Matemáticas de Mecánica

¿Qué es la cinemática?

La cinemática se ocupa del desplazamiento, el tiempo, la velocidad y la aceleración sin tener en cuenta las fuerzas que hacen que los objetos se muevan.

Un ejemplo sencillo es el estudio de un coche en movimiento. Podemos observar el tiempo, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración.

Un coche en movimiento tendrá un cierto desplazamiento. El registro de dos momentos diferentes en movimiento introduce el concepto de tiempo. Cuando combinamos los dos, desplazamiento sobre tiempo, tenemos velocidad. Si el coche no se mueve a un ritmo constante, aparece el concepto de aceleración (el cambio de velocidad).

¿Qué es la dinámica?

Ladinámica es el área de la mecánica que estudia las fuerzas que provocan o modifican el movimiento de un objeto. La dinámica se divide en dinámica lineal y dinámica rotacional. La primera estudia un objeto que se mueve en movimiento lineal, y la segunda estudia los objetos que giran alrededor de un centro fijo, como una silla en un carrusel.

La dinámica trabaja con conceptos como las fuerzas, la masa del objeto en movimiento, su momento (definido como la velocidad multiplicada por la masa del objeto) y la energía.

La ingeniería requiere que apliques los principios de la mecánica desde el punto de vista de la cinemática o la dinámica. Sus múltiples aplicaciones van desde el diseño de aviones, puentes, coches y edificios hasta el desarrollo de cohetes para la exploración espacial.

Cantidades, unidades y supuestos en mecánica

El estudio de la mecánica está ligado a las cantidades, que son las propiedades que puedes medir de un objeto. En un objeto en movimiento, las propiedades más importantes son la distancia que recorre un objeto, el tiempo que tarda en recorrer esa distancia, la velocidad que tiene, cómo cambia la velocidad y las fuerzas que afectan al objeto.

Las cantidades a medir utilizan Unidades. Las unidades son estándares utilizados para cada propiedad que estamos midiendo. La mecánica utiliza específicamente las unidades para la velocidad (metros por segundo o m / s) y las fuerzas (Newtons), entre otras.

Otro aspecto importante al tratar la mecánica es la simplificación de los sistemas analizados. Estos supuestos te permiten estudiar la mecánica reduciendo su complejidad.

Magnitudes físicas y unidades

Al intentar comprender qué leyes rigen sistemas concretos, necesitaremos cuantificar los elementos físicos que van a intervenir en el sistema.

Cualquier cosa que podamos medir se conoce como cantidad física. Por ejemplo, si digo que peso 80 kg o que la regla mide 30 cm, puedes suponer que 80 kg es mi masa y 30 cm la longitud de la regla. Toda cantidad física debe tener dos cosas:

• magnitud

• unidades

Por ejemplo, si dices 20 kg de sal, 20 es el valor numérico de la sal que tienes. Esto no es suficiente para concluir cuánta sal tienes hasta que se añade la unidad kg . El kilogramo, o kg, es una unidad del SI, una norma internacional.

Las unidades son necesarias para especificar la cantidad concreta de qué propiedad de la sustancia estamos midiendo.

supuestos

Aplicar las matemáticas a los acontecimientos de la vida real puede ser complicado. Hay tantas variables que puede ser difícil saber por dónde empezar. Empieza por simplificar el problema todo lo que puedas.

Hay ciertas cosas que puedes ignorar, entre ellas

• La resistencia del aire.

• La fricción

• La disipación de energía.

• La distribución de masas.

Es útil conocer algunas palabras clave que se utilizan para estas suposiciones. Por ejemplo, "superficie lisa" significa que no hay rozamiento en la superficie, o si una partícula tiene una "masa despreciable", significa que puedes suponer que su peso es cero.

La aceleración en la cinemática

Recuerda que la cinemática es un área de estudio que se centra en el movimiento de los objetos, sin tener en cuenta las fuerzas que provocan los movimientos. Esta parte de la mecánica explora el concepto de movimiento y su relación con el tiempo, la velocidad y la aceleración. Los movimientos de los objetos en la cinemática pueden tener una Aceleración Constante o una Aceleración Variable.

Ecuaciones de aceleración constante y SUVAT

La Aceleración Constante también puede denominarse Ecuaciones unidimensionales del movimiento para la Aceleración Constante. Para ello se emplean las Ecuaciones SUVAT para hallar los valores de cualquiera de las variables. SUVAT es un acrónimo de las variables a estudiar. Son:

s, desplazamiento en metros [m].

u, velocidad inicial en metros por segundos [m / s].

v, velocidad final en metros por segundo [m/s].

a, aceleración en metros por segundo al cuadrado [m / s ² ] .

t, tiempo en segundos [s].

Aceleración variable

En contraste con la aceleración constante, la Aceleración Variable explora principalmente el movimiento en objetos en los que la aceleración cambia constantemente. Una aceleración variable significa una velocidad variable.

