Iniciar sesión Empieza a estudiar
La app de estudio todo en uno
4.8 • +11 mil reviews
Más de 3 millones de descargas
Free
|
|

All-in-one learning app

  • Flashcards
  • NotesNotes
  • ExplanationsExplanations
  • Study Planner
  • Textbook solutions
Start studying

Razonamiento matemático

Want to get better grades?

Nope, I’m not ready yet

Get free, full access to:

  • Flashcards
  • Notes
  • Explanations
  • Study Planner
  • Textbook solutions
Razonamiento matemático

El razonamiento matemático es una de las herramientas más importantes para la ciencia, la ingeniería y muchas otras ramas relacionadas. Además, es una herramienta necesaria para resolver problemas básicos, tanto en el colegio como a lo largo de la vida cotidiana.

¿Qué es el pensamiento lógico matemático?

El razonamiento o pensamiento lógico matemático es una herramienta que permite, entre otras cosas:

  • Analizar problemas, sin saber de antemano una fórmula o una solución.

  • Busca patrones que puedan decirnos qué pasa.

  • Encontrar procedimientos para buscar una solución.

El razonamiento lógico matemático permite a las personas que se encuentran con un problema saber cómo resolverlo, qué resultados esperar y cómo comprobar si estos son o no correctos (sin ningún tipo de sesgo). Por eso, podría decirse que es el primer paso para resolver problemas que se pueden presentar en muchas ramas distintas: abarcan desde la ingeniería hasta situaciones del día a día en empresas y economía.

Dos herramientas importantes de del razonamiento lógico matemático son:

  • La lógica matemática.

  • Las demostraciones y axiomas

Pero, el razonamiento lógico matemático no solo se basa en problemas formales; también puede ser usado para resolver problemas básicos. Pongamos un ejemplo:

Una persona desea invertir su dinero en una empresa. El ingreso de la empresa parece crecer un \(8\)% cada mes, y la perspectiva es que esta empresa continúe creciendo durante, al menos, la próxima media década.

Por cada año de crecimiento, los inversores obtienen un \(3\)% de ganancias extra anuales. Una de estas personas busca tener un incremento de sus inversiones al final de este tiempo de, al menos, un \(25\)% de lo inicialmente invertido \(30{,}000 usd\). La razón es que desea comprar una casa y la cantidad invertida será usada para la hipoteca. ¿Es esta inversión útil para él?

Por otra parte, la misma persona podría invertir su dinero en su propio negocio y obtener un \(10\)% de ganancia cada mes, durante la misma década. Sin embargo, no obtendrá ganancias anuales.

Para saber qué es más conveniente, lo primero es revisar los números. Si bien es cierto que parecería que invertir en su propio negocio le daría una mayor liquidez, no podemos saber la verdad hasta que no hagamos los cálculos necesarios:

1. Primero, hagamos los cálculos de su negocio: si por cada 12 meses él recibe un \(10\)% de ganancia por cada \(x\) cantidad invertida, los primeros meses obtendría:

a) \(30{,}000 \cdot 0{,}1 = 3{,}000\)

b) Mes 1: \(33{,}000\)

c) \(33{,}000 \cdot 0{,}1 = 3{,}300\)

d) Mes 2: \(36{,}300\)

e) \(36{,}300 \cdot 0{,}1= 3{,}630\)

f) Mes 3: \(39{,}930\)

Esto significa que al tercer mes obtendrá más de un \(25\)% de lo invertido.

Después de solo 3 meses —suponiendo que sus ganancias crecen y no hay imprevistos—, la persona podría cubrir la hipoteca, si la cantidad es lo suficientemente grande. Hay que añadir que, como en cualquier negocio, los costes subieron; además de que, al crecer, también lo harán sus gastos. Pero, según los cálculos, parece prometedor. Veamos, ahora, la empresa.

