Cálculo

¿De dónde procede el cálculo?

Entonces, ¿de dónde viene el cálculo? ¿Cómo llegaron los primeros matemáticos a estas complejas ideas?

Para hacernos una idea de cómo se pudo inventar el cálculo, empecemos con un problema aparentemente sencillo: hallar el área de un círculo. Ya conocemos la fórmula del área de un círculo:

Gráfica de un círculo

Pero, ¿por qué es así? ¿Qué proceso de pensamiento nos lleva a esta observación? Supongamos que no conocemos esta fórmula. ¿Cómo podemos intentar hallar el área de un círculo sin ella? Para empezar, intentemos dividir el círculo en formas cuyas áreas sean más sencillas de calcular.

Encontrar el área de un círculo utilizando formas que conocemos

Y después de intentar obtener cada vez más formas de modo que cada vez quede menos área del círculo, probemos una idea diferente: dividir el círculo en anillos concéntricos.

Gráfica de círculos concéntricos

Eso está muy bien, pero ¿ahora qué? Ahora, tomemos sólo uno de estos anillos, que tiene un radio más pequeño, al que llamaremos , que está entre 0 y 5.

Gráfica de círculos concéntricos con un anillo resaltado

A partir de aquí, vamos a enderezar este anillo.

Anillo enderezado a partir de círculos concéntricos

Con el anillo enderezado, ahora tenemos una forma cuya área es más fácil de encontrar. Pero, ¿qué forma tiene un área aún más fácil de encontrar? Un rectángulo. Para simplificar, podemos aproximar la forma del anillo enderezado como un rectángulo.

Aproximación del anillo enderezado como un rectángulo

Este rectángulo tiene una anchura igual a la circunferencia del anillo, o , y una altura igual al radio menor de que hayas elegido antes. Cambiemos el nombre de por , para representar una pequeña diferencia de radio entre un anillo de la circunferencia y el siguiente. Entonces, ¿qué tenemos ahora? ¡Tenemos un montón de anillos del círculo aproximados como rectángulos cuyas áreas sabemos encontrar! Y, para elecciones cada vez más pequeñas de (o dividiendo el círculo en anillos cada vez más pequeños), nuestra aproximación al área del anillo se hace cada vez más exacta.

Vayamos un paso más allá y rectifiquemos todos los anillos del círculo en rectángulos y alineémoslos uno al lado del otro. A continuación, colocando estos rectángulos en una gráfica de la recta , podemos ver que cada rectángulo se extiende hasta el punto en que justo toca la recta.

Anillos de círculos concéntricos colocados sobre una gráfica de la recta: y = 2πR

Y para elecciones cada vez más pequeñas de , podemos ver que la aproximación del área total del círculo se hace más exacta.

Anillos de círculos concéntricos colocados sobre una gráfica de la recta: y=2πR con una elección menor de dr

Ahora te darás cuenta de que a medida que se hace más pequeño, el número de rectángulos se hace bastante grande, y ¿no te llevará mucho tiempo sumar todas sus áreas? Echa otro vistazo al gráfico, y también te darás cuenta de que las áreas totales de los rectángulos en realidad se parecen al área que hay debajo de la línea, ¡que es un triángulo!

Áreas totales de círculos concéntricos representadas como el área bajo la gráfica

Conocemos la fórmula del área de un triángulo:

Que en este caso sería:

¡Que es la fórmula del área de un círculo!

Pero espera, ¿cómo hemos llegado hasta aquí? Demos un paso atrás y pensemos en ello. Teníamos un problema que podía resolverse aproximándolo con la suma de muchos números más pequeños, cada uno de los cuales se parecía a para valores de R de 0 a 5. Y ese pequeño número era nuestra elección del grosor de cada anillo del círculo. Aquí hay que tener en cuenta dos cosas importantes:

• no sólo influye en las áreas de los rectángulos que estamos sumando, sino que también representa el espaciado entre los distintos valores de R.

• Cuanto menor sea la elección de , mejor será la aproximación. En otras palabras, cuanto más pequeño hagamos , más precisa será la respuesta.

Son ideas muy interesantes, ¿verdad? Ahora te preguntarás, ¿por qué tanto esfuerzo para algo tan sencillo como encontrar el área de un círculo? Bueno, pensemos un momento... Ya que hemos sido capaces de hallar el área de un círculo reformulando la pregunta como hallar el área bajo una gráfica, ¿no podríamos aplicarlo también a otras gráficas más complejas? La respuesta es sí, ¡podemos! Digamos, por ejemplo, que tomamos la gráfica de , una parábola.

Gráfica de una parábola

¿Cómo podríamos hallar el área bajo una gráfica como ésta, digamos entre los valores 0 y 5? Éste es un problema mucho más difícil, ¿verdad? Y replanteemos ligeramente este problema: fijemos el extremo izquierdo en 0 y dejemos que el extremo derecho varíe. Ahora la pregunta es, ¿podemos encontrar una función, llamémosla , que nos dé el área bajo la parábola entre el extremo izquierdo de 0 y el extremo derecho de x?

Área bajo una parábola

Esto nos lleva al primer gran tema del cálculo: las integrales. Para utilizar el vocabulario del cálculo, la función que hemos llamado se conoce como la integral de la función de la gráfica. En nuestro caso, sería la integral de . O en una notación más matemática:

A medida que avancemos en el cálculo, descubriremos las herramientas que nos ayudarán a encontrar , pero por ahora, lo que representa la función sigue siendo un misterio. Lo que sí sabemos es que nos da el área bajo la parábola de un extremo izquierdo fijo y un extremo derecho variable. Ahora tómate un momento y piensa qué más sabemos sobre la relación entre y la gráfica, .

