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Geometría

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Geometría

La geometría es una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Nos podemos remontar a miles de años atrás, a la prehistoria, y observaríamos cómo las personas hacían dibujos basados en formas geométricas muy simples para representar objetos. Incluso, si desde allí avanzamos en el tiempo y nos vamos a Egipto, veríamos cómo muchos dibujos y jeroglíficos también utilizaban estas figuras. Pero esto no se queda solo en los dibujos y las dos dimensiones; sin movernos de Egipto, por ejemplo, podemos observar figuras en tres dimensiones tan fascinantes como las pirámides.

Si lo piensas, las formas de la geometría te han ido acompañando en diferentes aspectos de tu vida y las conoces desde que eres muy pequeño. Pero, ¿realmente sabes cuál es el significado de la geometría?

En términos generales, la geometría se encarga del estudio de objetos de una sola dimensión, como las líneas; de dos dimensiones, como las áreas y superficies; y, de hasta tres dimensiones, como los objetos que conocemos. Al igual que muchos otros elementos de las matemáticas, la geometría no fue descubierta por alguien, ni por un grupo o una nación. Diferentes estudios y descubrimientos de la geometría se sucedieron por cientos de años.

¿Qué es la geometría?

Si lo escribimos en términos sencillos, la geometría tiene la siguiente definición:

La geometría es el estudio de las propiedades, características y relaciones entre objetos, como ángulos, líneas, superficies y sólidos.

Si bien el término geometría viene del griego geo “tierra” y metron “medida”, los griegos no fueron los pioneros en este estudio. Euclides, con su libro Elementos, sentó la base de la geometría por cientos de años; pero, otras culturas también proporcionaron conocimiento invaluable a este sistema, entre ellas los egipcios, los babilonios y los hindúes.

Si mencionamos brevemente tres contribuciones de estas culturas son:

  • Egipcios: acercamiento a calcular el área de un círculo, usando una aproximación del número \(\pi\), con un error menor del \(1%\).
  • Babilonios: compendio de fórmulas para calcular áreas y volúmenes.
  • Hindúes: textos que contenían razones geométricas, donde aspectos relacionados con construcción y arquitectura eran explicados para la fabricación de altares religiosos.

Euclides también creó la base de los axiomas de la geometría.

Los axiomas son enunciados que son considerados como verdades, debido a que son obvios; pero, también, debido a que son sencillos de demostrar.

Algunos axiomas son:

  1. Si tienes dos puntos, siempre puedes dibujar una única recta entre los dos.
  2. Dada una recta, esta se puede extender indefinidamente.
  3. Si se tiene un punto y un radio desde ese punto, se puede dibujar un círculo (que es único).
  4. Todos los ángulos rectángulos son iguales.
  5. Si una recta intercepta otras dos rectas y el ángulo interno que esta hace con ambas es menor de noventa grados, entonces estas rectas se cruzan al infinito.

Elementos geométricos

Para empezar el estudio de la geometría, debemos introducir sus elementos básicos:

  1. El punto: es un elemento que no contiene área, volumen o ninguna otra característica que no sea un lugar en el espacio. Muchas veces, en geometría, esos puntos serán localizados con letras mayúsculas.

  2. La recta: es una línea que no posee área ni volumen. Esta línea pasa por varios puntos en el espacio. Una característica importante de una recta es que es continua o —lo que es lo mismo— no contiene ningún hueco.

  3. El plano: es una superficie, un área —similar al suelo de tu casa, por ejemplo—. Dos características relevantes del plano es que, al igual que una línea, no tiene huecos y es liso. Sin embargo, el plano vive en las dos dimensiones, como mínimo.

  4. Un espacio: es la forma más general de la geometría clásica. Este es, básicamente, un volumen. Por lo tanto, vive en las tres dimensiones.

En geometría, muchas veces se dice que el plano, el espacio y la recta son infinitos; sin embargo, puede haber el caso en que sean objetos que están limitados.

Geometría elementos geométricos StudySmarterFig. 1: Representación de un punto (G), una recta (f) y un plano para todos los valores, donde x<0 (en rosa).     

Geometría básica

La geometría básica es la rama que estudia relaciones, formas y líneas simples en el espacio. Algunas de estas ramas de estudio son:

  • Figuras geométricas en dos dimensiones: círculos, triángulos, elipses, paralelepípedos, etc.

  • Trigonometría: el estudio de los de las relaciones entre los ángulos y los lados de triángulos.

  • Vectores: objetos que se usan para indicar distancias y valores, también conocidos como magnitudes.

  • Líneas y planos: objetos como líneas rectas, curvas, parábolas, etc.

