Estadísticas

La estadística es la rama de las matemáticas que se utiliza para recopilar, analizar y presentar datos.

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    ¿Cuáles son los temas de la estadística?

    Probabilidad

    En probabilidad exploramos la idea de sucesos independientes y dependientes. Aprenderás a calcular la probabilidad de que se produzca un suceso utilizando diversos métodos, como los diagramas de árbol y de Venn, y los sucesos condicionales y mutuamente excluyentes.

    Con los diagramas de Venn, puedes averiguar cómo pueden ocurrir sucesos al mismo tiempo.

    U = números menores de 20

    A = números pares

    B = múltiplos de 3

    Soluciones:

    estadística diagrama de venn studysmarter

    Ejemplo de diagrama de Venn

    Solución:

    Hay 19 números en el conjunto.

    Hay 3 números dentro de la intersección.

    Así que \(P(A \cap B) = \frac{3}{19}\)

    Recopilación de datos

    Aquí nos ocuparemos del muestreo, incluidos los distintos métodos de muestreo y los diferentes tipos de datos. Algunas personas consideran que las preguntas sobre muestreo son las más fáciles de responder en un examen, pero también pueden ser bastante farragosas, por lo que es importante prestar atención, y así entenderás exactamente lo que se te pide.

    Hay algunas formas diferentes de categorizar los datos. Podemos categorizar los datos como cuantitativos o cualitativos, así como descriptivos e inferenciales.

    En la escuela hay 400 alumnos, 250 chicas y 150 chicos. Explica cómo tomar una muestra estratificada de 40 alumnos del colegio.

    Solución.

    Queremos elegir 25 chicas y 15 chicos (de modo que tengamos la misma proporción que toda la población). Un método consiste en asignar a todas las chicas un número del 1-250. Luego, utilizando un generador de números aleatorios, genera 25 números y elige a esas 25 chicas.

    Repite lo mismo con los chicos: asígnales un número del 1-150. A continuación, utiliza tu generador de números aleatorios para generar 15 números y luego elige a esos 15 chicos.

    Medidas de localización y dispersión

    Necesitamos analizar los datos que recogemos, y la mejor forma de hacerlo es utilizando medidas de localización y dispersión. Esto nos permite comparar los datos mediante

    • La media y la desviación típica.
    • Utilizar análisis de datos sencillos, como la moda y el rango.
    • Encontrar cuartiles y percentiles.
    • Utilizar el álgebra para codificar estos datos.

    En un día elegido al azar, cada uno de los 32 alumnos de una clase registró el tiempo (t) en minutos, con aproximación al minuto más cercano, que tardó en llegar a la escuela. Halla la media y la desviación típica de los siguientes datos:

    \[\suma t = 1414 \text{ y } \suma t^2 = 69378\]

    Soluciones:

    Media: \(\frac{{suma t}{n} = \frac{1414}{32} = 44,1875\})

    Desviación por defecto: \(\sqrt{\frac{{suma t}{n} - \Big( \frac{{suma t}{n} \Big)^2} = \frac{69378}{32} - (44,1875)^2 = 215,52734375\})

    Distribuciones estadísticas

    Una parte vital de la estadística es comprender la distribución de los datos. Las distribuciones son esencialmente funciones matemáticas que dan la probabilidad de que se produzca una función. Estudiaremos dos distribuciones principales: la distribución binomial y la distribución normal.

    La distribución binomial se aplica siempre que haya dos resultados posibles mutuamente excluyentes en un experimento. Si un experimento cuya probabilidad de que se produzca el resultado es p se realiza n veces, la probabilidad de que este resultado se produzca n veces es

    \¡\(P(X = a) = \left( \begin{array} {c} n \\a \end{array} \right) p^{a} (1-p)^{n-a}\) con \(\left( \begin{array} {c} n \a \end{array} \right) = \frac{n!}{a!(n-a)!}\}) (también escrito como \N(^n{C}_a\))

    Se lanza un dado 10 veces. El resultado de sacar 5 muestra una distribución binomial: \(X sim B(10, frac{1}{6})|). Calcula \(P(X \leq 3)\).

    Solución.

