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Los números son una de las partes centrales de las matemáticas. Su estudio no solo se centra en las operaciones, sino también en las propiedades de los números, las funciones que relacionan diversos conjuntos de números y lo que nos pueden decir estas funciones acerca de los procesos o ideas que representan.
Álgebra y números
El álgebra es un campo de estudio muy amplio; pero, en general, implica un proceso de abstracción. Es decir, se trata de una representación sin números, que pretende estudiar ciertas características generales de un sistema de números o las relaciones entre dos o más sistemas de números.
Una simplificación de este estudio se ve en el álgebra del colegio, donde se estudian los sistemas de ecuaciones, sus soluciones, conjuntos de números y sistemas de números simples.
Conjuntos numéricos
En matemáticas, los conjuntos numéricos son los grupos de números que pueden ser creados a partir de propiedades específicas que comparten.
Ejemplos de conjuntos numéricos son:
- Números reales, como: \({1; 2; 0; -3;...}\) .
- Números complejos, como: \({1+3i; 2+ \sqrt{-4},...}\) .
- Números racionales, como: \({\frac{1}{2}; 0,25; \frac{3}{5};...}\) .
- Números enteros, como: \({1, 40, -100}\)
- Números irracionales, como: \({\e; \pi;...}\).
- Números imaginarios, como: \({2i; \sqrt{-102};...}\)
Como comentario, se debe decir que todos los grupos de números son un caso especial de los números complejos. Por ejemplo, los números reales son un caso cuando la parte imaginaria de un número complejo es \(0\). Los números imaginarios son un caso especial cuando la parte real de un complejo es \(0\).
Fig. 1 Grupos de números.
Propiedades de los números
Los números que componen estos conjuntos tienen cuatro propiedades básicas, también conocidas como propiedades de los conjuntos numéricos.
Estas propiedades son:
Conmutatividad de suma y multiplicación:
\[a+b=b+a\]
\[a \cdot b = b \cdot a\]
Asociatividad de suma y multiplicación:
\[a+(b+c)=(a+b)+c\]
\[a \cdot (b \cdot c)= (a \cdot b) \cdot c\]
Identidad de suma y multiplicación:
\[0+a=a\]
\[1 \cdot b = b\]
Inversa de suma y multiplicación:
\[a+(-a)=0\]
\[a \cdot \frac{1}{a}=1\]
Si sustituyes números en \(a\), \(b\) y \(c\), estas propiedades te parecerán muy obvias; pero, en realidad son muy importantes, ya que la mayoría de los teoremas matemáticos que se traducen en aplicaciones tienen estas reglas como base matemática.
Relación entre dos grupos de números
Cuando dos grupos de números están relacionados entre sí por alguna regla y, en nuestro caso específico, una regla que toma un número del grupo \(A\) y lo convierte en un número único en el grupo \(B\), por medio de operaciones aritméticas se tiene una función. Veamos más detenidamente un ejemplo de esto:
Fig. 2: La función \(f(x)=x+2\) relaciona dos grupos de números; en este caso, toma un 2 del grupo \(A\) y da un \(4\) del grupo \(B\).
En este caso, debido a que la función relaciona cualquier número de \(A\) a \(B\), podemos reemplazar la regla por una notación que habrás visto muchas veces:
\[f(x)\]
Y si, digamos, que esta regla es la suma de un número cualquiera del grupo \(A\) más \(2\), entonces.
\[f(x)=x+2\]
Que también se puede expresar como:
\[y=x+2\]
Esta es una función, pero también es una expresión algebraica que relaciona dos números de dos grupos distintos, que son el grupo \(A\) (que contiene los valores de \(y\)) y el grupo \(B\) (que contiene los valores de \(x\)). Más específicamente, esta expresión algebraica es una recta.
Fig. 3 Imagen de la función \(3x+2\).
Como nota curiosa, esta relación algebraica une dos grupos de números reales, si \(y\) puede tomar cualquier valor real. Si la función fuese \(y=\sqrt{x-2}\), entonces, relacionaría los números reales y los enteros mayores o iguales que 2, y \(x\) no podría ser menor que 2. En este caso, los dos grupos de números que relaciona son distintos.
Sistemas de ecuaciones
Supongamos que no tienes sola una relación algebraica, sino que tienes dos de ellas. Ambas relacionan el mismo grupo de números \(A\) y \(B\), sin embargo, tienen distintas funciones. En este caso existe la posibilidad de que, en algún punto, estas dos funciones tengan el mismo valor y, por lo tanto, se encuentren entre sí.
Si quisiéramos encontrar este punto donde ambas se encuentran, se dice que buscaremos una solución del sistema de ecuaciones. En este caso, el sistema de ecuaciones estaría formado por las funciones que están, a su vez, formadas por expresiones algebraicas.
En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un sistema que posee un número finito de ecuaciones y que posee una solución.
Aquí, el término finito significa que las funciones no son incontables.
Veamos un ejemplo.
Se tienen las funciones siguientes:
\[f(x)=3x+2\]
\[g(x)=4x-1\]
Estas se pueden expresar como:
\[y=3x+2\]
\[y=4x-1\]
Ambas son rectas en el espacio que se pueden ver en la siguiente imagen:
Fig. 4: Solución de un sistema de ecuaciones.
El punto superior donde se cruzan ambas funciones es la solución de este sistema de ecuaciones.
Hay muchos métodos para encontrar esta solución. Esto lo podrás ver en otros de nuestros artículos, de momento te mencionaremos brevemente dos de ellos:
Sustitución
Cabe aclarar que un sistema de ecuaciones puede tener una solución, infinitas, ninguna o más de una, si las ecuaciones son de distinto grado.