En StudySmarter podrás aprender más acerca de muchos de estos temas, además de tener algunos ejercicios que apoyan su comprensión. Si quieres, puedes leer más sobre esto en otros artículos como Círculos, La recta en el espacio o Vectores.

Figuras geométricas y trigonometría

Seguramente conoces el círculo, los triángulos, la elipse y los paralelepípedos. Estas figuras tienen relaciones geométricas que son importantes de estudiar, debido a que tienen muchas aplicaciones. Algunas de esas relaciones son:

Estas relaciones nos permiten calcular lados faltantes, ángulos desconocidos o encontrar valores como la circunferencia y el radio, entre otros más.

Recuerda que hay más información acerca del círculo y la trigonometría en otros artículos de StudySmarter.

Líneas y planos

En geometría es muy importante conocer las líneas y los planos. Las líneas y planos pueden ser descritas usando ecuaciones que nos indican ciertas propiedades.

Entonces, usando ecuaciones puedes:

  • Saber si dos rectas son paralelas, perpendiculares o se cruzan en algún punto.

  • Saber si un plano y una recta se cruzan o no.

  • Saber el ángulo entre dos rectas, o una recta y un plano.

Para muchos de estos problemas necesitarás conocimiento sobre vectores. Si quieres saber más sobre cómo calcular la posición entre rectas y planos, además de hacer ejercicios, no olvides leer sus artículos.

Vectores

Los vectores son objetos que poseen dirección y magnitud y tienen las siguientes características:

  • El vector tiene un punto inicial y un punto final, su dirección está indicada con una flecha.

  • Los puntos inicial y final de un vector tienen coordenadas, que nos indican dónde se encuentra el inicio y el final del vector; esto lo puedes ver en la siguiente imagen:

 Geometría vectores elementos geométricos StudySmarterFig. 2: Vector en un espacio de dos dimensiones. El punto inicial está en el origen y se llama A, el punto final se llama B y tiene coordenadas x=3, y=4 o (3,4). La dirección del vector marcada por la flecha es de A a B.

  • La magnitud del vector en dos dimensiones está dada por la fórmula siguiente:

Aquí y son las coordenadas del vector. Así, tu vector esy la fórmula para la magnitud será: . Si tu vector está en tres dimensiones, entonces debes añadir una al cuadrado, de tal manera que ahora es:

Los vectores son muy útiles, ya que te permiten localizar objetos en un sistema de coordenadas cartesiano. Pasemos, por lo tanto, a hablar acerca de los sistemas cartesianos de coordenadas .

Sistema de coordenadas cartesianas

El espacio que ya mencionamos necesita de un punto de referencia, un sitio desde donde puedas medir distancias; a este punto lo podemos llamar el origen y lo denotamos por la coordenada 0. En dos dimensiones, esto es:

Sin embargo, como además de tener un punto de referencia, requieres algo más que te dé un punto de comparación para saber direcciones como arriba y abajo, izquierda o derecha, para esto necesitas lo que los ejes de coordenadas. Veamos la imagen siguiente:

Geometría coordenadas elementos geométricos StudySmarter

Fig. 3: Sistema de coordenadas en dos dimensiones.

Aquí el origen A es tu punto de referencia y es donde se cruzan los ejes e . Los ejes son precisamente las líneas oscuras. La línea horizontal es el eje de las y la línea vertical es el eje de las . Ambas líneas son perpendiculares entre sí.

Además los ejes tienen marcas a distancias fijas entre sí, estas son usadas para medir las distancias desde el origen.

 Geometría coordenadas elementos geométricos StudySmarter

Fig. 4: Sistema de coordenadas en dos dimensiones: los vectores u y v (en azul) muestran las distancias x=1 y y=1 en los ejes de coordenadas.

Todo el conjunto de lo que mencionamos tiene como nombre sistema de coordenadas cartesiano.

El nombre cartesiano viene de René Descartes, un matemático francés que, en el siglo XVII, relacionó problemas de álgebra y mediciones con un sistema de referencia.

Este hecho también fue descubierto por otro matemático, Pierre de Fermat; aunque ambos llegaron a la misma idea, lo hicieron de manera opuesta:

Sistema de coordenadas tridimensional

El sistema de coordenadas tridimensional que conoces es un sistema cartesiano. En este caso, es un sistema de tres dimensiones. Las dimensiones del sistema son: , y . Lo puedes ver en la imagen debajo:

Geometría coordenadas vectores StudySmarterFig. 5: Espacio en tres dimensiones, x, y y z.

