El razonamiento matemático es una de las herramientas más importantes para la ciencia, la ingeniería y muchas otras ramas relacionadas. Además, es una herramienta necesaria para resolver problemas básicos, tanto en el colegio como a lo largo de la vida cotidiana.
¿Qué es el pensamiento lógico matemático?
El razonamiento o pensamiento lógico matemático es una herramienta que permite, entre otras cosas:
Analizar problemas, sin saber de antemano una fórmula o una solución.
Busca patrones que puedan decirnos qué pasa.
Encontrar procedimientos para buscar una solución.
El razonamiento lógico matemático permite a las personas que se encuentran con un problema saber cómo resolverlo, qué resultados esperar y cómo comprobar si estos son o no correctos (sin ningún tipo de sesgo). Por eso, podría decirse que es el primer paso para resolver problemas que se pueden presentar en muchas ramas distintas: abarcan desde la ingeniería hasta situaciones del día a día en empresas y economía.
Dos herramientas importantes de del razonamiento lógico matemático son:
Pero, el razonamiento lógico matemático no solo se basa en problemas formales; también puede ser usado para resolver problemas básicos. Pongamos un ejemplo:
Una persona desea invertir su dinero en una empresa. El ingreso de la empresa parece crecer un \(8\)% cada mes, y la perspectiva es que esta empresa continúe creciendo durante, al menos, la próxima media década.
Por cada año de crecimiento, los inversores obtienen un \(3\)% de ganancias extra anuales. Una de estas personas busca tener un incremento de sus inversiones al final de este tiempo de, al menos, un \(25\)% de lo inicialmente invertido \(30{,}000 usd\). La razón es que desea comprar una casa y la cantidad invertida será usada para la hipoteca. ¿Es esta inversión útil para él?
Por otra parte, la misma persona podría invertir su dinero en su propio negocio y obtener un \(10\)% de ganancia cada mes, durante la misma década. Sin embargo, no obtendrá ganancias anuales.
Para saber qué es más conveniente, lo primero es revisar los números. Si bien es cierto que parecería que invertir en su propio negocio le daría una mayor liquidez, no podemos saber la verdad hasta que no hagamos los cálculos necesarios:
1. Primero, hagamos los cálculos de su negocio: si por cada 12 meses él recibe un \(10\)% de ganancia por cada \(x\) cantidad invertida, los primeros meses obtendría:
a) \(30{,}000 \cdot 0{,}1 = 3{,}000\)
b) Mes 1: \(33{,}000\)
c) \(33{,}000 \cdot 0{,}1 = 3{,}300\)
d) Mes 2: \(36{,}300\)
e) \(36{,}300 \cdot 0{,}1= 3{,}630\)
f) Mes 3: \(39{,}930\)
Esto significa que al tercer mes obtendrá más de un \(25\)% de lo invertido.
Después de solo 3 meses —suponiendo que sus ganancias crecen y no hay imprevistos—, la persona podría cubrir la hipoteca, si la cantidad es lo suficientemente grande. Hay que añadir que, como en cualquier negocio, los costes subieron; además de que, al crecer, también lo harán sus gastos. Pero, según los cálculos, parece prometedor. Veamos, ahora, la empresa.
2. La empresa crece un \(8\)%, lo cual significa que se debe calcular cuánto tiempo se requiere para obtener un \(25\)% extra de los \(30{,}000 usd\)
a) \(30{,}000 \cdot 0{,}08 = 2{,}400\)
b) Mes 1: \(32{,}400\)
c) \(32{,}400 \cdot 0{,}08 = 2{,}592\)
d) Mes 2: \(34{,}992\)
e) \(34{,}592 \cdot 0{,}08= 2{,}767\)
f) Mes 3: \(37{,}791\)
Esto significa que al tercer más obtendrá, nuevamente, una ganancia mayor o equivalente al \(25\)% de lo invertido.
En ambos casos podría retirar el dinero invertido y obtener más de un \(25\)% de lo invertido; pero, si lo hace con su negocio obtendrá una mayor ganancia.