Cuando aumentamos x sólo un poco, por ejemplo en una cantidad que llamaremos , vemos un cambio resultante en el área bajo la gráfica, que llamaremos . Esta diminuta diferencia de área, , puede aproximarse como un rectángulo, igual que pudimos aproximar como un rectángulo en nuestro ejemplo del círculo. La aproximación rectangular para , sin embargo, tiene una altura de y una anchura de . Y para elecciones cada vez más pequeñas de , la aproximación del área bajo la gráfica se hace cada vez más precisa, igual que en el ejemplo del círculo.

Un cambio en el área bajo una parábola

Esto nos da una nueva forma de pensar sobre cómo está relacionado con . Cambiar la salida de por es aproximadamente igual a , donde es lo que tú elijas, multiplicado por . Esta relación puede reordenarse a:

Y, por supuesto, esta relación es cada vez más precisa a medida que elegimos valores cada vez más pequeños para . Aunque la función sigue siendo un misterio para nosotros, esta relación es clave y, de hecho, es válida para mucho más que la gráfica de .

Esto nos lleva al siguiente gran tema del cálculo: las derivadas. La relación entre , , y la función de la gráfica, , escrita como el cociente de dividido por es igual a , se llama derivada de A. En notación matemática:

Ahora bien, te habrás dado cuenta de que las fórmulas generales que hemos escrito para la derivada y la integral parecen estar relacionadas entre sí. ¡Eso es porque se relacionan! Las derivadas y las integrales son en realidad inversas entre sí. En otras palabras, una derivada puede utilizarse para hallar una integral y viceversa. El vaivén entre integrales y derivadas en el que la derivada de una función para el área bajo una gráfica da la función que define la propia gráfica se llama Teorema Fundamental del Cálculo.

Resumamos un poco. En términos generales, una derivada es una medida de la sensibilidad de una función a pequeños cambios en su entrada, mientras que una integral es una medida del área bajo una gráfica. El Teorema Fundamental del Cálculo relaciona ambas y muestra cómo son inversas entre sí.

Ahora que tenemos una idea sólida de qué es el cálculo y de dónde procede, profundicemos un poco más. De nuestros ejemplos de la sección anterior podemos deducir que existen algunos conceptos principales del cálculo:

• El cálculo consiste en aproximarse o ser más preciso a medida que un valor se acerca a otro valor

• Hay dos tipos de cálculo:

  • Cálculo que trata de derivadas o cálculo diferencial

  • Cálculo que trata de integrales, o cálculo integral

• Hay un teorema fundamental del cálculo que relaciona el cálculo diferencial y el integral

La idea de límite en el cálculo

Antes de profundizar en los tipos de cálculo, echemos un vistazo a lo que diferencia al cálculo de otros tipos de matemáticas: la idea de límite. ¿Recuerdas que en la sección anterior hablamos de elegir valores cada vez más pequeños para o ? Cuando consideramos estos valores cada vez más pequeños, estamos mejorando la precisión de nuestras aproximaciones al hacer que o se acerquen a cero. ¿Por qué no utilizar directamente el cero? Recuerda que la fórmula de la derivada de A es el cociente de dividido por , ¡y dividir por cero es imposible! Aquí es donde entra en juego el límite. Esencialmente, el límite nos permite ver cuál debe ser la respuesta a un problema (por ejemplo, el área bajo una gráfica) a medida que nos acercamos más y más a cualquier valor que sea el límite. En el caso de nuestros ejemplos de la sección "¿De dónde viene el cálculo?", el límite era cero.

Cálculo diferencial

El cálculo diferencial es la rama del cálculo que trata de la tasa de variación de una cantidad con respecto a otra cantidad. En esta rama, dividimos las cosas en secciones cada vez más pequeñas y estudiamos cómo cambian de un momento a otro.

Cálculo integral

Cuando conocemos la tasa de variación de una función, podemos utilizar el cálculo integral para hallar una cantidad. En esta rama, sumamos pequeñas secciones de cosas para descubrir su comportamiento global.

El teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo vincula el cálculo diferencial y el integral al afirmar que la diferenciación y la integración son inversas entre sí y se divide en dos partes:

• Parte 1 - muestra la relación entre derivadas e integrales

• Parte 2 - utiliza la relación establecida en la parte 1 para mostrar cómo calcular una integral en un intervalo concreto

Las definiciones del teorema fundamental del cálculo son las siguientes:

Aplicaciones prácticas del cálculo

El cálculo tiene una gran variedad, y una larga historia, de aplicaciones útiles. En general, el cálculo se utiliza en aplicaciones STEM (Ciencia, Tecnología, Ingeniería y Matemáticas), así como en medicina, economía y construcción, por nombrar algunas. En el antiguo Egipto se utilizó una forma de cálculo para construir las pirámides. Pero el cálculo que aprendemos hoy es el que desarrollaron Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII.

Cálculo AP: AB y BC

El Cálculo AP se divide en dos cursos: Cálculo AP AB y Cálculo AP BC. La diferencia entre estos dos cursos es que el Cálculo AP BC cubre todo lo que cubre el Cálculo AP AB, más un par de temas extra. Echa un vistazo a nuestros artículos sobre cada tema para un estudio completo del Cálculo AP.

Cálculo AP AB

El curso de Cálculo AP AB abarca muchos temas de cálculo. A continuación se ofrece un breve resumen de los mismos:

• Funciones
• Límites y Continuidad
• Derivadas
• Aplicaciones de las derivadas
• Integrales
• Aplicaciones de las integrales
• Ecuaciones diferenciales

Cálculo AP BC

El curso de Cálculo AP BC abarca todo lo que hace el Cálculo AP AB, más estos temas adicionales:

• Secuencias y series
• Ecuaciones paramétricas
• Coordenadas polares
• Vectores