2. La empresa crece un \(8\)%, lo cual significa que se debe calcular cuánto tiempo se requiere para obtener un \(25\)% extra de los \(30{,}000 usd\)

a) \(30{,}000 \cdot 0{,}08 = 2{,}400\)

b) Mes 1: \(32{,}400\)

c) \(32{,}400 \cdot 0{,}08 = 2{,}592\)

d) Mes 2: \(34{,}992\)

e) \(34{,}592 \cdot 0{,}08= 2{,}767\)

f) Mes 3: \(37{,}791\)

Esto significa que al tercer más obtendrá, nuevamente, una ganancia mayor o equivalente al \(25\)% de lo invertido.

En ambos casos podría retirar el dinero invertido y obtener más de un \(25\)% de lo invertido; pero, si lo hace con su negocio obtendrá una mayor ganancia.

El problema anterior, aunque es extenso, ilustra por qué una simple sensación de un número mayor no implica necesariamente un resultado final mejor. Sin embargo, si tienes las bases del crecimiento porcentual y exponencial, sabrás que el crecimiento mensual podría ser mayor que el anual a largo plazo.

Podríamos resumir esto como:

  • El crecimiento de A es mayor que B en un intervalo; sin embargo, el crecimiento de B es más rápido que A.

  • Debido a que B crece más rápido que A, parece lógico que, a largo plazo, este supere al crecimiento de B.

  • Procedes a hacer los cálculos y confirmas tus suposiciones.

No es fácil llegar a esta conclusión; pero, si tienes las bases de razonamiento matemático, podrías saber que es necesario hacer los cálculos antes de tomar una decisión de este tipo.

Ya hemos visto cómo bases del razonamiento matemático, combinadas con un poco de agudeza, pueden ser usadas en un contexto cotidiano. Ahora procedamos a explicar casos más formales, sin dejar de lado su utilidad.

¿Qué es el razonamiento lógico?

El razonamiento lógico es una de las bases del pensamiento lógico matemático.

El razonamiento lógico es el proceso en el cual una serie de reglas o premisas son aplicadas para resolver un cierto problema.

Cabe decir que no cualquier regla puede ser aplicada para resolver un problema, dado que las reglas deben tener sentido: en el caso de un problema físico, no pueden romper las leyes de la física; en el caso de las matemáticas, no pueden sugerir resultados que podrían ser considerados absurdos.

Algunos ejemplos de esto serían:

  • Una máquina usa \(X\) cantidad de energía para iniciarse. La misma máquina solo puede producir una cantidad de trabajo menor a la cantidad de energía que se le proporciona, ya que no puede generar más trabajo que la energía que le es suministrada. Este es un argumento en contra de cualquier máquina de movimiento perpetuo.

  • Si se añaden dos reactivos químicos con masas \(A\) y \(B\), se genera una reacción química que produce un nuevo reactivo \(C\). La masa del nuevo reactivo no puede ser mayor que la de los reactivos iniciales; si pasase lo contrario, se violaría la conservación de la masa.

  • Si una empresa o instituto genera ganancias a través de métodos \(A\), \(B\), \(C\), las ganancias reales no pueden ser mayores que las ganancias \((A+B+C)\) menos sus gastos. Eso implicaría que la empresa tiene procesos ocultos.

Razonamiento matemático razonamiento lógico báscula comprobar peso StudySmarter originalesFig. 1: Si tuvieses una escala y obtuvieses un peso erróneo, dudarías de tu medición, si sabes de antemano el peso de la pieza.

Los tres ejemplos anteriores se basan en dos premisas lógicas:

  1. Hay una serie de reglas lógicas que todo proceso sigue para tener sentido.

  2. Las reglas solo permiten ciertos resultados.

En matemáticas estas reglas se traducen, muchas veces, en teoremas, axiomas y relaciones matemáticas. El razonamiento lógico matemático es el que nos dicta las reglas aplicadas a nuestro problema para poder resolverlo.

Veamos un ejemplo muy sencillo:

La suma y resta de los numeros: \(2\) y \(5\).