El problema anterior, aunque es extenso, ilustra por qué una simple sensación de un número mayor no implica necesariamente un resultado final mejor. Sin embargo, si tienes las bases del crecimiento porcentual y exponencial, sabrás que el crecimiento mensual podría ser mayor que el anual a largo plazo.
Podríamos resumir esto como:
El crecimiento de A es mayor que B en un intervalo; sin embargo, el crecimiento de B es más rápido que A.
Debido a que B crece más rápido que A, parece lógico que, a largo plazo, este supere al crecimiento de B.
Procedes a hacer los cálculos y confirmas tus suposiciones.
No es fácil llegar a esta conclusión; pero, si tienes las bases de razonamiento matemático, podrías saber que es necesario hacer los cálculos antes de tomar una decisión de este tipo.
Ya hemos visto cómo bases del razonamiento matemático, combinadas con un poco de agudeza, pueden ser usadas en un contexto cotidiano. Ahora procedamos a explicar casos más formales, sin dejar de lado su utilidad.
¿Qué es el razonamiento lógico?
El razonamiento lógico es una de las bases del pensamiento lógico matemático.
El razonamiento lógico es el proceso en el cual una serie de reglas o premisas son aplicadas para resolver un cierto problema.
Cabe decir que no cualquier regla puede ser aplicada para resolver un problema, dado que las reglas deben tener sentido: en el caso de un problema físico, no pueden romper las leyes de la física; en el caso de las matemáticas, no pueden sugerir resultados que podrían ser considerados absurdos.
Algunos ejemplos de esto serían:
Una máquina usa \(X\) cantidad de energía para iniciarse. La misma máquina solo puede producir una cantidad de trabajo menor a la cantidad de energía que se le proporciona, ya que no puede generar más trabajo que la energía que le es suministrada. Este es un argumento en contra de cualquier máquina de movimiento perpetuo.
Si se añaden dos reactivos químicos con masas \(A\) y \(B\), se genera una reacción química que produce un nuevo reactivo \(C\). La masa del nuevo reactivo no puede ser mayor que la de los reactivos iniciales; si pasase lo contrario, se violaría la conservación de la masa.
Si una empresa o instituto genera ganancias a través de métodos \(A\), \(B\), \(C\), las ganancias reales no pueden ser mayores que las ganancias \((A+B+C)\) menos sus gastos. Eso implicaría que la empresa tiene procesos ocultos.
Fig. 1: Si tuvieses una escala y obtuvieses un peso erróneo, dudarías de tu medición, si sabes de antemano el peso de la pieza.
Los tres ejemplos anteriores se basan en dos premisas lógicas:
Hay una serie de reglas lógicas que todo proceso sigue para tener sentido.
Las reglas solo permiten ciertos resultados.
En matemáticas estas reglas se traducen, muchas veces, en teoremas, axiomas y relaciones matemáticas. El razonamiento lógico matemático es el que nos dicta las reglas aplicadas a nuestro problema para poder resolverlo.
Veamos un ejemplo muy sencillo:
La suma y resta de los numeros: \(2\) y \(5\).
Sencillo, ¿no es así? Sin embargo, has aplicado ciertas reglas de razonamiento lógico para llegar a este resultado:
La suma de dos números positivos siempre te dará un número positivo.
Restar un número mayor a un número menor (ambos positivos) siempre te dará un número negativo.
Podrías argumentar que podrías tener reglas arbitrarias, como que la suma de dos números positivos podría decidirse como negativo; pero, ¿tendría esto sentido? Después de todo, las reglas deben ser lógicas, corresponder mundo real. Por ejemplo, si tienes dos manzanas y sumas dos manzanas más, tendrás cuatro. No podrías decir que ahora tienes -4 manzanas, porque los números negativos son usados para denotar carencia o ausencia de un objeto.
Razonamiento en la solución de problemas matemáticos y físicos
La lógica matemática y sus reglas pueden ser aplicadas para resolver o analizar un problema físico. Justo como mencionamos anteriormente, estas reglas nos dan una serie de premisas que deben cumplirse, según nuestras condiciones.