En matemáticas, las formulaciones encontradas para modelizar el movimiento de un objeto están relacionadas con un área matemática de estudio - la Diferenciación.

Un ejemplo típico es utilizar la formulación clásica SUVAT para calcular la aceleración a partir del desplazamiento. La primera derivación del desplazamiento te dará la velocidad, y si derivas la velocidad, obtendrás la aceleración.

Si te dan la formulación SUVAT para la aceleración y quieres hallar el desplazamiento, aplicas la operación inversa llamada Integración. Integrando la aceleración obtendrás la velocidad, y si integras la velocidad, obtendrás el desplazamiento. He aquí las ecuaciones:

Proyectiles y movimiento parabólico

Los proyectiles y el movimiento parabólico tratan de objetos proyectados por el aire, que describen una parábola durante su movimiento. Un ejemplo es el lanzamiento de una pelota.

Esta parte de la cinemática emplea conceptos matemáticos como la Trigonometría, debido a los ángulos implicados en los movimientos de los objetos.

Figura 1.- Movimiento parabólico de una bola, mostrando las componentes de la velocidad Vy y Vx

Fuerzas y leyes de Newton

La fuerza puede modificar el movimiento de un objeto. Una forma sencilla de describir la fuerza es como un tirón o un empujón contra un objeto. Las leyes del movimiento de Newton y sus expresiones matemáticas son fundamentales para describir las fuerzas cada día.

Estas leyes abarcan tres ideas significativas: la reciprocidad de las fuerzas, las fuerzas que alteran el estado de movimiento de un objeto y cómo se relacionan entre sí la masa, la aceleración y la fuerza.

Otro aspecto importante del estudio de las fuerzas es cómo las utilizamos para mover objetos y los mecanismos que puedes crear para producirlas o afectarlas. Dos ejemplos de estos mecanismos son las poleas y los momentos producidos por una barra.

Las fuerzas también pueden estar presentes cuando un objeto no tiene movimiento; un ejemplo es la fuerza de la gravedad sobre ti mientras permaneces de pie. El estudio de las fuerzas cuando un objeto no se mueve ( en equilibrio ) ni cambia de movimiento se denomina estática.

Las leyes de Newton

Newton ideó tres leyes específicas para describir el movimiento de un objeto.

• La primera ley del movimiento de Newton establece que un objeto continúa en estado de reposo o en estado de movimiento a velocidad constante a lo largo de una línea recta, a menos que una fuerza que actúe sobre el objeto cambie esta situación.

Una pelota rodará indefinidamente si nada impide que se mueva. En este caso, la fricción contra el aire y el suelo hará que se detenga.

• La segunda ley del movimiento de Newton establece que la velocidad de cambio temporal del momento de un cuerpo es igual, tanto en magnitud como en dirección, a la fuerza que se le impone. Puede modelarse en una ecuación como

$f=m·a$

Donde f es la fuerza en newtons, m es la masa en kg y a es la aceleración en m / s ².

• La tercera ley del movimiento de Newton también se denomina ley de las fuerzas de acción y reacción. Establece que cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el otro cuerpo ejercerá una fuerza igual en magnitud y opuesta en dirección.

Un ejemplo es cuando empujas contra una pared dura, sentirás un empujón en la otra dirección.

poleas

Una polea está formada por una rueda y un eje fijo, con una ranura en los bordes para guiar una cuerda o un cable. No es fácil levantar objetos pesados, así que ahí es donde entran en juego las poleas. Junta dos o más ruedas y pasa una rueda alrededor de ellas, y ahí tienes una excelente máquina de elevación. Cuantas más poleas añadas a tu máquina, más ventaja mecánica tendrás para levantar una carga con facilidad.

estática

La estática se ocupa de los objetos en reposo y de los que se mueven con velocidad constante. En este objeto, las fuerzas están en equilibrio, por lo que no hay cambios en su movimiento. Un ejemplo de ello son las fuerzas sobre un edificio. La estructura del edificio se ve afectada por la gravedad que tira de él hacia abajo, la fuerza se distribuye a lo largo del edificio y la estructura reacciona para crear un equilibrio.

fricción

La fricción es la fuerza que se opone al rodamiento y deslizamiento de un objeto sobre una superficie. La fricción es una fuerza disipativa, lo que significa que puede disminuir la velocidad de los objetos en movimiento.

momentos

Un momento es una fuerza que aplicas a algo multiplicada por la distancia entre el pivote y la fuerza.

Cuando una fuerza no es suficiente para dar la vuelta a algo, necesitarás también un pivote. Los pivotes y las fuerzas tienen una relación especial: si empujas con la misma fuerza más lejos del pivote, podrás girar el objeto más fácilmente debido a un momento mayor.

momento = fuerza $\times$ distancia

En un momento, la distancia es la distancia perpendicular al punto donde aplicas la fuerza.