de madera al año. En este caso, necesitas una fórmula que contenga:

• Los árboles que se plantaron.
• Los que sobreviven.
• Los que crecen lo suficiente para ser talados.

\[\left\{\begin{array}\, a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z\geq b_1\\a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z \leq b_2 \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z\geq b_3\end{array}\right.\]

En este caso, el problema tiene las siguientes características:

• Está compuesto de tres inecuaciones.
• Tiene tres incógnitas \((x, y, z)\).
• Hay cantidades \(b_1, b_2, b_3\) que deben ser mayores, menores o iguales que las ecuaciones lineales que contienen las variables \(x, y, z\).

Por ejemplo, en nuestro sistema de ecuaciones anterior, si usáramos igualdades, las soluciones serían:

\[x=20,y=-5\]

Pero, esto no puede ser posible, ya que la cantidad de objetos debe ser positiva.

• Por ejemplo: si se busca minimizar la función objetivo, el valor que haga a la función objetivo igual que el valor mínimo que puede tomar en el área factible será el óptimo.
• Por ejemplo, si se busca maximizar función objetivo, el valor que haga a la función objetivo igual que el valor máximo que puede tomar en el área factible será el óptimo.

Por ejemplo, las soluciones que exploramos \(x=10, y=0\) y \(x=0, y=5\) son soluciones básicas.

Se tiene cierto número de fábricas \( (a,b) \). Estas fábricas deben abastecer un número de centros comerciales \((A, B, C)\). El transporte de los productos tiene cierto precio fijo entre la fábrica y los centros comerciales. Además de esto, cada centro comercial \((A,B,C)\) tiene cierta demanda del producto \(x\).Entonces: El costo de transportar el producto de la fábrica \(a\) a los centros comerciales \((A, B, C)\) es \((2, 3, 1)\). Mientras que el costo de transportar el producto \(x\) desde \(b\) hasta los centros comerciales \((A, B, C)\) es \((5, 6, 2)\). Aquí la función a minimizar ( también conocida como función objetivo) es el coste total:\[z=2x_{11} + 3x_{12} + 1x_{13}+ 5x_{21}+6x_{22}+2x_{23}\]Esta función se expresa de este modo, ya que la suma del costo es el costo total de enviar \(x\) desde \(a\) y \(b\) hasta los centros comerciales \((A, B, C)\).Esto lo podemos ver en la siguiente tabla:

Tabla 1. Costos de envío del producto \(x\) a cada uno de los centro comerciales.

Ahora, podemos poner algunas restricciones.

Primero, la demanda de \(x\) en todas las tiendas es \(200, 700, 250\) para \((A, B, C)\).

Segundo, la demanda es igual a la producción. Aquí \(a\) produce \( 600\) unidades y \(b\) produce \(650\) unidades.Lo siguiente es una restricción matemática, que significa que las soluciones deben ser positivas; no podemos tener un precio de envío negativo, por ejemplo.\[x_{ij}>0\]Las siguientes restricciones son acerca de la demanda y la oferta. En este caso, lo que se consume y envía a cada centro comercial no puede sobrepasar lo que se consume en los centros comerciales:\[x_{11}+ x_{12} + x_{13} \leq 600 \]\[ x_{21}+x_{22}+x_{23} \leq 650 \]Las últimas restricciones son aquellas de los productos vendidos en cada centro comercial. Por ejemplo: El centro comercial \(A\) debe de ser \(x_{11}+x_{12}=200\). El centro comercial \(B\) debe de ser \(x_{11}+x_{12}=700\). El centro comercial \(C\) debe de ser \(x_{11}+x_{12}=250\).De este modo, se tiene un problema en el que las restricciones están expresadas en forma de ecuaciones lineales. En este caso, lo que se puede buscar es minimizar el costo o los valores para los cuales:La función objetivo: \(z=2x_{11} + 3x_{12} + 1x_{13}+ 5x_{21}+6x_{22}+2x_{23}\) es mínima, dadas las restricciones:\[x_{ij}>0\]\[x_{11}+ x_{12} + x_{13} \leq 600 \]\[ x_{21}+x_{22}+x_{23} \leq 650 \] Venta en el centro comercial \(A\) debe de ser \(x_{11}+x_{12}=200\). Venta en el centro comercial \(B\) debe de ser \(x_{11}+x_{12}=700\). Venta en el centro comercial \(C\) debe de ser \(x_{11}+x_{12}=250\).

Una compañía automotriz decide producir tres nuevos modelos de coches. Se tienen dos plantas en el país \(A\) y \(B\). Sin embargo la corporación decide que cada planta debe producir sólo dos productos.

En este caso, se tiene para la planta \(A\) los productos \(x, y\) y para la planta \(B\) los productos \(y, z\).

Además de esto, se sabe lo siguiente:

• Se tiene un tiempo limitado de producción en cada planta de \(T_1\) para \(A\) y \(T_2\) para \(B\). Además los tiempos de producción de cada coche son \(t_1=a\), \(t_2=b\) y \(t_3=c\).

• Los costos de producción para cada nuevo coche son \(x=P_1\), \(y=P_2\) y \(z=P_3\) y el presupuesto total es \(P_t\)

• Los coches tienen ganancias de \(G_1\) para \(x\), \(G_2\) para \(y\) y \(G_3\) para \(z\).

En este caso se tienen las siguientes ecuaciones:

• El tiempo total para que se produzcan todos los coches es \(a_1(t_1)(x)+b_1(t_2)(y)\leq T_1\) en planta \(A\) y \(b_2(t_2)(x)+c_1(t_3)(z)\leq T_2\) en planta \(B\).

• Los costos totales son \(a_1(P_1)(x)+b_1(P_2)(y)+b_2(P_2)(y)+c_1(P_3)(z) \leq P_t\)

• La función a optimizar son las ganancias \(a_1(G_1)(x)+b_1(G_2)(y)+b_2(G_2)(y) G_3(c_1)(z) \leq G_T\)

Aquí los coeficientes \(a_1\), \(b_1\), \(b_2\) y \(c_1\) son el número de coches a producir en plantas \(A\) y \(B\).

Este se trata de maximizar los nutrientes que una persona consume, dados los ingredientes \((a, b, c, d,...)\) y las cantidades de carbohidratos, vitaminas, grasas y proteínas que estos contienen \((A, B, C, D…)\)

A este problema también se le asocia el costo de los ingredientes. Este costo es la función objetivo.

Aquí, nuevamente se tiene la restricción de que los valores deben ser positivos \(x_{ij}>0\).