Si las reglas se rompen pueden suceder dos cosas:
Veamos dos ejemplos de reglas matemáticas aplicadas al análisis de una solución de problemas físicos o matemáticos.
Un pequeño grupo de personas tiene un club que diseña cohetes y los lanza por diversión. Los cohetes tienen sensores y este grupo de personas busca calibrarlos, lo que significa validar si los sensores funcionan correctamente.
Durante uno de estos lanzamientos, uno de los cohetes obtuvo una trayectoria parabólica, que se ve en la imagen a continuación:
Fig. 2: El lanzamiento de un cohete sigue una trayectoria parabólica \(T\) (en rojo).
Su aceleración puede ser descompuesta como \(ax\) y \(ay\).
Debe satisfacer el teorema de Pitágoras.
Cuando el cohete alcanza la posición \(A\), su combustible se acaba y desciende por la trayectoria \(B\). El sensor que detecta la aceleración del cohete \(R\) da un resultado menor que los sensores que miden su aceleración vertical \(ay\) y horizontal \(ax\).
Si las aceleraciones son,
\[ax=5m/s\]
\[ay=7m/s\]
¿es esto correcto?
Si buscas en los temas de trigonometría podrás ver la fórmula para encontrar el vector resultante \(R=\sqrt{ax^2+ay^2}\). En este caso, la aceleración del cohete está dada por la resultante. Por teorema de vectores, esta resultante es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de las aceleraciones horizontal y vertical:
\[R=\sqrt{ax^2+ay^2}\]
Si obtenemos las aceleraciones de los componentes:
\[R=\sqrt{(5)^2+(7)^2}=8.6m/s\]
Por lo tanto, el resultado contradice que el valor \(R\) sea menor que las aceleraciones horizontal y vertical:
- Los sensores vertical y horizontal tienen un error.
- El sensor de la aceleración total tiene un error.
- Todos los sensores miden resultados erróneos.
En este ejemplo, el teorema del vector resultante es la regla que, aplicada al problema, nos indica qué puede pasar.
Veamos otro ejemplo, ahora del lado matemático.
En un examen de colegio, un alumno calculó el área de un triángulo rectángulo de la siguiente manera:
\[A=\dfrac{b \cdot h}{2}\]
- donde \(b\) es la base y \(h\)es la altura.
Él obtuvo este resultado:
\[5{,}3text{unidades}^2\]
El triángulo es el siguiente:
Fig. 3: Triángulo rectángulo con la altura ligeramente más grande que la altura del triángulo.
Aquí hay un error. Lo podrás encontrar, si observas detenidamente. Analicémoslo:
- La hipotenusa es ligeramente igual que el valor de la altura.
- La hipotenusa debe cumplir con que el cuadrado de la suma de los catetos al cuadrado dé como resultado su valor.
Observemos que la hipotenusa cumpla:
\[c^2=a^2+b^2\]
sustituyendo los valores,
\[c^2=2^2+(5{,}3)^2\]
pero, en este caso:
\[5.66\text{unidades}^2\]
Lo cual es distinto a la hipotenusa en la imagen de donde el alumno calcula al área.
Esto significa que:
- El área es correcta y la hipotenusa de la imagen es la incorrecta.
- El área es incorrecta y los catetos de la imagen son incorrectos.
Cuando analizamos los dos problemas usamos teoremas matemáticos; en particular, el teorema de Pitágoras.
Un teorema es un enunciado que es tomado como cierto y puede ser demostrado con argumentos lógicos usando ciertas operaciones matemáticas.
Por ejemplo, aceptamos el teorema de Pitágoras como cierto, ya que si lo aplicamos en matemáticas o, incluso, en la vida real, este siempre nos dará la misma relación en un triángulo rectángulo:
La hipotenusa será igual a la raíz cuadrada de la suma de los catetos del triángulo rectángulo al cuadrado"
Como mencionamos, los teoremas están relacionados con las demostraciones y con la lógica.
