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La tasa anual equivalente (TAE)
Cuando se deposita dinero a un \(r\%\) de interés compuesto anual, se generan unos intereses que se van acumulando y sumando a la cantidad original, en función del periodo de capitalización; este puede ser anual, semestral, mensual, etc. Cuanto más corto sea el periodo de capitalización, mayores serán los intereses generados a un mismo interés compuesto \(r\%\).
De esta manera, se define la tasa anual equivalente (TAE), que nos permite comparar diferentes préstamos e inversiones. La TAE da cuenta del rédito que produciría el mismo capital final, si el periodo de capitalización fuera de un año:
$$C_i\left(1+\dfrac{r}{k}\right)^{tk}=C_i(1+\text{TAE})^t$$
Por tanto:
$$\left(1+\dfrac{r}{k}\right)^{k}=1+\text{TAE}$$
Normalmente, la TAE se expresa como un porcentaje; por lo tanto, la fórmula se expresa como:
$$\begin{align}\text{TAE}&=\left[\left(1+\dfrac{r}{k}\right)^{k}-1\right]·100\end{align}$$
Veamos un ejemplo resuelto:
¿Cuál es la TAE producida por un interés anual del \(6\%\), si el periodo de capitalización es bimensual?
Solución:
Para responder debes, simplemente, aplicar la fórmula con los datos que te han sido proporcionados:
$$\begin{align}\text{TAE}&=\left[\left(1+\dfrac{r}{k}\right)^{k}-1\right]·100=\\&=\left[\left(1+\dfrac{0{,}06}{6}\right)^{6}-1\right]·100=\\&=6{,}15\%\end{align}$$
El periodo de capitalización es el intervalo de tiempo en el cual intereses son agregados al dinero invertido.
Supongamos que se tiene una cantidad de dinero \(x=100euros\), entre las fechas \((01/Enero)\) y \((01/Febrero)\), con un crecimiento del \(10\%\). Entonces, el periodo de capitalización sería \((01/Enero-01/Febrero)\) y la cantidad final, sería \(110euros\).
Supongamos, ahora, que el periodo de capitalización es mensual (no bi mensual) y el interés es más alto.
¿Cuál es la TAE producida por un interés anual del \(10\%\), si el periodo de capitalización es mensual?Solución:En este caso debes, simplemente, aplicar la fórmula con los datos correspondientes:$$\begin{align}\text{TAE}&=\left[\left(1+\dfrac{r}{k}\right)^{k}-1\right]·100=\\&=\left[\left(1+\dfrac{0{,}1}{6}\right)^{12}-1\right]·100=\\&=10{,}47\%\end{align}$$
En economía y finanzas, el interés de la capitalización, así como la frecuencia de los pagos, varía dependiendo de varios factores:
- El riesgo de la inversión es uno de los factores: si el riesgo de que un negocio no vaya bien es alto, entonces el interés sube o la frecuencia de pagos.
- Otro factor es la posibilidad de crecimiento del negocio en el que se invierte.
Números índices
Los números índices expresan la variación de una magnitud económica, a lo largo del tiempo, con respecto a un momento determinado.
- Este momento se denomina referencia o base.
El número índice de la cantidad \(x\) que corresponde al momento \(t_1\), tomando como base el momento \(t_0\), es:
$$I_{t_0}^{t_1}=\dfrac{x_{t_1}}{x_{t_0}}$$
Si lo expresamos en términos de porcentaje, tendríamos la fórmula:
$$I_{t_0}^{t_1}=\dfrac{x_{t_1}}{x_{t_0}}·100$$
Los números índices se utilizan para comparar magnitudes a lo largo del tiempo y ver cómo han variado. Así, se pueden obtener conclusiones sobre si algún aspecto o indicador económico social ha crecido o decrecido.
Por ejemplo, si el indicador mide la pobreza, un decrecimiento sería un aspecto positivo.
Hagamos un ejercicio al respecto:
La población en una ciudad en el año \(2021\) era de \(1{,}357{,}273\) habitantes. En el año \(2022\) la población de esta misma ciudad era de \(1{,}295{,}395\). Calcula los números índices de la población en los dos años, con base en el \(2022\).
Solución:
Como nos dicen que la base es el \(2022\), este año será el \(t_0\). Por tanto, el número índice del año \(2021\) es:
$$I_{2022}^{2021}=\dfrac{1.357.273}{1.295.395}·100\approx 105$$
Al ver el número índice, observamos una relación entre la población del año \(2021\) y del año \(2022\). Como el número índice es mayor de \(100\) y la base es con respecto al año \(2022\), deducimos que la población ha disminuido de un año para otro.
