Análisis matemático

Puedes retar ahora mismo a cualquiera de tus amigos a contar números hasta que os canséis. Lo más probable es que los dos empecéis por el cero y vayáis sumando uno cada vez. Pero, a lo mejor, ese día te sientes creativo y, en vez de contar números positivos, cuentas números negativos. O, incluso, empieces por el intervalo entre el cero y el uno y cuentas todos los decimales que hay en el medio. En todos estos casos, sin darte cuenta, estarás diciendo los elementos de distintos conjuntos de números, que han sido categorizados gracias al análisis matemático.

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Índice de temas

    El análisis matemático es un área bastante extensa de las matemáticas que estudia los números y sus propiedades. Además, estudia los conjuntos y cómo se relacionan entre sí; para ello, también estudia las funciones y las relaciones de estas y sus propiedades. Parte de estos estudios son también las derivadas, las integrales y los límites.

    Números reales y complejos

    El análisis se usa para estudiar números. De hecho, los números que conoces se denominan números reales. Estos incluyen:

    1. Números racionales.

    2. Números enteros.

    3. Números irracionales.

    Pero, a su vez, estos números son una subdivisión de otros tipos de números, llamados números complejos.

    Análisis matemático,  números reales y complejos, grupos de números StudySmarter

    Fig. 1. Grupos de números.

    Funciones

    Las funciones son expresiones que se encargan de relacionar un dato de entrada con un dato de salida. En el caso particular de las matemáticas, las funciones están formadas por expresiones algebraicas y números donde se conjuntan:

    • Variables.

    • Operaciones aritméticas.

    • Funciones especiales como exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas o valores absolutos.

    • Constantes.

    Si se tienen dos grupos de números distintos y estos son el resultado de una relación entre ellos —es decir, para obtener \(A\), se aplica una relación matemática a \(B\)— se tiene una función. Esa relación matemática es la función que liga \(A\) con \(B\). En muchos casos los llamamos \(x\) e \(y\), aunque generalmente se llamará \(f\), por lo cual tendrás \(f(x)=y\).

    El comportamiento de esta función que relaciona ambos datos y cómo analizar la relación entre \(x\) e \(y\) y sus cambios son el centro de lo se conoce como cálculo o análisis matemático.

    Por otro lado, \(x\) representa un valor que, al introducirse en esta función, produce el valor \(y=f(x)\).

    Veamos un ejemplo muy sencillo.

    Tenemos la función:

    \[f(x)=x^2+3x-2\]

    Esto significa que podemos sustituir valores de números \(x\) para que nos den un valor de \(y=f(x)\). Pongamos los siguientes valores en la tabla:

    \(x\)\(f(x)\)
    \(1\)\(2\)
    \(2\)\(8\)
    \(3\)\(16\)
    \(4\)\(26\)

    Tabla 1. Valores de \(x\) en función de \(f(x)\).

    Si representamos más valores, obtendremos lo siguiente:

    Análisis matemático, ejemplo de función, StudySmarterFig. 2. Ejemplo de una función creada a partir de los pares de puntos \((x,f(x))\).

    Esta es la representación gráfica de una función.

    Hay muchos tipos de funciones. Por ejemplo:

    • Polinómicas

    • Exponenciales y logarítmicas

    • Trigonométricas

    • Racionales

    Además, una función puede ser una combinación de muchos otros tipos de funciones. Veamos siguiente:

    \[f(x)=\dfrac{x^3+x-2}{\sin(x^2)}\]

    Es una combinación de una función racional que, a su vez, está compuesta por un polinomio y una función trigonométrica.

    Propiedades de las funciones

    Estas propiedades, en muchos casos, se pueden analizar a través de las propiedades de la derivada.

    Podrás leer más sobre esto en nuestros temas de funciones y derivadas.

    Algunas de estas propiedades son:

    • Concavidad.

    • Paridad.

    • Crecimiento o decrecimiento.

    • Razón de cambio.

    Cálculo o análisis matemático

    El análisis matemático también es conocido como cálculo. Seguro que has escuchado este nombre en tus clases de matemáticas. El cálculo agrupa, en muchas instancias, temas como:

    • Calculo diferencial.

    • Calculo integral.

    • Cálculo complejo: usando números complejos.

    • Límites.

    • Cálculo de varias variables: integral y diferencial, utilizando funciones con más de una variable.

    • Cálculo vectorial: incluye vectores y funciones asociadas.

