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Números y álgebra

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Números y álgebra

Vayas donde vayas encontrarás números. Si ahora mismo sales a comprar algo para comer, la panadería estará llena de números que te indican el precio de los productos. Después, en la parada de bus, un número te indicará cuánto tiempo queda para que llegue. Para saber qué casa es la tuya, necesitas ver el número que la identifica. Y, una vez llegas a casa, el ordenador funciona mediante el uso de números, también.

Los números son una de las partes centrales de las matemáticas. Su estudio no solo se centra en las operaciones, sino también en las propiedades de los números, las funciones que relacionan diversos conjuntos de números y lo que nos pueden decir estas funciones acerca de los procesos o ideas que representan.

Álgebra y números

El álgebra es un campo de estudio muy amplio; pero, en general, implica un proceso de abstracción. Es decir, se trata de una representación sin números, que pretende estudiar ciertas características generales de un sistema de números o las relaciones entre dos o más sistemas de números.

Una simplificación de este estudio se ve en el álgebra del colegio, donde se estudian los sistemas de ecuaciones, sus soluciones, conjuntos de números y sistemas de números simples.

Conjuntos numéricos

En matemáticas, los conjuntos numéricos son los grupos de números que pueden ser creados a partir de propiedades específicas que comparten.

Ejemplos de conjuntos numéricos son:

Como comentario, se debe decir que todos los grupos de números son un caso especial de los números complejos. Por ejemplo, los números reales son un caso cuando la parte imaginaria de un número complejo es 0. Los números imaginarios son un caso especial cuando la parte real de un complejo es 0.

Números y álgebra conjuntos numéricos grupos de números StudySmarterFig. 1 Grupos de números.

Propiedades de los números

Los números que componen estos conjuntos tienen cuatro propiedades básicas, también conocidas como propiedades de los conjuntos numéricos.

Estas propiedades son:

  • Conmutatividad de suma y multiplicación:

  • Asociatividad de suma y multiplicación:

  • Identidad de suma y multiplicación:

  • Inversa de suma y multiplicación:

Si sustituyes números en , y , estas propiedades te parecerán muy obvias; pero, en realidad son muy importantes, ya que la mayoría de los teoremas matemáticos que se traducen en aplicaciones tienen estas reglas como base matemática.

Relación entre dos grupos de números

Cuando dos grupos de números están relacionados entre sí por alguna regla y, en nuestro caso específico, una regla que toma un número del grupo y lo convierte en un número único en el grupo , por medio de operaciones aritméticas se tiene una función. Veamos más detenidamente un ejemplo de esto:

Números y álgebra conjuntos numéricos funciones StudySmarterFig. 2: La función f(x)=x+2 relaciona dos grupos de números; en este caso, toma un 2 del grupo A y da un 4 del grupo B.

En este caso, debido a que la función relaciona cualquier número de a , podemos reemplazar la regla por una notación que habrás visto muchas veces:

Y si, digamos, que esta regla es la suma de un número cualquiera del grupo más 2, entonces.

Que también se puede expresar como:

Esta es una función, pero también es una expresión algebraica que relaciona dos números de dos grupos distintos, que son el grupo (que contiene los valores de) y el grupo (que contiene los valores de). Más específicamente, esta expresión algebraica es una recta.

Números y álgebra sistemas de ecuaciones recta StudySmarterFig. 3 Imagen de la función 3x+2.

Como nota curiosa, esta relación algebraica une dos grupos de números reales, sipuede tomar cualquier valor real. Si la función fuese, entonces, relacionaría los números reales y los enteros mayores o iguales que 2, yno podría ser menor que 2. En este caso, los dos grupos de números que relaciona son distintos.

Sistemas de ecuaciones

Supongamos que no tienes sola una relación algebraica, sino que tienes dos de ellas. Ambas relacionan el mismo grupo de números y , sin embargo, tienen distintas funciones. En este caso existe la posibilidad de que, en algún punto, estas dos funciones tengan el mismo valor y, por lo tanto, se encuentren entre sí.

Si quisiéramos encontrar este punto donde ambas se encuentran, se dice que buscaremos una solución del sistema de ecuaciones. En este caso, el sistema de ecuaciones estaría formado por las funciones que están, a su vez, formadas por expresiones algebraicas.

En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un sistema que posee un número finito de ecuaciones y que posee una solución.

Aquí, el término finito significa que las funciones no son incontables.

Veamos un ejemplo.