    Es tan sencillo como calcular P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2) y P(X = 3) y sumarlas. Por tanto \(P(X = 0) = \left( \begin{array} {c} 10 \\\ 0 \end{array} \right) (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^{10} = 0.1615055829; \quad P(X=1) = \left( \begin{array} {c} 10 \\ 1 \end{array} \right) (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^9 = 0.3230111658; \quad P(X=2) = \left( \begin{array} {c} 10 \ 2 \end{array} \right) (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^8 = 0.2907100492; \quad P(X=3) = \left( \begin{array} {c} 10 \ 3 \end{array} \right) (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^7 = 0,155043596)

    Sumando todo esto obtenemos \(P(X \leq 3) = 0,9302721575\)

    En algunos exámenes, tendrás acceso a un cuadernillo de fórmulas con una sección dedicada a la estadística. Compruébalo en la página web de tu tribunal. Las fórmulas más útiles son las de la distribución binomial y la probabilidad mutualista; sin embargo, el cuadernillo también contendrá tablas estadísticas. Puede que no las necesites si sabes utilizar una calculadora, pero muestran los valores de probabilidad en los niveles de significación de las distribuciones.

    Comprobación de hipótesis

    La comprobación de hipótesis consiste en utilizar la distribución para calcular si podemos decir o no que una afirmación ( una hipótesis) es cierta. En el tema de comprobación de hipótesis, veremos cómo realizar pruebas de una cola y de dos colas y cómo plantear una hipótesis nula.

    Una cafetería afirma que a una cuarta parte de los pasteles que le envían les faltan cerezas en la parte superior. Para probar esta afirmación, se registra el número de pasteles sin cerezas en una muestra aleatoria de 40. Utilizando un nivel de significación del 5%, halla la región crítica para una prueba de dos colas de la hipótesis de que la probabilidad de que falte una cereza es 0,26.

    Soluciones:

    Se trata de una prueba de dos colas, lo que significa que tendremos que mirar ambos extremos. Empieza por un número aleatorio en ambos extremos.

    Extremo inferior:

    P(X ≤ 6) = 0,07452108246

    P(X ≤ 5) = 0,03207217407

    P(X ≤ 4) = 0,01136083855

    Como se trata de una prueba de dos colas, queremos estar lo más cerca posible de 0,025:

    P(X ≤ 4) < 0,025 < P(X ≤ 5).

    Extremo superior:

    P(X ≥ 16) = 1 - P(X ≤ 15) = 0,03703627013

    P(X ≥ 17) = 1 - P(X ≤ 16) = 0,0171086868649

    De nuevo, queremos estar lo más cerca posible de 0,025, así que

    P(X ≥ 17) < 0,025 < P(X ≥ 16)

    Por tanto, nuestras regiones críticas son P(X ≤ 4) y P(X ≥ 17).

    Representación de los datos

    En el tema de representación de datos, veremos métodos gráficos para mostrar datos. Entre ellos están los histogramas, los diagramas de caja y la frecuencia acumulada. También veremos cómo encontrar valores atípicos en los datos y cómo tratar las anomalías de los datos.

    Si estás estudiando para los exámenes de nivel A, algunos tribunales de exámenes prueban un gran conjunto de datos, por ejemplo, una hoja de cálculo que contiene datos meteorológicos de aeropuertos del Reino Unido y de todo el mundo. No tienes que memorizar ningún dato, pero lo que sí tienes que hacer es familiarizarte con los distintos tipos de datos que contiene, y con las unidades de estos datos.

    Estadística - Puntos clave

    • La Estadística puede dividirse en muchos conceptos.
    • Muchos de los conceptos de las Matemáticas Puras se utilizan en Estadística, como la Expansión Binomial en la Distribución Binomial.
    • El proceso matemático en Estadística es el mismo que en Matemáticas Puras.
    Preguntas frecuentes sobre Estadísticas
    ¿Qué son las estadísticas en matemáticas?
    Las estadísticas son una rama de las matemáticas que se encarga de recopilar, analizar, interpretar y presentar datos.
    ¿Para qué sirven las estadísticas?
    Las estadísticas se utilizan para tomar decisiones informadas, identificar patrones y tendencias, y realizar predicciones basadas en datos.
    ¿Cuáles son los tipos de estadísticas?
    Existen dos tipos principales: estadísticas descriptivas (resumen y descripción de datos) y estadísticas inferenciales (predicción y generalización de datos).
    ¿Qué son las medidas de tendencia central?
    Las medidas de tendencia central son valores que representan el centro de un conjunto de datos, como la media, mediana y moda.
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    ¿Cuántos tipos principales de datos existen?

    Selecciona los tipos de datos.

    ¿Cuál de los siguientes NO es un tipo de dato cuantitativo?

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