La geometría es una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Nos podemos remontar a miles de años atrás, a la prehistoria, y observaríamos cómo las personas hacían dibujos basados en formas geométricas muy simples para representar objetos. Incluso, si desde allí avanzamos en el tiempo y nos vamos a Egipto, veríamos cómo muchos dibujos y jeroglíficos también utilizaban estas figuras. Pero esto no se queda solo en los dibujos y las dos dimensiones; sin movernos de Egipto, por ejemplo, podemos observar figuras en tres dimensiones tan fascinantes como las pirámides.
Si lo piensas, las formas de la geometría te han ido acompañando en diferentes aspectos de tu vida y las conoces desde que eres muy pequeño. Pero, ¿realmente sabes cuál es el significado de la geometría?
En términos generales, la geometría se encarga del estudio de objetos de una sola dimensión, como las líneas; de dos dimensiones, como las áreas y superficies; y, de hasta tres dimensiones, como los objetos que conocemos. Al igual que muchos otros elementos de las matemáticas, la geometría no fue descubierta por alguien, ni por un grupo o una nación. Diferentes estudios y descubrimientos de la geometría se sucedieron por cientos de años.
¿Qué es la geometría?
Si lo escribimos en términos sencillos, la geometría tiene la siguiente definición:
La geometría es el estudio de las propiedades, características y relaciones entre objetos, como ángulos, líneas, superficies y sólidos.
Si bien el término geometría viene del griego geo “tierra” y metron “medida”, los griegos no fueron los pioneros en este estudio. Euclides, con su libro Elementos, sentó la base de la geometría por cientos de años; pero, otras culturas también proporcionaron conocimiento invaluable a este sistema, entre ellas los egipcios, los babilonios y los hindúes.
Si mencionamos brevemente tres contribuciones de estas culturas son:
- Egipcios: acercamiento a calcular el área de un círculo, usando una aproximación del número \(\pi\), con un error menor del \(1%\).
- Babilonios: compendio de fórmulas para calcular áreas y volúmenes.
- Hindúes: textos que contenían razones geométricas, donde aspectos relacionados con construcción y arquitectura eran explicados para la fabricación de altares religiosos.
Euclides también creó la base de los axiomas de la geometría.
Los axiomas son enunciados que son considerados como verdades, debido a que son obvios; pero, también, debido a que son sencillos de demostrar.
Algunos axiomas son:
- Si tienes dos puntos, siempre puedes dibujar una única recta entre los dos.
- Dada una recta, esta se puede extender indefinidamente.
- Si se tiene un punto y un radio desde ese punto, se puede dibujar un círculo (que es único).
- Todos los ángulos rectángulos son iguales.
- Si una recta intercepta otras dos rectas y el ángulo interno que esta hace con ambas es menor de noventa grados, entonces estas rectas se cruzan al infinito.
Elementos geométricos
Para empezar el estudio de la geometría, debemos introducir sus elementos básicos:
El punto: es un elemento que no contiene área, volumen o ninguna otra característica que no sea un lugar en el espacio. Muchas veces, en geometría, esos puntos serán localizados con letras mayúsculas.
La recta: es una línea que no posee área ni volumen. Esta línea pasa por varios puntos en el espacio. Una característica importante de una recta es que es continua o —lo que es lo mismo— no contiene ningún hueco.
El plano: es una superficie, un área —similar al suelo de tu casa, por ejemplo—. Dos características relevantes del plano es que, al igual que una línea, no tiene huecos y es liso. Sin embargo, el plano vive en las dos dimensiones, como mínimo.
Un espacio: es la forma más general de la geometría clásica. Este es, básicamente, un volumen. Por lo tanto, vive en las tres dimensiones.
En geometría, muchas veces se dice que el plano, el espacio y la recta son infinitos; sin embargo, puede darse el caso de que sean objetos que están limitados.
Fig. 1. Representación de un punto, una recta y un plano en el espacio.
Geometría básica
La geometría básica es la rama que estudia relaciones, formas y líneas simples en el espacio. Algunas de estas ramas de estudio son:
Figuras geométricas en dos dimensiones: círculos, triángulos, elipses, paralelepípedos, etc.
Trigonometría: el estudio de los de las relaciones entre los ángulos y los lados de triángulos.
Vectores: objetos que se usan para indicar distancias y valores, también conocidos como magnitudes.
Líneas y planos: objetos como líneas rectas, curvas, parábolas, etc.
En StudySmarter podrás aprender más acerca de muchos de estos temas, además de tener algunos ejercicios que apoyan su comprensión. Si quieres, puedes leer más sobre esto en otros artículos como Círculos, La recta en el espacio o Vectores.
Figuras geométricas y trigonometría
Seguramente conoces el círculo, los triángulos, la elipse y los paralelepípedos. Estas figuras tienen relaciones geométricas que son importantes de estudiar, debido a que tienen muchas aplicaciones. Algunas de esas relaciones son:
Las relaciones entre los ángulos y lados de los triángulos, que dan origen a funciones trigonométricas como el seno o coseno.