Sencillo, ¿no es así? Sin embargo, has aplicado ciertas reglas de razonamiento lógico para llegar a este resultado:

  1. La suma de dos números positivos siempre te dará un número positivo.

  2. Restar un número mayor a un número menor (ambos positivos) siempre te dará un número negativo.

Podrías argumentar que podrías tener reglas arbitrarias, como que la suma de dos números positivos podría decidirse como negativo; pero, ¿tendría esto sentido? Después de todo, las reglas deben ser lógicas, corresponder mundo real. Por ejemplo, si tienes dos manzanas y sumas dos manzanas más, tendrás cuatro. No podrías decir que ahora tienes -4 manzanas, porque los números negativos son usados para denotar carencia o ausencia de un objeto.

Razonamiento en la solución de problemas matemáticos y físicos

La lógica matemática y sus reglas pueden ser aplicadas para resolver o analizar un problema físico. Justo como mencionamos anteriormente, estas reglas nos dan una serie de premisas que deben cumplirse, según nuestras condiciones.

Si las reglas se rompen pueden suceder dos cosas:

  • Las condiciones son distintas.

  • El resultado es incorrecto.

Veamos dos ejemplos de reglas matemáticas aplicadas al análisis de una solución de problemas físicos o matemáticos.

Un pequeño grupo de personas tiene un club que diseña cohetes y los lanza por diversión. Los cohetes tienen sensores y este grupo de personas busca calibrarlos, lo que significa validar si los sensores funcionan correctamente.

Durante uno de estos lanzamientos, uno de los cohetes obtuvo una trayectoria parabólica, que se ve en la imagen a continuación:

Razonamiento matemático resolución de problemas matematicos fisica StudySmarter

Fig. 2: El lanzamiento de un cohete sigue una trayectoria parabólica \(T\) (en rojo).

Su aceleración puede ser descompuesta como \(ax\) y \(ay\).

Debe satisfacer el teorema de Pitágoras.

Cuando el cohete alcanza la posición \(A\), su combustible se acaba y desciende por la trayectoria \(B\). El sensor que detecta la aceleración del cohete \(R\) da un resultado menor que los sensores que miden su aceleración vertical \(ay\) y horizontal \(ax\).

Si las aceleraciones son,

\[ax=5m/s\]

\[ay=7m/s\]

¿es esto correcto?

Si buscas en los temas de trigonometría podrás ver la fórmula para encontrar el vector resultante \(R=\sqrt{ax^2+ay^2}\). En este caso, la aceleración del cohete está dada por la resultante. Por teorema de vectores, esta resultante es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de las aceleraciones horizontal y vertical:

\[R=\sqrt{ax^2+ay^2}\]

Si obtenemos las aceleraciones de los componentes:

\[R=\sqrt{(5)^2+(7)^2}=8.6m/s\]

Por lo tanto, el resultado contradice que el valor \(R\) sea menor que las aceleraciones horizontal y vertical:

  1. Los sensores vertical y horizontal tienen un error.
  2. El sensor de la aceleración total tiene un error.
  3. Todos los sensores miden resultados erróneos.

En este ejemplo, el teorema del vector resultante es la regla que, aplicada al problema, nos indica qué puede pasar.

Veamos otro ejemplo, ahora del lado matemático.

En un examen de colegio, un alumno calculó el área de un triángulo rectángulo de la siguiente manera:

\[A=\dfrac{b \cdot h}{2}\]

  • donde \(b\) es la base y \(h\)es la altura.

Él obtuvo este resultado:

\[5{,}3text{unidades}^2\]

El triángulo es el siguiente:

Razonamiento matemático deducción matemáticas física StudySmarterFig. 3: Triángulo rectángulo con la altura ligeramente más grande que la altura del triángulo.

Aquí hay un error. Lo podrás encontrar, si observas detenidamente. Analicémoslo:

  1. La hipotenusa es ligeramente igual que el valor de la altura.
  2. La hipotenusa debe cumplir con que el cuadrado de la suma de los catetos al cuadrado dé como resultado su valor.

Observemos que la hipotenusa cumpla:

\[c^2=a^2+b^2\]

sustituyendo los valores,

\[c^2=2^2+(5{,}3)^2\]

pero, en este caso:

\[5.66\text{unidades}^2\]

Lo cual es distinto a la hipotenusa en la imagen de donde el alumno calcula al área.