Se tienen las funciones siguientes:

Estas se pueden expresar como:

Ambas son rectas en el espacio que se pueden ver en la siguiente imagen:

Números y álgebra sistemas de ecuaciones recta StudySmarter

Fig. 4: Solución de un sistema de ecuaciones.

El punto superior donde se cruzan ambas funciones es la solución de este sistema de ecuaciones.

Hay muchos métodos para encontrar esta solución. Esto lo podrás ver en otros de nuestros artículos, de momento te mencionaremos brevemente dos de ellos:

  1. Sustitución

  2. Matrices

Cabe aclarar que un sistema de ecuaciones puede tener una solución, infinitas, ninguna o más de una, si las ecuaciones son de distinto grado.

Sustitución

El método por sustitución se basa en tratar de dejar una variable sola de un lado de la ecuación y sustituirla en la otra ecuación. De este modo, la segunda ecuación tiene únicamente una variable y se puede reducir a través de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.

Es importante aclarar que, en la mayoría de los casos, no obtendremos las expresiones algebraicas en una forma como las que vimos anteriormente, sino como una combinación de valores de y . Para comprenderlo mejor, sigamos con el ejemplo anterior.

El sistema de ecuaciones:

Sustituyendo el valor de la primera ecuación en la segunda, tendremos:

Esta sería una manera más sencilla de encontrar la solución de un sistema de ecuaciones y, en este caso, para encontrar el punto donde las y de ambas funciones son las mismas, podríamos utilizar el método de sustitución.

Podrás encontrar más sobre el método de sustitución en nuestro artículo sobre sistemas de ecuaciones lineales.

Matrices en matemáticas

Las matrices te serán útiles en muchos temas y son unas de las herramientas más útiles en ingeniería, ciencia, economía y matemáticas. Puedes leer más sobre ellas en su artículo pero te explicaremos brevemente un poco sobre ellas.

Las matrices en matemáticas son disposiciones de números que tienen una forma rectangular, estas también pueden ser construidas con variables o letras. Los números, letras o variables dentro de la matriz representan ecuaciones o propiedades matemáticas de algún objeto.

La definición suena algo complicada, ¿no? Pero quedémonos con la primera parte. Disposiciones de números que son rectangulares, construidas con números y que representan ecuaciones. Esta parte es la que usarás en tus cursos de bachillerato. Cuando trabajes con muchas ecuaciones, con muchas variables, las matrices te permitirán obtener sus soluciones más rápido que si usases el método de sustitución.

Representación matricial de ecuaciones

Otro modo de representar los sistemas de ecuaciones es mediante matrices. Veámoslo, de un modo rápido, por medio de un ejemplo:

El sistema anterior de ecuaciones:

puede ser representado en forma matricial como:

  • El recuadro a la izquierda contiene los coeficientes de las variables, es decir, los valores que multiplican cada y en ambas ecuaciones.
  • El recuadro del medio contiene las variables del sistema que son y .
  • Finalmente, el recuadro de la derecha contiene las soluciones del sistema, que son los valores a los cuales el sistema es igual.

Esto se llama representación matricial de un sistema de ecuaciones.

Cuando se tiene un sistema en forma de una matriz, este se debe reducir usando operaciones de columnas y renglones. Dos métodos que usan este sistema son conocidos como:

También hay otras reglas que nos pueden ayudar con esto, como las regla de Ruffini.

Estos métodos y las propiedades de las matrices son tratados más a profundidad en nuestro artículo sobre matrices.

Números y álgebra - Puntos clave

  • El álgebra es un campo de estudio muy amplio, pero, en general implica un proceso de abstracción. Es decir, una representación sin números que pretende estudiar ciertas características generales de un sistema de números o las relaciones entre dos o más sistemas de números.
  • Los números se componen de distintos grupos, entre ellos están los reales, complejos, imaginarios, racionales, irracionales, enteros, etc.
  • Los números tienen ciertas propiedades que sirven como base para muchos teoremas que conoces.
  • Una relación entre dos grupos de números que emplea relaciones aritméticas para relacionarlos se puede denominar una función.
  • Una recta es un tipo de función que se compone de una expresión algebraica.
  • Si se tienen dos ecuaciones algebraicas que relacionan los mismos grupos de números, es posible que en algún punto se crucen y, por lo tanto, tengan una solución.
  • Hay dos métodos para encontrar una solución: por sustitución, en el sistema de ecuaciones lineales, o con matrices.
  • El uso de matrices puede implicar métodos para resolverlas como Gauss, Gauss-Jordan o la regla de Ruffini.