Las relaciones entre el radio y la circunferencia de un círculo, que son el origen del número pi.
Estas relaciones nos permiten calcular lados faltantes, ángulos desconocidos o encontrar valores como la circunferencia y el radio, entre otros más.
Recuerda que hay más información acerca del círculo y la trigonometría en otros artículos de StudySmarter.
Líneas y planos
En geometría es muy importante conocer las líneas y los planos. Las líneas y planos pueden ser descritas usando ecuaciones que nos indican ciertas propiedades.
Entonces, usando ecuaciones puedes:
Saber si dos rectas son paralelas, perpendiculares o se cruzan en algún punto.
Saber si un plano y una recta se cruzan o no.
Saber el ángulo entre dos rectas, o una recta y un plano.
Para muchos de estos problemas necesitarás conocimiento sobre vectores. Si quieres saber más sobre cómo calcular la posición entre rectas y planos, además de hacer ejercicios, no olvides leer sus artículos.
Vectores
Los vectores son objetos que poseen dirección y magnitud y tienen las siguientes características:
El vector tiene un punto inicial y un punto final, su dirección está indicada con una flecha.
Los puntos inicial y final de un vector tienen coordenadas, que nos indican dónde se encuentra el inicio y el final del vector; esto lo puedes ver en la siguiente imagen:
Fig. 2: Vector en un espacio de dos dimensiones. El punto inicial está en el origen y se llama A, el punto final se llama B y tiene coordenadas x=3, y=4 o (3,4). La dirección del vector marcada por la flecha es de A a B.
Aquí \(x\) e \(y\) son las coordenadas del vector. Así, tu vector es \(\vec{v}=(2,3)\) y la fórmula para la magnitud será: \(|\vec{v}|=\sqrt{2^2+3^2}\). Si tu vector está en tres dimensiones, entonces debes añadir la coordenada \(z\) al cuadrado, de tal manera que ahora es: \(\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).
Los vectores son muy útiles, ya que te permiten localizar objetos en un sistema de coordenadas cartesiano. Pasemos, por lo tanto, a hablar acerca de los sistemas cartesianos de coordenadas .
Sistema de coordenadas cartesianas
El espacio que ya mencionamos necesita de un punto de referencia, un sitio desde donde puedas medir distancias; a este punto lo podemos llamar el origen y lo denotamos como \(O\). En dos dimensiones, esto es:
$$O(0,0)$$
Sin embargo, como además de tener un punto de referencia, requieres algo más que te dé un punto de comparación para saber direcciones como arriba y abajo, izquierda o derecha, para esto necesitas lo que los ejes de coordenadas. Veamos la imagen siguiente:
Fig. 3. Ejes de coordenadas con origen en el punto \(O(0,0)\).
Aquí el origen \(O\) es tu punto de referencia y es donde se cruzan los ejes \(x\) e \(y\). Los ejes son precisamente las líneas oscuras. La línea horizontal es el eje de las \(x\) y la línea vertical es el eje de las \(y\). Ambas líneas son perpendiculares entre sí. Además los ejes tienen marcas a distancias fijas entre sí, estas son usadas para medir las distancias desde el origen.
Todo el conjunto de lo que mencionamos tiene como nombre sistema de coordenadas cartesiano.
El nombre cartesiano viene de René Descartes, un matemático francés que, en el siglo XVII, relacionó problemas de álgebra y mediciones con un sistema de referencia.
Este hecho también fue descubierto por otro matemático, Pierre de Fermat; aunque ambos llegaron a la misma idea, lo hicieron de manera opuesta:
- Descartes obtuvo una curva y, después, propuso las ecuaciones de esta usando un sistema de coordenadas.
- Fermat empezó obteniendo ecuaciones algebraicas y después obtuvo las curvas que las describen.
Sistema de coordenadas tridimensional
El sistema de coordenadas tridimensional que conoces es un sistema cartesiano. En este caso, es un sistema de tres dimensiones. Las dimensiones del sistema son: \(x\), \(y\) y \(z\). Puedes observar el espacio tridimensional en la figura 1.
Vectores y sistemas de coordenadas
Para poder usar un sistema de coordenadas debes poder ubicar objetos desde el origen; para poder ubicar un objeto desde el origen usas un vector. El vector debe ir desde el punto de origen hasta el punto que quieres apuntar o, como se conoce más formalmente, hacer referencia. Esto lo puedes ver de nuevo en la figura 2.
Este punto, al cual tú apuntas usando el vector, tiene coordenadas. Las coordenadas de este punto las encuentras extendiendo líneas desde cada eje hasta la misma altura a la que se encuentra el punto en cada eje; esto lo puedes ver en la siguiente imagen:
Fig. 4. El vector \(\vec{u}\) se forma a partir de los vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\).
Existen sistemas de tres, dos y una dimensión.