Esto significa que:

  1. El área es correcta y la hipotenusa de la imagen es la incorrecta.
  2. El área es incorrecta y los catetos de la imagen son incorrectos.

Cuando analizamos los dos problemas usamos teoremas matemáticos; en particular, el teorema de Pitágoras.

Un teorema es un enunciado que es tomado como cierto y puede ser demostrado con argumentos lógicos usando ciertas operaciones matemáticas.

Por ejemplo, aceptamos el teorema de Pitágoras como cierto, ya que si lo aplicamos en matemáticas o, incluso, en la vida real, este siempre nos dará la misma relación en un triángulo rectángulo:

La hipotenusa será igual a la raíz cuadrada de la suma de los catetos del triángulo rectángulo al cuadrado"

Como mencionamos, los teoremas están relacionados con las demostraciones y con la lógica.

Demostraciones

Una demostración, o prueba, es un argumento matemático (una explicación) que sigue ciertos pasos lógicos para probar si una hipótesis (conjetura) es cierta o falsa. Una vez que la hipótesis es verdadera, pasa a ser llamada teorema.

Un ejemplo sería:

¿Es la hipotenusa de un triángulo rectángulo igual a la raíz cuadrada de la suma de sus catetos?

Si la respuesta es verdadera todas las veces (lo cual es cierto), se convierte un un teorema; en este caso, el famoso teorema de Pitágoras.

Los teoremas están basados en axiomas.

Los axiomas son definidos como un estatuto o proposición que se asume como verdadero dentro de cierta área.

Por ejemplo, tres estatutos que usamos siempre en las matemáticas son:

  1. Todos los múltiplos deson pares.

  2. La adición es conmutativa:

  3. La multiplicación es conmutativa:

Las demostraciones están ligadas a conceptos como la inducción y la deducción matemática.

Deducción matemática

La deducción forma una parte importante de las matemáticas y la ciencia, en general.

Deducir es el proceso de extraer información de un argumento conocido. Hablaríamos de una conclusión, si se sabe cierta información.

Un ejemplo es el siguiente argumento:

Hoy es fin de semana, pero ¡mañana será un día de trabajo! De este enunciado podemos extraer una conclusión:

  1. Como hoy es fin de semana, podría ser sábado o domingo.
  2. Al ser mañana un día de trabajo, hoy tiene que ser domingo.

Esto nos lleva a una tercera parte: podemos deducir que el enunciado podría ser incorrecto, dependiendo de si el día es sábado o domingo. Si hoy fuese sábado, el enunciado estaría equivocado.

La deducción forma parte del área de la lógica y esta nos permite probar estatutos y teoremas, además de simples expresiones como las que vimos anteriormente.

La inducción matemática

La inducción es otra herramienta muy útil en las matemáticas, ya que nos permite probar un teorema basado en cómo este se cumple para ciertos casos y cómo esto puede ser generalizado para el resto de casos, también.

En general:

  • Se prueba el caso que se llama caso inicial.

  • Se prueban los casos.

  • Se generaliza como real para todos los casos siguientes.

Un ejemplo sería:

Todos lo números naturales multiplicados por dos son un numero par.

Partimos del axioma de que, si a un número par se le suma otro número par, el resultado será también un número par.

Empezaremos por el primer caso:

1. \(n \cdot 2\).

Empecemos por probar el caso inicial. Aquí se debe comenzar con \(n=1\), ya que cero no es un número natural.

Al sustituir, se obtiene:

\[1 \cdot 2=2\]

Yes un numero par.

2. Ahora, extendamos el caso, probando para \(n=2\):

\[2 \cdot 2=4\]

3. Lo siguiente sería hacer una generalización:

Cualquier numero puede ser expresado como: \(n+1\), asi que la multiplicacion por dos es:

\[(n+1) \cdot 2\]

Ahora, si la suma es conmutativa,

\[(n+1) \cdot 2 = 2n+2\]

Enseguida podemos generalizar: si \(2n\) es par y 2 es par, su suma es siempre un número par. Por lo tanto, la fórmula original también solo produce números pares.