    En los siguientes temas nos centraremos en cuatro ramas:

    1. Límites.

    2. Funciones.

    3. Derivadas.

    4. Integrales.

    Límites

    Antes de introducir la idea de un límite, veremos la sucesión infinita (que cambia a medida que crece). Supongamos que tenemos una serie de números que se suman entre sí.

    Una serie puede definirse por el término \(\dfrac{1}{1+n}\) donde \(n\) tiende al infinito o, lo que es lo mismo, crece indefinidamente. Si esta es la suma de cada término, entonces:

    \[\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{1+n}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...\]

    Tú podrías creer que esto significa que la serie crece infinitamente porque, después de todo, la serie nunca acaba; además siempre se añade un nuevo valor, lo cual ocasionaría un crecimiento. Pero, si observas detenidamente, podrás notar que, a medida que el número \(n\) crece, la seria deja de crecer rápidamente y acaba tendiendo a un valor. En la siguiente tabla se muestran los resultados para términos altos.

    \(y=\displaystyle\sum_{n=0}^{m} \dfrac{1}{1+n}\)\(y\)

    Diferencia con el valor anterior

    \(m=1\)\(1{,}5\)\(0\)
    \(m=9\)\(3{,}0198\)\(1{,}51\)
    \(m=20\)\(3{,}6453\)\(0{,}6255\)
    \(m=30\)\(4{,}0272\)\(0{,}3819\)
    \(m=40\)\(4{,}3029\)\(0{,}2757\)
    \(m=50\)\(4{,}5188\)\(0{,}2159\)
    Tabla 2. Valores de la suma de la función \(f(x)\), que es una suma a medida que el número de términos \(m\) crece.

    Los valores crecen, pero parece que al crecimiento dado por la diferencia entre los términos comienza a reducirse. Si este crecimiento no pasa de cierto valor, a esto se le conoce como límite.

    Un límite es el valor al que tiende una función cuando la variable que la define se acerca a un valor determinado.

    El enunciado puede escribirse como:

    \[\lim_{x\to n} f(x)=m\]

    Esto significa que, a medida que el valor de \(x\) avanza hacia \(n\), la función toma valores cercanos a \(m\).

    Importancia de los límites y la continuidad

    Los límites son importantes en cálculo, ya que nos dicen la magnitud a la que se acerca una función cuando una variable se acerca a cierto valor. En matemáticas, muchas veces algunas funciones tienen un objeto llamado singularidad. Esta singularidad es un punto donde pueden pasar diversas cosas:

    1. El punto es agudo como una esquina, la derivada no existe.

    2. El punto no existe en la función.

    3. El punto puede ser un salto y, por lo tanto, los límites no son los mismos.

    Una operación que se puede hacer para comprobar estas singularidades en una función es la derivación. Esto se debe a que, en estos tres casos mencionados, la derivada no existe.

    Un ejemplo de esto se puede ver en la siguiente imagen, donde existen los tres ejemplos.

    Análisis matemático, funciones que tienen puntos no derivables, StudySmarterFig. 3. Tres funciones en la que existen puntos donde no es posible calcular la derivada.

    El análisis de los límites es una parte importante del cálculo, y la regla de L'Hôpital ocupa una parte importante en este tema.

    Derivadas

    Las derivadas son una de las herramientas básicas del cálculo y el análisis.

    La derivada representa relaciones de cambio entre las variables de la función; en el caso de una función de una sola variable, representa la dependiente y la independiente.

    Si una función es \(y=f(x)\), la relación de cambio de \(y\) con respecto a \(x\) es:

    \[\dfrac{dy}{dx}=f'(x)\]

    En este caso, el apóstrofe es la notación que indica la derivada de la función. Esta derivada da información sobre la pendiente de la recta tangente a la función. Por tanto, cuando calculamos la derivada y se aplica cierto punto de la función, obtendremos la pendiente de la recta tangente a la función en un punto determinado. Esto lo podemos ver en la imagen a continuación:

    Análisis matemático, función derivada y recta tangente, StudySmarterFig. 4. La derivada de la función \(f(x)\) en el punto \(x=a\) nos da la pendiente de la recta tangente a la función en este punto.

    Análisis diferencial

    Dentro del cálculo también se tiene el análisis diferencial, que está relacionado con las derivadas.

    El análisis diferencial nos permite saber el comportamiento de una función.