Demostraciones
Una demostración, o prueba, es un argumento matemático (una explicación) que sigue ciertos pasos lógicos para probar si una hipótesis (conjetura) es cierta o falsa. Una vez que la hipótesis es verdadera, pasa a ser llamada teorema.
Un ejemplo sería:
¿Es la hipotenusa de un triángulo rectángulo igual a la raíz cuadrada de la suma de sus catetos?
Si la respuesta es verdadera todas las veces (lo cual es cierto), se convierte un un teorema; en este caso, el famoso teorema de Pitágoras.
Los teoremas están basados en axiomas.
Los axiomas son definidos como un estatuto o proposición que se asume como verdadero dentro de cierta área.
Por ejemplo, tres estatutos que usamos siempre en las matemáticas son:
Todos los múltiplos deson pares.
La adición es conmutativa:
La multiplicación es conmutativa:
Las demostraciones están ligadas a conceptos como la inducción y la deducción matemática.
Deducción matemática
La deducción forma una parte importante de las matemáticas y la ciencia, en general.
Deducir es el proceso de extraer información de un argumento conocido. Hablaríamos de una conclusión, si se sabe cierta información.
Un ejemplo es el siguiente argumento:
Hoy es fin de semana, pero ¡mañana será un día de trabajo! De este enunciado podemos extraer una conclusión:
- Como hoy es fin de semana, podría ser sábado o domingo.
- Al ser mañana un día de trabajo, hoy tiene que ser domingo.
Esto nos lleva a una tercera parte: podemos deducir que el enunciado podría ser incorrecto, dependiendo de si el día es sábado o domingo. Si hoy fuese sábado, el enunciado estaría equivocado.
La deducción forma parte del área de la lógica y esta nos permite probar estatutos y teoremas, además de simples expresiones como las que vimos anteriormente.
La inducción matemática
La inducción es otra herramienta muy útil en las matemáticas, ya que nos permite probar un teorema basado en cómo este se cumple para ciertos casos y cómo esto puede ser generalizado para el resto de casos, también.
En general:
Un ejemplo sería:
Todos lo números naturales multiplicados por dos son un numero par.
Partimos del axioma de que, si a un número par se le suma otro número par, el resultado será también un número par.
Empezaremos por el primer caso:
1. \(n \cdot 2\).
Empecemos por probar el caso inicial. Aquí se debe comenzar con \(n=1\), ya que cero no es un número natural.
Al sustituir, se obtiene:
\[1 \cdot 2=2\]
Yes un numero par.
2. Ahora, extendamos el caso, probando para \(n=2\):
\[2 \cdot 2=4\]
3. Lo siguiente sería hacer una generalización:
Cualquier numero puede ser expresado como: \(n+1\), asi que la multiplicacion por dos es:
\[(n+1) \cdot 2\]
Ahora, si la suma es conmutativa,
\[(n+1) \cdot 2 = 2n+2\]
Enseguida podemos generalizar: si \(2n\) es par y 2 es par, su suma es siempre un número par. Por lo tanto, la fórmula original también solo produce números pares.
Razonamiento matemático - Puntos clave
La lógica y el razonamiento matemático son importantes herramientas para resolver problemas. Para ello, seguimos reglas definidas que nos dicen el posible resultado que podemos esperar y discernir lo que es correcto de lo que es incorrecto.
Las matemáticas usan demostraciones para probar sus teoremas; estas demostraciones siguen las reglas lógicas establecidas en matemáticas o los axiomas. Algunos axiomas, por simples que parezca, son la conmutatividad de los números en la suma o multiplicación.
La inducción y la deducción son temas importantes en lógica, ciencia y matemáticas. Ambas nos permiten probar si algo es cierto o no.
References
- Fig. 1: Gram Balance Scale (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:200_-_gram_balance_scales.jpg) by Mauro Cateb (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Mauro_Cateb), Licensed by CC by SA 3.0. (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)
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