Razonamiento matemático - Puntos clave

  • La lógica y el razonamiento matemático son importantes herramientas para resolver problemas. Para ello, seguimos reglas definidas que nos dicen el posible resultado que podemos esperar y discernir lo que es correcto de lo que es incorrecto.

  • Las matemáticas usan demostraciones para probar sus teoremas; estas demostraciones siguen las reglas lógicas establecidas en matemáticas o los axiomas. Algunos axiomas, por simples que parezca, son la conmutatividad de los números en la suma o multiplicación.

  • La inducción y la deducción son temas importantes en lógica, ciencia y matemáticas. Ambas nos permiten probar si algo es cierto o no.

    • La inducción nos permite generalizar algo que asumimos cierto para cualquier resultado.

    • La deducción nos permite obtener conclusiones de cosas mencionadas en cierto contexto.


References

  1. Fig. 1: Gram Balance Scale (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:200_-_gram_balance_scales.jpg) by Mauro Cateb (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Mauro_Cateb), Licensed by CC by SA 3.0. (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)

Preguntas frecuentes sobre Razonamiento matemático

El razonamiento lógico es el proceso en el cual una serie de reglas o premisas son aplicadas para resolver cierto problema.

El pensamiento lógico matemático es una herramienta que permite entre otras cosas:


  1. Analizar problemas, sin saber de antemano una fórmula o una solución.
  2. Busca patrones que puedan decirnos qué pasa.
  3. Encontrar procedimientos para buscar una solución.

Deducir es el proceso de extraer información de un argumento conocido; en este caso, una conclusión, si se sabe cierta información.

La inducción es una herramienta muy útil en las matemáticas que nos permite probar un teorema basado en cómo este se cumple para ciertos casos y cómo esto puede ser generalizado para el resto de casos, también.

Cuestionario final de Razonamiento matemático

Pregunta

¿Qué es una demostración en matemáticas?

Mostrar respuesta

Answer

Una demostración matemática es un argumento que sigue una serie de pasos lógicos para probar un argumento.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el propósito de una demostración matemática?

Mostrar respuesta

Answer

Su función es probar un argumento matemático o una conjetura usando lógica.

Show question

Pregunta

¿Qué es una prueba por contradicción?

Mostrar respuesta

Answer

En este caso, para probar que algo es cierto, debes primero asumir lo opuesto, por lo cual debería ser falso y con esto debes probar que es falso.

Show question

Pregunta

¿Cuáles son los tres tipos de pruebas?

Mostrar respuesta

Answer

Deducción, contraejemplo, prueba por casos. Otro tipo importante de prueba es la conocida por contradicción.

Show question

Pregunta

¿Qué es una prueba por casos?

Mostrar respuesta

Answer

Las pruebas por casos consisten en examinar cada caso posible y verificar cada caso por separado.

Show question

Pregunta

¿Qué es una prueba por deducción?

Mostrar respuesta

Answer

Este método involucra el uso de hechos o teoremas, y sigue una secuencia lógica de pasos que muestran al razonamiento usado para llegar a una conclusión que prueba la conjetura.

Show question

Pregunta

¿Cuáles son los elementos claves para escribir una prueba?

Mostrar respuesta

Answer

  • Escribir cualquier información que se esté usando.

  • Asegurarse que cada paso siga una sucesión lógica.

  • Asegurarse que todos los casos posibles están cubiertos. Si la demostración es aplicada a cualquier número entero y una demostración solo funciona con los números impares, se debe demostrar que funciona también con los números pares si se pretende que sea válida para todos los números enteros.

  • Finalizar la demostración con un enunciado.

Show question

Pregunta

¿Que es un teorema?

Mostrar respuesta

Answer

Un teorema es una conjetura ha sido probada.

Show question

Pregunta

¿Cómo demuestras una identidad?

Mostrar respuesta

Answer

Para probar una identidad, simplemente se debe manipular un lado de la ecuación algebraicamente hasta que sea idéntico al otro.