Vectores y sistemas de coordenadas

Para poder usar un sistema de coordenadas debes poder ubicar objetos desde el origen; para poder ubicar un objeto desde el origen usas un vector. El vector debe ir desde el punto de origen hasta el punto que quieres apuntar o, como se conoce más formalmente, hacer referencia. Esto lo puedes ver en la imagen inferior.

Geometría coordenadas vectores StudySmarterFig. 6: Vector apuntando al punto B.

Este punto, al cual tú apuntas usando el vector, tiene coordenadas. Las coordenadas de este punto las encuentras extendiendo líneas desde cada eje hasta la misma altura a la que se encuentra el punto en cada eje; esto lo puedes ver en la siguiente imagen:

Geometría, vectores en el eje de coordenadas, StudySmarterFig. 7: Vectores que se extienden desde el origen en x y y a la misma altura que el punto B.

En este caso, w se extiende hasta (cuyo valor es ) y v se extiende hasta (cuyo valor es ). De este modo, el valor de las coordenadas es.

Existen sistemas de tres, dos y una dimensión.

Los sistemas de dos dimensiones se conocen como bidimensionales y tienen coordenadas y . Estos sistemas son un caso particular, en el cual la coordenada es 0.

Los sistemas de una dimensión se conocen como sistemas unidimensionales y tienen una sola coordenada, que es . Estos sistemas son un caso particular de un sistema en el cual las coordenadas y son cero.

Tabla de ecuaciones, fórmulas geométricas y trigonometría

En muchos de tus temas de bachillerato, y que también podrás encontrar en StudySmarter, necesitarás saber algunas fórmulas geométricas básicas de ciertas figuras; también necesitarás aprender sobre identidades trigonométricas. Veamos una pequeña tabla de repaso con las fórmulas, identidades y ecuaciones más básicas e importantes que necesitaremos más adelante.

EcuaciónFórmula

Ecuación punto pendiente de la recta

Pendiente de la recta

Longitud de la circunferencia

Área de un círculo

Teorema de Pitágoras

Identidad del círculo unitario

Seno
Coseno
Tangente

Tabla 1: Algunas fórmulas básicas en geometría.

Fuente: StudySmarter Originals

Formas geométricas en la naturaleza

Un hecho interesante es que en la naturaleza es normal encontrar formas que asemejan figuras geométricas. Hay una gran discusión acerca de si la física afecta a la forma, o la forma se adapta a los problemas físicos que se producen donde viven los animales y plantas. También es plausible que sea una combinación de ambas.

Ejemplos de ello son:

  • La forma elipsoidal plana de un lenguado, que es un pez plano.

  • La forma cilíndrica alargada de un gusano de tierra.

  • Los troncos cilíndricos de algunos árboles, como las secuoyas.

  • La forma esférica de los planetas y las estrellas.

  • Las órbitas elípticas de los cometas.

  • La forma de un cono de los aguijones de algunos insectos.

En general, estas formas son la respuesta evolutiva a un problema que las plantas o los seres vivos tienen, ya sea por aspectos físicos, biológicos o de otro tipo.

Geometría formas geométricas en la naturaleza StudySmarterFig. 5: Pez lenguado mostrando su típica forma elipsoidal y plana. Imagen en dominio público.

Una lombriz de tierra, por ejemplo, tiene una forma cilíndrica alargada. Esto ha sido útil, evolutivamente hablando, ya que le permite moverse creando pequeños caminos por la tierra. Si la lombriz no fuese cilíndrica, sería más difícil para ella moverse a través de los agujeros que ella misma produce o encuentra. De este modo, solo las lombrices más cilíndricas y alargadas vivirán más fácilmente y, por lo tanto, producirían más lombrices.

Geometría - Puntos clave

  • La geometría es el estudio de las propiedades, características y relaciones entre objetos como ángulos, líneas, superficies y sólidos.
  • Los cuatro elementos geométricos básicos son: la línea, el punto, el plano y el espacio.
  • Las líneas básicas regulares en geometría pueden ser divididas en rectas y secciones cónicas.
  • Los ángulos son las aperturas que hay entre dos rectas, dos superficies o una recta y una superficie.
  • La trigonometría es la rama que estudia la relación entre los ángulos y las líneas que forman esos ángulos.
  • La geometría en dos y tres dimensiones es la geometría de áreas y objetos con volumen.
  • Existen fórmulas geométricas básicas que nos permiten calcular tanto el perímetro como el área de figuras geométricas como el cuadrado, rectángulo, etc.
  • Las formas geométricas en la naturaleza responden a una necesidad directa de los seres vivos de adaptarse al ambiente y sobrevivir.