Esto se hace evidente solo viendo los números absolutos. Pero, en algunas ocasiones no nos interesará saber el número real, sino solamente la relación entre las dos cantidades.
El índice de precios al consumo (IPC)
El índice de precios al consumo (IPC) es un número índice que expresa el nivel de inflación en una economía.
Este número índice da cuenta de la variación del precio de varios productos representativos en una sociedad dentro de un tiempo determinado. Cada uno de los precios de los productos que se tienen en cuenta para calcular el IPC van multiplicados por una ponderación, según sea de relevante ese producto en el consumo habitual.
El IPC tomando como base el año \(t_0\), con respecto al año \(t_1\), es:
$$\text{IPC}=\dfrac{p_1^{t_1}q_1^{t_1}+p_2^{t_1}q_2^{t_1}+...+p_n^{t_1}q_n^{t_1}}{p_1^{t_0}q_1^{t_0}+p_2^{t_0}q_2^{t_0}+...+p_n^{t_0}q_n^{t_0}}$$
Las cantidades \(p_i\) son los precios de los productos, mientras que las cantidades \(q_i\) son los pesos que recibe cada precio para calcular el IPC.
El IPC está íntimamente ligado a métodos estadísticos:Como en un país los precios pueden cambiar, dependiendo de la región o, incluso, de la zona geográfica en una ciudad, el estudio se hace usando una muestra representativa y aleatoria. Esto significa que los datos tomados para un IPC deben abarcar precios de diversos sectores, tanto económicos como sociales, para que su valor represente la realidad social y económica del país o región en cuestión.Puedes aprender más acerca de esto en nuestros artículos de Variable aleatoria y Experimento aleatorio.
El euríbor
La Federación Bancaria Europea establece el euríbor como referencia sobre los intereses que proporcionan los principales bancos de la zona euro. Dependiendo del periodo en el que se preste el dinero, se puede hablar de euríbor a la semana, al mes, al año, etc. Sin embargo, la cantidad más utilizada es el euríbor al año, puesto que esta cantidad luego se usa para calcular los préstamos hipotecarios.
El índice de desarrollo humano (IDH)
El índice de desarrollo humano (IDH) es un número índice que elabora anualmente la Organización de las Naciones Unidad (ONU) para expresar el nivel de desarrollo de cada país.
Para ello, tiene en cuenta tres magnitudes:
- La esperanza de vida al nacer, \(IEV\), que representa la edad media que vive una persona en esa sociedad.
- El nivel de estudios académicos, \(IE\), que determina el nivel cultural de la población.
- La renta per cápita, \(II\), que expresa el nivel económico de la población.
Las tres magnitudes están expresadas como un número comprendido entre \(0\) y \(1\). Cuanto más cercana es la cantidad al \(1\), mayor es el desarrollo en ese aspecto.
Con estas tres magnitudes, se calcula el IDH como:
$$\text{IDH}=\sqrt[3]{IEV·IE·II}$$
Parámetros económicos y sociales - Puntos clave
- La TAE da cuenta del rédito que produciría el mismo capital final, si el periodo de capitalización fuera de un año.
- Los números índices expresan la variación de una magnitud económica a lo largo del tiempo. Los números índices expresan esta variación con respecto a un momento determinado que se denomina referencia o base.
- El índice de precios al consumo (IPC) es un número índice que expresa el nivel de inflación en una economía.
- El euríbor es la media aritmética simple de los tipos de interés que ofrecen los principales bancos cuando se prestan dinero unos a otros.
- El índice de desarrollo humano (IDH) es un número índice que elabora anualmente la Organización de las Naciones Unidad (ONU) para expresar el nivel de desarrollo de cada país.
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Preguntas frecuentes sobre Parámetros económicos y sociales
¿Qué es el Euríbor?
El euríbor es la media aritmética simple de los tipos de interés que ofrecen los principales bancos cuando se prestan dinero unos a otros.
¿Qué es el TAE y cómo se calcula?
La TAE da cuenta del rédito que produciría el mismo capital final, si el periodo de capitalización fuera de un año:
1+TAE=(1+r/k)k
- Donde r es el rédito y k los periodos de capitalización en un año.
¿Qué son los números índices?
Los números índices expresan la variación de una magnitud económica a lo largo del tiempo. Los números índices expresan esta variación con respecto a un momento determinado, que se denomina referencia o base.
¿Cuáles son los principales indicadores económicos?
Los principales indicadores económicos son la tasa anual equivalente (TAE), el índice de precios al consumo (IPC), el euríbor y el índice de desarrollo humano (IDH).
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