Show question

Pregunta

¿Qué es un contraejemplo?

Mostrar respuesta

Answer

Un contraejemplo es un ejemplo en el cual la conjetura no es verdadera.

Show question

Pregunta

Demuestra que \(2e+1\) es impar para todos los  números pares de \(n=10\) al \(n=20\)

Mostrar respuesta

Answer

Cuando \(e=12, 2e+1=25\)

Cuando  \(e=14, 2e+1=29\)

Cuando  \(e=16, 2e+1=33\)

Cuando  \(e=18, 2e+1=37\)


Y son todos impares.

Show question

Pregunta

Prueba que la suma de cualesquiera dos números enteros menores que \(n=5\) y mayores \(n=0\), dan un número impar como resultado.

Mostrar respuesta

Answer

Los números son \(1,2,3,\).


\(1+2=3\)

\(2+3=5\)

\(3+4=7\)


Todos son impares.


Show question

Pregunta

Prueba que el siguiente enunciado no es cierto, \(x^2-3x+2=0\) para cualquier número \(x\).

Mostrar respuesta

Answer

Si \(x=3\).


\(3^2-3(3)+2=2≠0\).

Show question

Pregunta

Prueba que el siguiente enunciado es falso. Todos los números impares elevados al cuadrado son pares.

Mostrar respuesta

Answer

Si tomamos \(5\), \(5^2=25\) por lo cual el enunciado es falso.

Show question

Pregunta

¿Por qué un contraejemplo rechaza un enunciado?

Mostrar respuesta

Answer

Un enunciado debe ser cierto para todos los valores. Entonces, si un caso no cumple este enunciado es falso.

Show question

Pregunta

Encuentra un número que es un contraejemplo al siguiente enunciado afirmación: "La suma de un primo más otro número primo es siempre un número primo."

Mostrar respuesta

Answer

En este caso, podemos encontrar diversos contraejemplos:


Por ejemplo, si sumamos \(2+7=9\), tenemos que la suma de dos números primos nos da \(9\), que es divisible por \(3\). Esto ya nos serviría para probar que el enunciado es falso. (Si has pensado en \(11+7=18, 13+7=20...\)  también es correcto, dado que hay muchos posibles contraejemplos)

Show question

Pregunta

Intenta encontrar un contraejemplo para la siguiente afirmación: "La suma de \(\pi\) y un número natural puede dar un racional".

Mostrar respuesta

Answer

En este caso, no podemos encontrar un contraejemplo, ya que cualquier número natural sumado a \(\pi\) dará un número irracional. 

Show question

Pregunta

Para la afirmación: "Cualquier número elevado al cubo es impar", ¿cuál de los siguientes sería un contraejemplo?

Mostrar respuesta

Answer

No hay contraejemplo, la afirmación es correcta. 

Show question

Pregunta

Da un contraejemplo que niegue la siguiente afirmación: “Todos los números pares no son primos”

Mostrar respuesta

Answer

Si tomamos el número \(2\), este es par y es primo. Por lo tanto, hemos encontrado un contraejemplo; así que el estatuto se niega.

Show question

Pregunta

Si quieres encontrar un contraejemplo, lo primero que debes hacer es:

Mostrar respuesta

Answer

Interpretar el enunciado. 

Show question

Pregunta

¿Cuál de los siguiente es un contraejemplo para la afirmación: "Todos los números con un 3 en la posición de unidades son primos"?

Mostrar respuesta

Answer

\(33=11x3\).

Show question

Pregunta

Los contraejemplos también pueden servir para demostrar que un conjunto no cumple con una propiedad. ¿Verdadero o falso? 

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero, también nos sirven para conjuntos. 

Show question

Pregunta

Si has seguido el procedimiento y no has encontrado ningún contraejemplo, esto significa que:

Mostrar respuesta

Answer

El enunciado es cierto. Pese a esto, hay que tener cuidado. La razón es que, a raíz de nuevos descubrimientos, podrían aparecer contraejemplos que lo refutasen. 