Preguntas frecuentes sobre Números y álgebra

Es un número resultado de una expresión algebraica.

Las propiedades de los números naturales son las propiedades de asociatividad, conmutatividad, identidad e inverso.


Ejemplos de ellos son la conmutatividad de la suma:

1+(2+4)=1+(6)=7

(1+2)+4=(3)+4=7


Por lo que:

1+(2+4)=(1+2)+4


Otro ejemplo es la asociatividad de la multiplicación:

2x3=6

3x2=6


Por lo que:

2x3=3x2

Los números son los elementos de un conjunto numérico. En este caso, por ejemplo, los elementos numéricos del conjunto de los enteros serían solo los enteros como 1, 30, -50; y excluye otros elementos como e, i, 1/3, etc...

Un número algebraico es el resultado de encontrar la solución de un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, si se tiene el sistema:

y-3x=2

4x-2y=0


El punto P, donde los valores de x y y son los mismos, son números algebraicos de este sistema.

Cuestionario final de Números y álgebra

Pregunta

¿Qué es el álgebra?

Mostrar respuesta

Answer

Una extensión de la aritmética.

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Pregunta

¿Quién es considerado el padre del álgebra?

Mostrar respuesta

Answer

Abu Ja’far Muhammad Ibn Musa al-Khwarizm.

Show question

Pregunta

Identifica la siguiente ecuación algebraica: \(ax^2+bx+c=0\).

Mostrar respuesta

Answer

Ecuación cuadrática.

Show question

Pregunta

Escribe la propiedad distributiva de la suma.

Mostrar respuesta

Answer

\(a·(b+c)=a·b+c·b\).

Show question

Pregunta

Escribe la propiedad asociativa de la multiplicación.

Mostrar respuesta

Answer

\(a·(b·c)=(a·b)·c\).

Show question

Pregunta

Escribe la propiedad asociativa de la suma.

Mostrar respuesta

Answer

\(a+(b+c)=(a+b)+c\).

Show question

Pregunta

Escribe la propiedad del inverso aditivo del álgebra.

Mostrar respuesta

Answer

a+(-a)=0

Show question

Pregunta

¿Cuáles son los pasos para resolver ecuaciones lineales en álgebra?

Mostrar respuesta

Answer

  • Paso 1: simplificar cada lado de la ecuación, removiendo los paréntesis y combinando los términos.

  • Paso 2: añadir y sustraer términos para poder aislar la variable de interés en un solo lado de la ecuación.

  • Paso 3: multiplicar o dividir para obtener el valor de la variable desconocida.

Show question

Pregunta

¿Cuáles son los pasos para resolver problemas algebraicos?

Mostrar respuesta

Answer

  • Asignar variables a los valores desconocidos.

  • Construir las ecuaciones.

  • Resolver las ecuaciones.

Show question

Pregunta

Resuelve la ecuación \(x+2=5\).

Mostrar respuesta

Answer

\(x=3\).

Show question

Pregunta

Resuelve la ecuación \(2x-5=1\).

Mostrar respuesta

Answer

\(x=3\).

Show question

Pregunta

Resuelve la ecuación \(\dfrac{x}{3}=9\)

Mostrar respuesta

Answer

\(x=27\).

Show question

Pregunta

 Resuelve la ecuación \(2(x+6)=4(x+1)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(x=4\)

Show question

Pregunta

Resuelve la ecuación \(5x-2=3x+8\).

Mostrar respuesta

Answer

\(x=5\).

Show question

Pregunta

María tiene 15 años. Si sabemos que Benjamín tiene tres veces la edad de María menos cuatro, ¿cuál es la edad de Benjamin?

Mostrar respuesta

Answer

Benjamín tiene 41 años.

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Pregunta

Calcula \(3^4\).

Mostrar respuesta

Answer

\(81\).

Show question

Pregunta

Calcula \(2^5\).

Mostrar respuesta

Answer

\(32\).

Show question

Pregunta

Calcula \(\sqrt{16}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(4\).

Show question

Pregunta

Calcula \(\sqrt{234}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(15,29\).

Show question

Pregunta

Calcula \(\sqrt{500}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(22,36\).

Show question

Pregunta

Escribe \(x^{5/4}\) como raíz.

Mostrar respuesta

Answer

\(\sqrt[4]{x^5}\).