Sustitución
El método por sustitución se basa en tratar de dejar una variable sola de un lado de la ecuación y sustituirla en la otra ecuación. De este modo, la segunda ecuación tiene únicamente una variable y se puede reducir a través de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
Es importante aclarar que, en la mayoría de los casos, no obtendremos las expresiones algebraicas en una forma como las que vimos anteriormente, sino como una combinación de valores de \(x\) y \(y\). Para comprenderlo mejor, sigamos con el ejemplo anterior.
El sistema de ecuaciones:
\[y=3x+2\]
\[y=4x-1\]
Sustituyendo el valor de la primera ecuación en la segunda, tendremos:
\[3x+2=4x-1\]
\[3=x\]
Esta sería una manera más sencilla de encontrar la solución de un sistema de ecuaciones y, en este caso, para encontrar el punto donde las \(x\) y \(y\) de ambas funciones son las mismas, podríamos utilizar el método de sustitución.
Podrás encontrar más sobre el método de sustitución en nuestro artículo sobre sistemas de ecuaciones lineales.
Matrices en matemáticas
Las matrices te serán útiles en muchos temas y son unas de las herramientas más útiles en ingeniería, ciencia, economía y matemáticas. Puedes leer más sobre ellas en su artículo pero te explicaremos brevemente un poco sobre ellas.
Las matrices en matemáticas son disposiciones de números que tienen una forma rectangular, estas también pueden ser construidas con variables o letras. Los números, letras o variables dentro de la matriz representan ecuaciones o propiedades matemáticas de algún objeto.
La definición suena algo complicada, ¿no? Pero quedémonos con la primera parte. Disposiciones de números que son rectangulares, construidas con números y que representan ecuaciones. Esta parte es la que usarás en tus cursos de bachillerato. Cuando trabajes con muchas ecuaciones, con muchas variables, las matrices te permitirán obtener sus soluciones más rápido que si usases el método de sustitución.
Representación matricial de ecuaciones
Otro modo de representar los sistemas de ecuaciones es mediante matrices. Veámoslo, de un modo rápido, por medio de un ejemplo:
El sistema anterior de ecuaciones:
\[3x-y=-2\]
\[4x-y=1\]
puede ser representado en forma matricial como:
\[ \begin{pmatrix} 3 & -1\\4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix} \]
- El recuadro a la izquierda contiene los coeficientes de las variables, es decir, los valores que multiplican cada \(x\) y \(y\) en ambas ecuaciones.
- El recuadro del medio contiene las variables del sistema que son \(x\) y \(y\).
- Finalmente, el recuadro de la derecha contiene las soluciones del sistema, que son los valores a los cuales el sistema es igual.
Esto se llama representación matricial de un sistema de ecuaciones.
Cuando se tiene un sistema en forma de una matriz, este se debe reducir usando operaciones de columnas y renglones. Dos métodos que usan este sistema son conocidos como:
Método de Gauss-Jordan.
También hay otras reglas que nos pueden ayudar con esto, como las regla de Ruffini.
Estos métodos y las propiedades de las matrices son tratados más a profundidad en nuestro artículo sobre matrices.
Números y álgebra - Puntos clave
- El álgebra es un campo de estudio muy amplio, pero, en general implica un proceso de abstracción. Es decir, una representación sin números que pretende estudiar ciertas características generales de un sistema de números o las relaciones entre dos o más sistemas de números.
- Los números se componen de distintos grupos, entre ellos están los reales, complejos, imaginarios, racionales, irracionales, enteros, etc.
- Los números tienen ciertas propiedades que sirven como base para muchos teoremas que conoces.
- Una relación entre dos grupos de números que emplea relaciones aritméticas para relacionarlos se puede denominar una función.
- Una recta es un tipo de función que se compone de una expresión algebraica.
- Si se tienen dos ecuaciones algebraicas que relacionan los mismos grupos de números, es posible que en algún punto se crucen y, por lo tanto, tengan una solución.
- Hay dos métodos para encontrar una solución: por sustitución, en el sistema de ecuaciones lineales, o con matrices.
- El uso de matrices puede implicar métodos para resolverlas como Gauss, Gauss-Jordan o la regla de Ruffini.
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Preguntas frecuentes sobre Números y álgebra
¿Qué es un número algebraico?
Es un número resultado de una expresión algebraica.
¿Cuáles son las propiedades de los números naturales, con ejemplos?
Las propiedades de los números naturales son las propiedades de asociatividad, conmutatividad, identidad e inverso.
Ejemplos de ellos son la conmutatividad de la suma:
1+(2+4)=1+(6)=7
(1+2)+4=(3)+4=7
Por lo que:
1+(2+4)=(1+2)+4
Otro ejemplo es la asociatividad de la multiplicación:
2x3=6
3x2=6
Por lo que:
2x3=3x2
¿Cuáles son los elementos de los conjuntos numéricos?
Los números son los elementos de un conjunto numérico. En este caso, por ejemplo, los elementos numéricos del conjunto de los enteros serían solo los enteros como 1, 30, -50; y excluye otros elementos como e, i, 1/3, etc...
¿Qué es un número algebraico, con ejemplos?
Un número algebraico es el resultado de encontrar la solución de un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, si se tiene el sistema:
y-3x=2
4x-2y=0
El punto P, donde los valores de x y y son los mismos, son números algebraicos de este sistema.
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