Show question

Pregunta

¿Qué otra rama de la lógica involucran los contraejemplos?

Mostrar respuesta

Answer

Lógica proposicional. 

Show question

Pregunta

¿Cuál de las siguientes opciones es un contraejemplo de que "para cualquier valor de \(x\) la función \(x^3+x+11\) no es un cubo perfecto"?

Mostrar respuesta

Answer

Si \(x-11=0\), entonces solo \(x^3\) afectará el resultado. Por tanto, si \(x=-11\), se obtiene \(1331\).  \(11^3\) que es un cubo perfecto, por lo tanto contradice el resultado. 

Show question

Pregunta

"Siempre que dibujes dos líneas en un plano\( x-y\), estas se interceptarán". 

Prueba si esta afirmación es falsa con un contraejemplo. 

Mostrar respuesta

Answer

En este caso, solo existe un contraejemplo posible: el de dos rectas paralelas, cuya propiedad es que jamás se interceptan (es decir, nunca se cruzan). 


Pese a solo poder encontrar este contraejemplo, es suficiente para demostrar que el enunciado es falso. 

Show question

Pregunta

Necesitamos, como mínimo, dos contraejemplos para refutar un enunciado: ¿verdadero o falso? 

Mostrar respuesta

Answer

Falso: con un solo contraejemplo ya podemos refutar un enunciado.

Show question

Pregunta

¿Qué encontramos con un contraejemplo en matemáticas? 

Mostrar respuesta

Answer

Una \(x\) en un conjunto \(X\) que no cumpla \(Y\).

Show question

Pregunta

Encuentra un contraejemplo para la siguiente afirmación: "para cualquier número natural \(n,2n+1\) es un primo."

Mostrar respuesta

Answer

Si tomamos \(n=4\), entonces, el resultado es \(9\), y este no es un primo. Cuanto mayor sea el número \(n\), más sencillo será encontrar un contraejemplo, dado que habrá menos números primos.

Show question

Pregunta

¿Qué es un contraejemplo?

Mostrar respuesta

Answer

Es un ejemplo que nos sirve para demostrar que una afirmación es falsa. 

Show question

Pregunta

Menciona los tres puntos del pensamiento matemático:

Mostrar respuesta

Answer

  1. Analizar un problema sin saber de antemano una fórmula o una solución.
  2. Buscar patrones que puedan decirnos qué pasa.
  3. Encontrar procedimientos para llegar a una solución.


Show question

Pregunta

Menciona dos herramientas del pensamiento lógico matemático.

Mostrar respuesta

Answer

  1. La lógica matematica.
  2. Las demostraciones.


Show question

Pregunta

 ¿Qué es el razonamiento lógico matemático?

Mostrar respuesta

Answer

El razonamiento lógico es el proceso en el cual una serie de reglas o premisas son aplicadas para resolver cierto problema.

Show question

Pregunta

Si se tiene una masa de \(2kg\), se suma una masa de \(2kg\) y el peso obtenido sobre una bascula es \(5kg\), ¿qué podría estar mal?

Mostrar respuesta

Answer

Cualquier de las opciones.

Show question

Pregunta

Si en un problema obtienes un resultado que no hace sentido, dudarás de tu resultado: ¿verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

Show question

Pregunta

¿Que es un teorema?

Mostrar respuesta

Answer

Un teorema es un enunciado que es tomado como cierto y puede ser demostrado con argumentos lógicos, usando ciertas operaciones matemáticas.

Show question

Pregunta

¿ Es un teorema la regla de la hipotenusa formalizada por Pitágoras?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, se llama el teorema de Pitágoras.

Show question

Pregunta

¿Qué nos dice el teorema de Pitágoras?

Mostrar respuesta

Answer

"La hipotenusa será igual a la raíz cuadrada de la suma de los catetos del triángulo rectángulo al cuadrado".

Show question

Pregunta

¿La deducción y la inducción son parte de la lógica?

Mostrar respuesta

Answer

Si, son dos herramientas de la lógica matemática.