    Supongamos que se tiene una función que modela el crecimiento de una población \(P\):

    \[P=f(x)\]

    Podríamos suponer que la población no crece indefinidamente, sino que hay un término \(B\) que depende de la población \(x\), y que hace que haya un valor máximo. Esto podría deberse a que la comida y los recursos no son infinitos.

    \[P=f(x)-B(x)\]

    El análisis diferencial aplicado a esta función \(P\) nos puede decir cómo de rápido crece la población, cuál sería el máximo de la población y si esta población decrece después del máximo. Esta información se puede encontrar aplicando la derivada de una función.

    Hay múltiples derivadas de una función y muchas de ellas pueden ser calculadas usando tablas o usando reglas establecidas. En la mayoría de ocasiones solo necesitarás la primera o segunda derivada para obtener información importante acerca de tu función.

    Integrales

    Las integrales forman otro de los ejes primordiales del análisis y el cálculo.

    La integral, como operación, puede definirse como la inversa a la derivada. Para muchas funciones, también se puede definir como el área bajo la curva de la función.

    Las integrales son muy importantes en áreas como la física donde pueden representar el trabajo o la energía de un sistema, dada una función. Un ejemplo de ello es una fuerza que mueve un objeto del punto \(a\) al punto \(b\), donde esta fuerza está definida por alguna función \(f\).

    \[F=\text{fuerza}\quad W=\text{trabajo}\]

    \[W=\int_a^b F\, dx\]

    Esto también lo puedes ver en las siguientes imágenes.

    Análisis matemático, área bajo la curva, StudySmarterFig. 5. Representación de la integral como el área bajo la función entre dos puntos.

    Análisis matemático, representación de un objeto que se mueve por una fuerza produciendo un trabajo, StudySmarterFig. 6. Representación de un objeto moviéndose desde el punto \(a\) al punto \(b\) por una fuerza \(F\) lo que produce un trabajo \(W\).

    Cálculo de integrales

    Para realizar el cálculo de integrales debes hacer uso de varias herramientas; entre ellas, una serie de funciones llamadas primitivas. Esto significa que, si aplicas la integral a la función \(f\), obtenemos la función \(F\), que será la primitiva.

    Para esto puedes usar:

    Análisis matemático - Puntos clave

    • El análisis matemático es un área muy extensa de las matemáticas que estudia temas como: números, conjuntos, funciones y operaciones sobre estas, como las integrales y límites. Además de eso, se encarga de estudiar sus propiedades cuando se acercan a ciertos valores; esto se conoce como límites.
    • Las funciones son expresiones que se encargan de relacionar un dato de entrada con un dato de salida.
    • Hay muchos tipos de funciones, por ejemplo:
      • Polinómicas.
      • Exponenciales y logarítmicas.
      • Trigonométricas.
      • Racionales.
    • Un límite es el valor al que tiende una función cuando la variable que la define se acerca a un valor determinado.
    • La derivada representa relaciones de cambio entre las variables de la función.
    • La integral, como operación, puede definirse como la inversa a la derivada y para muchas funciones puede ser definida como el área bajo la curva de la función.

    Preguntas frecuentes sobre Análisis matemático

    ¿Qué es el análisis matemático?

    El comportamiento de una función que relaciona datos (x,y).  Cómo analizar la relación entre x→y y sus cambios son el centro de lo se conoce como cálculo, o análisis matemático.

    ¿Cuál es la diferencia entre el cálculo y el análisis matemático?

    Tradicionalmente el cálculo se conoce solo como las herramientas de cálculo que fueron creadas por Newton-Leibniz. El área más grande que abarca el estudio de estas, sus relaciones con los números y cómo surgen es lo que se conoce, más ampliamente, como análisis matemático.

    ¿Para qué sirve el análisis matemático?

    El análisis matemático es útil para poder estudiar la relación entre los números y sus funciones.

    ¿Qué permite analizar el cálculo?

    El cálculo permite analizar las relación entre dos conjuntos de números, o lo que se llama comúnmente una función, su comportamiento y sus características.

    ¿Qué son las integrales?

    Las integrales son una operación matemática que puede ser considerada como la inversa de la derivada. En algunos problemas de física estas están relacionadas con la energía o el trabajo de algún sistema.

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    ¿Cuál de las siguientes no es una función común? 

    Un mapeo de uno a uno es una función. ¿Verdadero o falso?

    Si en un mapeo a un valor de \(x\) le corresponden dos valores de y al mismo tiempo, este es una función. ¿Verdadero o falso?

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