Preguntas frecuentes sobre Geometría

Un axioma es una verdad que no necesita demostración, debido a que es obvia o se puede probar muy sencillamente. Los axiomas de la geometría son enunciados que, por lo tanto, nos dicen una verdad. 

Ejemplos de ellos son:

  • Si tienes dos puntos, siempre puedes dibujar una única recta entre los dos.
  • Dada una recta, esta se puede extender indefinidamente.
  • Si se tiene un punto y un radio desde ese punto, se puede dibujar un círculo que es único.
  • Todos los ángulos rectángulos son iguales.
  • Si una recta intercepta otras dos rectas y el ángulo interno que esta hace con cambas es menor que noventa grados, entonces estas rectas se cruzan al infinito.

La geometría es el estudio de las propiedades, características y relaciones entre objetos como ángulos, líneas, superficies y sólidos.

La geometría nos enseña las propiedades de puntos, líneas, ángulos, planos y el espacio, además de las relaciones entre ellos.

Existen muchas ramas de la geometría, como la geometría analítica, la geometría euclidiana, la geometría espacial, la geometría diferencial, entre otras.

Los elementos geométricos básicos de la geometría son el punto, la recta, el plano y el espacio.

Cuestionario final de Geometría

Pregunta

¿Qué es la geometría?

Mostrar respuesta

Answer

La geometría es el estudio de las propiedades, características y relaciones entre objetos como ángulos, líneas, superficies y sólidos.

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Pregunta

Es un axioma de Euclides:

Mostrar respuesta

Answer

Ambas son correctas.

Show question

Pregunta

¿Qué variables se usan en un plano de dos dimensiones?

Mostrar respuesta

Answer

\(x\) e \(y\).

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Pregunta

¿Qué variables se usan en un plano de tres dimensiones?

Mostrar respuesta

Answer

\(x\), \(y\) y \(z\).

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Pregunta

Menciona una característica principal de la recta.

Mostrar respuesta

Answer

No contiene agujeros.

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Pregunta

Un plano contiene agujeros como una recta: ¿verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Falso: ni el plano, ni la recta tiene agujeros.

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Pregunta

¿Qué es la trigonometría?

Mostrar respuesta

Answer

La trigonometría es la rama que estudia la relación entre los ángulos y las líneas que forman esos ángulos. 

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Pregunta

¿Cuál es la fórmula del \(Seno\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(Seno=\dfrac{co}{h}\).

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Pregunta

¿Cuál es la fórmula del \(Coseno\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(Coseno=\dfrac{ca}{h}\).

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Pregunta

Son objetos de estudio de geometría básica:

Mostrar respuesta

Answer

Todas son correctas.

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Pregunta

¿Tienen los lenguados una forma elipsoidal?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, es plana elipsoidal.



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Pregunta

¿Cuál es la fórmula de la \(Tangente\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(Tangente=\dfrac{co}{ca}\).

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Pregunta

¿Cuál es la ecuación punto pendiente de la recta?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=mx+b\).

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Pregunta

En un sistema bidimensional\((x, y)\), la tercera coordenada es:

Mostrar respuesta

Answer

\(z= 0\).

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Pregunta

Un sistema con una sola coordenada es un sistema:

Mostrar respuesta

Answer

Unidimensional.

Show question

Pregunta

 ¿Cuáles son las tres principales funciones trigonométricas?

Mostrar respuesta

Answer

Seno, coseno y tangente.

Show question

Pregunta

¿Cómo se pueden nombrar los tres lados de un triángulo rectángulo con respecto a uno de los ángulos que no es el recto?

Mostrar respuesta

Answer

Catetos e hipotenusa.

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Pregunta

¿Qué es la hipotenusa?

Mostrar respuesta

Answer

El lado mayor del triángulo y opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo.

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Pregunta

¿Cómo se encuentra la longitud de los lados en un triángulo que no es rectángulo?

Mostrar respuesta

Answer

Se puede usar la regla de los senos o la de los cosenos.

Show question

Pregunta

 ¿Cuál es la fórmula para la regla del coseno?

Mostrar respuesta

Answer

\(a^2+b^2+c^2-2(a \cdot b) \cos(A)\).


Show question

Pregunta

¿Qué fórmula se debe usar cuando se tiene la hipotenusa y un cateto en un triángulo rectángulo?

Mostrar respuesta

Answer

\(\sin(\theta)=\dfrac{CO}{H}\).

Show question

Pregunta

¿Qué fórmula se debe usar cuando se tienen los dos catetos en un triángulo rectángulo y se debe encontrar el ángulo entre ambos?

Mostrar respuesta

Answer

En un triángulo rectángulo, el ángulo entre los catetos es siempre de \(90^o\).