Show question

Pregunta

¿Qué es la deducción?

Mostrar respuesta

Answer

Deducir es el proceso para extraer información de un argumento conocido; en este caso, de una conclusión si se sabe cierta información. 

Show question

Pregunta

¿Cuáles son los pasos para el proceso inductivo?

Mostrar respuesta

Answer

  1. Se prueba el caso P(k), que se llama caso inicial.
  2. Se prueban los casos P(k+1).
  3. Se generaliza como real para todos los casos siguientes.


Show question

Pregunta

¿Es la conmutatividad un axioma?

Mostrar respuesta

Answer


Sí, como la asociatividad



Show question

Pregunta

¿La expresión (axb)=(bxa) se refiere la conmutatividad de la multiplicación?



Mostrar respuesta

Answer

Sí.


Show question

Pregunta

¿Qué pasa si se incumplen las reglas o premisas de un problema matemático? 



Mostrar respuesta

Answer

Ambas.

Show question

Pregunta

Supongamos que se obtienen mediciones equivocadas, ¿de dónde podría provenir este error?




Mostrar respuesta

Answer

Ambas.

Show question

Pregunta

¿Qué es la lógica?

Mostrar respuesta

Answer

La lógica es el estudio de las ideas y de cómo estas ideas son correctas o no.

Show question

Pregunta

¿Cuál es un ejemplo clásico de una prueba de lógica en el campo usando herramientas sencillas?


Mostrar respuesta

Answer

Todas las anteriores.

Show question

Pregunta

Supongamos que tienes una caja, donde no puedes ver el contenido de ella. Metes tu mano y obtienes una pelota de color negro. Se te dice que la caja está llena de pelotas de color negro. Metes la mano por segunda vez y obtienes una pelota de color negro. Metes la mano una tercera vez y obtienes otra de color negro.


¿Puedes confirmar, con \(100%\) de seguridad, que si hay \(100\) pelotas todas son de color negro?

Mostrar respuesta

Answer

No, porque tendrías que observarlas todas.


Show question

Pregunta

Supongamos que tienes una caja, y no puedes ver su contenido. Metes tu mano y obtienes una pelota de color negro. Se te dice que la caja está llena de pelotas de color negro, metes la mano unas \(10\) veces más, agitando la caja cada vez, y obtenes siempre una pelota negra. 


¿Puedes confirmar, con \(100%\) de seguridad, que si hay \(100\) pelotas todas son de color negro?

Mostrar respuesta

Answer

Definición: No, pero puede ser altamente cierto, ya que has obtenido \(11\) pelotas negras y has agitado la caja.

Show question

Pregunta

¿Qué estudia la lógica?

Mostrar respuesta

Answer

Estudia los argumentos con los cuales está hecha una idea.

Show question

60%

de los usuarios no aprueban el cuestionario de Razonamiento matemático... ¿Lo conseguirás tú?

Empezar cuestionario

Scopri i migliori contenuti per le tue materie

No hay necesidad de copiar si tienes todo lo necesario para triunfar. Todo en una sola app.

Plan de estudios

Siempre preparado y a tiempo con planes de estudio individualizados.

Cuestionarios

Pon a prueba tus conocimientos con cuestionarios entretenidos.

Flashcards

Crea y encuentra fichas de repaso en tiempo récord.

Apuntes

Crea apuntes organizados más rápido que nunca.

Sets de estudio

Todos tus materiales de estudio en un solo lugar.

Documentos

Sube todos los documentos que quieras y guárdalos online.

Análisis de estudio

Identifica cuáles son tus puntos fuertes y débiles a la hora de estudiar.

Objetivos semanales

Fíjate objetivos de estudio y gana puntos al alcanzarlos.

Recordatorios

Deja de procrastinar con nuestros recordatorios de estudio.

Premios

Gana puntos, desbloquea insignias y sube de nivel mientras estudias.

Magic Marker

Cree tarjetas didácticas o flashcards de forma automática.

Formato inteligente

Crea apuntes y resúmenes organizados con nuestras plantillas.

Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.