Razonamiento matemático

• Una máquina usa \(X\) cantidad de energía para iniciarse. La misma máquina solo puede producir una cantidad de trabajo menor a la cantidad de energía que se le proporciona, ya que no puede generar más trabajo que la energía que le es suministrada. Este es un argumento en contra de cualquier máquina de movimiento perpetuo.

• Si se añaden dos reactivos químicos con masas \(A\) y \(B\), se genera una reacción química que produce un nuevo reactivo \(C\). La masa del nuevo reactivo no puede ser mayor que la de los reactivos iniciales; si pasase lo contrario, se violaría la conservación de la masa.

• Si una empresa o instituto genera ganancias a través de métodos \(A\), \(B\), \(C\), las ganancias reales no pueden ser mayores que las ganancias \((A+B+C)\) menos sus gastos. Eso implicaría que la empresa tiene procesos ocultos.

La suma y resta de los numeros: \(2\) y \(5\).$2+5=72-5=-3$

Sencillo, ¿no es así? Sin embargo, has aplicado ciertas reglas de razonamiento lógico para llegar a este resultado:

1. La suma de dos números positivos siempre te dará un número positivo.

2. Restar un número mayor a un número menor (ambos positivos) siempre te dará un número negativo.

Un pequeño grupo de personas tiene un club que diseña cohetes y los lanza por diversión. Los cohetes tienen sensores y este grupo de personas busca calibrarlos, lo que significa validar si los sensores funcionan correctamente.

Durante uno de estos lanzamientos, uno de los cohetes obtuvo una trayectoria parabólica, que se ve en la imagen a continuación:

Fig. 2: El lanzamiento de un cohete sigue una trayectoria parabólica \(T\) (en rojo).

Su aceleración puede ser descompuesta como \(ax\) y \(ay\).

Debe satisfacer el teorema de Pitágoras.

Cuando el cohete alcanza la posición \(A\), su combustible se acaba y desciende por la trayectoria \(B\). El sensor que detecta la aceleración del cohete \(R\) da un resultado menor que los sensores que miden su aceleración vertical \(ay\) y horizontal \(ax\).

Si las aceleraciones son,

\[ax=5m/s\]

\[ay=7m/s\]

¿es esto correcto?

Si buscas en los temas de trigonometría podrás ver la fórmula para encontrar el vector resultante \(R=\sqrt{ax^2+ay^2}\). En este caso, la aceleración del cohete está dada por la resultante. Por teorema de vectores, esta resultante es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de las aceleraciones horizontal y vertical:

Si obtenemos las aceleraciones de los componentes:

\[R=\sqrt{(5)^2+(7)^2}=8.6m/s\] $\sqrt{{(10\text{m}/{\mathrm{s}}^2)}^2+{(20\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2)}^2}=22,36\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$

Por lo tanto, el resultado contradice que el valor \(R\) sea menor que las aceleraciones horizontal y vertical:

1. Los sensores vertical y horizontal tienen un error.
2. El sensor de la aceleración total tiene un error.
3. Todos los sensores miden resultados erróneos.

En este ejemplo, el teorema del vector resultante es la regla que, aplicada al problema, nos indica qué puede pasar.

En un examen de colegio, un alumno calculó el área de un triángulo rectángulo de la siguiente manera:

\[A=\dfrac{b \cdot h}{2}\]

• donde \(b\) es la base y \(h\)es la altura.

Él obtuvo este resultado:

\[5{,}3text{unidades}^2\]

El triángulo es el siguiente:

Fig. 3: Triángulo rectángulo con la altura ligeramente más grande que la altura del triángulo.

Aquí hay un error. Lo podrás encontrar, si observas detenidamente. Analicémoslo:

1. La hipotenusa es ligeramente igual que el valor de la altura.
2. La hipotenusa debe cumplir con que el cuadrado de la suma de los catetos al cuadrado dé como resultado su valor.

Observemos que la hipotenusa cumpla:

\[c^2=a^2+b^2\]

$\sqrt{a^2+b^2}=c$

sustituyendo los valores,$\sqrt{{(5,3)}^2+{\left(2\right)}^2}=c$

\[c^2=2^2+(5{,}3)^2\]

pero, en este caso:

Lo cual es distinto a la hipotenusa en la imagen de donde el alumno calcula al área.

Esto significa que:

1. El área es correcta y la hipotenusa de la imagen es la incorrecta.
2. El área es incorrecta y los catetos de la imagen son incorrectos.

¿Es la hipotenusa de un triángulo rectángulo igual a la raíz cuadrada de la suma de sus catetos?

Si la respuesta es verdadera todas las veces (lo cual es cierto), se convierte un un teorema; en este caso, el famoso teorema de Pitágoras.

Hoy es fin de semana, pero ¡mañana será un día de trabajo! De este enunciado podemos extraer una conclusión:

1. Como hoy es fin de semana, podría ser sábado o domingo.
2. Al ser mañana un día de trabajo, hoy tiene que ser domingo.

Todos lo números naturales multiplicados por dos son un numero par.

Partimos del axioma de que, si a un número par se le suma otro número par, el resultado será también un número par.

Empezaremos por el primer caso:

1. \(n \cdot 2\).$2(k+1)+2$

Al sustituir, se obtiene:

\[1 \cdot 2=2\]

Y$4$es un numero par.

2. Ahora, extendamos el caso, probando para \(n=2\):

\[2 \cdot 2=4\]

3. Lo siguiente sería hacer una generalización:

$(2K+2)+2=M$

Cualquier numero puede ser expresado como: \(n+1\), asi que la multiplicacion por dos es:

\[(n+1) \cdot 2\]

Ahora, si la suma es conmutativa,

\[(n+1) \cdot 2 = 2n+2\]

Enseguida podemos generalizar: si \(2n\) es par y 2 es par, su suma es siempre un número par. Por lo tanto, la fórmula original también solo produce números pares.