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Pregunta

 En un círculo unitario, ¿qué función se usa para obtener la coordenada \(x\) de un punto?

Mostrar respuesta

Answer

 \(\cos(\theta)=x\).

Show question

Pregunta

 En un círculo unitario, ¿qué función se usa para obtener la coordenada \(x\) de un punto?

Mostrar respuesta

Answer

 \(\sin(\theta)=y\).

Show question

Pregunta

¿Cuándo se debe usar la regla del seno?

Mostrar respuesta

Answer

En un triángulo no rectángulo, cuando los datos conocidos son dos lados y un ángulo del triángulo.

Show question

Pregunta

 ¿Qué lados de un triangulo relaciona la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

Lados que comparten un ángulo.

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Pregunta

¿Cuál es la ecuación para la secante?



Mostrar respuesta

Answer

\(sec(\theta)=\dfrac{1}{\cos(\theta)}\).


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Pregunta

¿Cuáles son las tres funciones trigonométricas recíprocas?

Mostrar respuesta

Answer

Arcoseno, arcocoseno y arcotangente.

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Pregunta

Si el valor del seno es de \(0{,}73\), ¿qué función se debe usar para encontrar un ángulo?

Mostrar respuesta

Answer

El arcoseno.

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Pregunta

 ¿Cuál es el valor de seno de \(\dfrac{\pi}{6}\) ?

Mostrar respuesta

Answer

\(\dfrac{1}{2}\) .

Show question

Pregunta

¿Cuál es el valor de coseno de \(\dfrac{\pi}{3}\) ?

Mostrar respuesta

Answer

\(\dfrac{1}{2}\) .

Show question

Pregunta

¿Cuál es el valor de tangente de \(\dfrac{\pi}{2}\) ?

Mostrar respuesta

Answer

Indeterminado.

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Pregunta

¿Cuál es la diferencia entre un vector y un escalar?

Mostrar respuesta

Answer

Un vector tiene magnitud y dirección, un escalar solo tiene magnitud.

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Pregunta

Calcula: \((3,4)+(8,-1)\).

Mostrar respuesta

Answer

\((11,3)\).

Show question

Pregunta

Calcula: \((7,2)-(-4,5)\).

Mostrar respuesta

Answer

\((11,-3)\).

Show question

Pregunta

Calcula: \(7·(2,-3)\).

Mostrar respuesta

Answer

\((14,-21)\).

Show question

Pregunta

Calcula: \(\frac{1}{3}·(9,-12)\).

Mostrar respuesta

Answer

\((3,-4)\).

Show question

Pregunta

Encuentra la distancia entre \((0,2)\) y \((7,-22)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(25\).

Show question

Pregunta

Encuentra la distancia entre \((-10,1)\) y \((10,100)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(101\).

Show question

Pregunta

Encuentra la distancia entre \((-1,1)\) y \((7,11)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(\sqrt{164}=12,8\).

Show question

Pregunta

Calcula la distancia entre \((2,1)\) y \((7,-1)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(\sqrt{34}=5,83\).

Show question

Pregunta

Encuentra la distancia entre \((7,12)\) y \((13,92)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(\sqrt{6436}=80,2\).

Show question

Pregunta

Encuentra los vértices del triángulo dado por: \((1,1)\), \((5,6)\) y \((9,0)\) que está desplazado con respecto al vector \(\vec{a}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\).

Mostrar respuesta

Answer

Simplemente es sumar el vector \(\vec{a}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}=(-1,1)\) a cada punto de los vértices:

\((0,2),(4,7),(8,1)\).

Show question

Pregunta

Encuentra el vértice faltante del paralelogramo cuyas coordenadas son: \(A=(7,1),B=(3,1),C=(2,0)\).    

Mostrar respuesta

Answer

\((6,0)\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la fórmula del módulo de un vector en 3 dimensiones?

Mostrar respuesta

Answer

\(|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la función módulo?

Mostrar respuesta

Answer

El módulo es una operación que consiste en la raíz cuadrada de la suma de los varios componentes que definen una cantidad vectorial.

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Pregunta

¿Qué es el diámetro de una circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

Es la distancia de la línea que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.

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Pregunta

¿Qué es la circunferencia de un círculo?

Mostrar respuesta

Answer

La circunferencia es el perímetro de un círculo. El círculo es el área encerrada por la circunferencia.

Show question

Pregunta

¿Qué es el radio de la circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

Es la distancia entre un punto de la circunferencia y su centro.

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Pregunta

¿Qué es un sector circular?

Mostrar respuesta

Answer

El área que está delimitada por dos radios.

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