Show question

Pregunta

Escribe \(\sqrt[3]{x^8}\) como potencia.

Mostrar respuesta

Answer

\(x^{8/3}\).

Show question

Pregunta

Desarrolla \((3x^3y)^2\).

Mostrar respuesta

Answer

\(9x^6y^2\).

Show question

Pregunta

Desarrolla \((3x^3yz^4)^3\).

Mostrar respuesta

Answer

\(27x^9y^3z^{12}\).

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Pregunta

Simplifica \(\dfrac{x^{2y+1}}{x^{2y-1}}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(x^{2y+1-(2y-1)}=x^2\)

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Pregunta

¿Qué son las potencias?

Mostrar respuesta

Answer

La potencia es el exponente al que se eleva una variable.

Show question

Pregunta

¿Qué son las raíces?

Mostrar respuesta

Answer

 Las raíces son el inverso de las potencias.

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Pregunta

¿Cuántas soluciones puede tener una raíz con índice impar?

Mostrar respuesta

Answer

Una raíz con índice impar puede tener una sola solución.

Show question

Pregunta

¿Cuántas soluciones puede tener una raíz con índice par?

Mostrar respuesta

Answer

Una raíz con índice par puede tener dos soluciones.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la regla de la multiplicación de los exponentes?

Mostrar respuesta

Answer

\(a^n·a^m=a^{n+m}\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la regla de división de los exponentes?

Mostrar respuesta

Answer

\(\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\).

Show question

Pregunta

¿Cómo se eleva una potencia a una potencia?

Mostrar respuesta

Answer

\(\left(a^{n}\right)^m=a^{n·m}\).

Show question

Pregunta

¿Cómo calcular la potencia 0?

Mostrar respuesta

Answer

La potencia de todo número elevado a 0 es 1.

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Pregunta

¿Qué es una potencia negativa?

Mostrar respuesta

Answer

Es el inverso del número elevado a la potencia positiva.

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Pregunta

¿Qué hace un exponente fraccionario?

Mostrar respuesta

Answer

Para una fracción n/m, se toma la potencia n del número y su raíz m.

Show question

Pregunta

Simplifica \(3^2(3)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(3^3\).

Show question

Pregunta

Simplifica \(2^3(2)^2\).

Mostrar respuesta

Answer

\(2^5\).

Show question

Pregunta

Simplifica \(3^2(2)^3\).

Mostrar respuesta

Answer

No se puede simplificar.

Show question

Pregunta

Simplifica \(\dfrac{4^5}{4^2}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(4^3\).

Show question

Pregunta

Simplifica \(\dfrac{7}{7^3}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(7^{-2}=\dfrac{1}{7^2}\).

Show question

Pregunta

Simplifica \(\dfrac{2^4·2^5}{2^3}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(2^6\).

Show question

Pregunta

Simplifica \((3^4)^2\).

Mostrar respuesta

Answer

\(3^8\).

Show question

Pregunta

Simplifica \((6^0)^5\).

Mostrar respuesta

Answer

\(1\).

Show question

Pregunta

Simplifica \(3^{3/2}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(\sqrt{27}\).

Show question

Pregunta

Desarrolla \(4^{-2/3}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{16}}\).

Show question

Pregunta

¿Qué son las raíces?

Mostrar respuesta

Answer

Las raíces son expresiones que contienen una raíz cuadrada, una raíz cúbica u otras raíces. Son raíces de números que dan como resultado un número irracional, con infinitos decimales. Por lo tanto, se dejan en su forma de raíz para representarlas más exactamente. Por ejemplo, √2, √3, √5, √7, 2√2

Show question

Pregunta

¿Cómo sumas y restas raíces?

Mostrar respuesta

Answer

Para sumar o restar términos con raíces, los términos en las raíces deben ser los mismos:
a√x+b√x=(a+b)√x.

Show question

Pregunta

¿Cómo multiplicas y divides raíces?

Mostrar respuesta

Answer

Si las raíces poseen el mismo valor (índice), solo se multiplican o dividen los valores y se aplica la raíz original.
Si no, se hace primero la operación; y, después, se divide y multiplica.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el resultado de multiplicar una raíz por sí misma?

Mostrar respuesta

Answer

El valor dentro de la raiz.

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Pregunta

¿Cómo multiplicas brackets que contienen raíces?

Mostrar respuesta

Answer

Cada termino dentro de un bracket debe ser multiplicado por cada término en el otro bracket.

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