Los sistemas de dos dimensiones se conocen como bidimensionales y tienen coordenadas \(x\) e \(y\). Estos sistemas son un caso particular, en el cual la coordenada \(z\) es nula.
Los sistemas de una dimensión se conocen como sistemas unidimensionales y tienen una sola coordenada, donde normalmente se utiliza la coordenada \(x\). Estos sistemas son un caso particular de un sistema en el cual las coordenadas \(y\) y \(z\) son nulas.
Tabla de ecuaciones geométricas y trigonometría
En muchos de tus temas de bachillerato, y que también podrás encontrar en StudySmarter, necesitarás saber algunas fórmulas geométricas básicas de ciertas figuras; también necesitarás aprender sobre identidades trigonométricas. Veamos una pequeña tabla de repaso con las fórmulas, identidades y ecuaciones más básicas e importantes que necesitaremos más adelante.
| Ecuación | Fórmula |
Ecuación punto pendiente de la recta | \(y=mx+b\) |
Pendiente de la recta | \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) |
Longitud de la circunferencia | \(2\pi r\) |
Área de un círculo | \(\pi r^2\) |
Teorema de Pitágoras | \(a^2+b^2=c^2\) |
Identidad de la circunferencia unitaria | \(\sin^2\theta + \cos^2\theta=1\) |
| Seno | \(\sin=\dfrac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}\) |
| Coseno | \(\cos=\dfrac{\text{Cateto contiguo}}{\text{Hipotenusa}}\) |
| Tangente | \(\tan=\dfrac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Cateto adyacente}}\) |
Tabla 1: Algunas fórmulas básicas en geometría.
Veamos ahora también algunas fórmulas de figuras geométricas:
| Ecuación | Fórmula |
| Área del triángulo | \(A=\dfrac{b\cdot h}{2}\) |
| Área del rectángulo | \(A=b\cdot h\) |
| Área del círculo | \(A=\pi\cdot r^2\) |
| Área del cuadrado | \(A=c^2\) |
| Perímetro del rectángulo | \(P=l_1+l_2+l_3\) |
| Perímetro del rectángulo | \(P=2\cdot (b+h)\) |
| Perímetro del cuadrado | \(P=4c\) |
| Perímetro del círculo | \(P=2\cdot \pi \cdot r\) |
| Volumen del cubo | \(V=c^3\) |
| Volumen del cilindro | \(V=\pi\cdot r^2\cdot h\) |
| Volumen de la esfera | \(V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot r^3\) |
| Longitud de la circunferencia | \(L=2\pi\cdot r\) |
Tabla 2: Fórmulas geométricas de algunas figuras.
Formas geométricas en la naturaleza
Un hecho interesante es que en la naturaleza es normal encontrar formas que asemejan figuras geométricas. Hay una gran discusión acerca de si la física afecta a la forma, o la forma se adapta a los problemas físicos que se producen donde viven los animales y plantas. También es plausible que sea una combinación de ambas.
Ejemplos de ello son:
La forma elipsoidal plana de un lenguado, que es un pez plano.
La forma cilíndrica alargada de un gusano de tierra.
Los troncos cilíndricos de algunos árboles, como las secuoyas.
La forma esférica de los planetas y las estrellas.
Las órbitas elípticas de los cometas.
La forma de un cono de los aguijones de algunos insectos.
En general, estas formas son la respuesta evolutiva a un problema que las plantas o los seres vivos tienen, ya sea por aspectos físicos, biológicos o de otro tipo.
Fig. 5: Pez lenguado mostrando su típica forma elipsoidal y plana. Imagen en dominio público.
Una lombriz de tierra, por ejemplo, tiene una forma cilíndrica alargada. Esto ha sido útil, evolutivamente hablando, ya que le permite moverse creando pequeños caminos por la tierra. Si la lombriz no fuese cilíndrica, sería más difícil para ella moverse a través de los agujeros que ella misma produce o encuentra. De este modo, solo las lombrices más cilíndricas y alargadas vivirán más fácilmente y, por lo tanto, producirían más lombrices.
Geometría - Puntos clave
- La geometría es el estudio de las propiedades, características y relaciones entre objetos como ángulos, líneas, superficies y sólidos.
- Los cuatro elementos geométricos básicos son: la línea, el punto, el plano y el espacio.
- Las líneas básicas regulares en geometría pueden ser divididas en rectas y secciones cónicas.
- Los ángulos son las aperturas que hay entre dos rectas, dos superficies o una recta y una superficie.
- La trigonometría es la rama que estudia la relación entre los ángulos y las líneas que forman esos ángulos.
- La geometría en dos y tres dimensiones es la geometría de áreas y objetos con volumen.
- Existen fórmulas geométricas básicas que nos permiten calcular tanto el perímetro como el área de figuras geométricas como el cuadrado, rectángulo, etc.
- Las formas geométricas en la naturaleza responden a una necesidad directa de los seres vivos de adaptarse al ambiente y sobrevivir.
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