Estadística y probabilidad

¿Qué es la probabilidad?

Veamos un ejemplo:

El ejemplo anterior, por simple que parezca, puede ser llamado —con todo el rigor científico— un experimento aleatorio.

De este modo, si lanzas la moneda, no puedes saber cuál será el resultado.

. Fig. 1: Lanzar una moneda varias veces y analizar los resultados que se obtienen es un ejemplo básico de un experimento aleatorio

¿Qué es la estadística?

La estadística es una rama muy útil, que es usada en el amplio abanico de las ciencias exactas, naturales y sociales —como la economía—. Gran parte de la utilidad de la estadística viene de su capacidad de predecir posibles resultados, a partir de un segmento pequeño de datos.

Un ejemplo sencillo sería el siguiente:

Historia de la probabilidad y de la estadística

Como en muchas ramas de las matemáticas, la probabilidad y la estadística no tienen una historia lineal; pero, no por ello son poco interesantes.

Breves notas sobre la historia de la probabilidad

La probabilidad está ligada históricamente a los juegos de azar: los primeros dados proveyeron una manera de combinar números para obtener ciertos resultados.

Un juego de este tipo fue el que llevó a un intercambio de ideas entre Blaise Pascal y Pierre Fermat, en cuanto apuestas a los dados. A su vez, este intercambio de ideas produjo uno de los teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades:

Posteriormente, Pierre Simon Laplace (un científico francés) usaría las teorías de probabilidad para cálculos en varias ramas de problemas aplicados. Sin embargo, las bases de lo que hoy conocemos como probabilidad no serían establecidas sino hasta que el matemático soviético Andrey Kolmogorov dio una definición de la probabilidad utilizando axiomas.

Breves notas sobre la historia de la estadística

La estadística, por otra parte, tiene un pasado más ligado a datos y los estados-naciones. La estadística, primordialmente, nació como una herramienta para analizar datos de poblaciones. Existen datos acerca de la dinastía Han en China, que utilizó un censo entre su población hace casi \(2000\) años.

Más adelante, la estadística evolucionó en los estados europeos como una herramienta para obtener información útil acerca de la población. En tiempos más modernos, la información sería pasada por un proceso de inferencia estadística, el cual nos permite saber las propiedades de la distribución de probabilidad o la función que representa estos datos.

Obtención y análisis de datos

Uno de los puntos centrales de la estadística es la obtención y el análisis de los datos. En este sentido, hay temas importantes, que serán mencionados a lo largo de otros artículos, y que te explicaran más a fondo la probabilidad y estadística. Estos son:

• Medidas de tendencia central: como la media, la moda, la mediana.

• Distribuciones: como la distribución normal o la distribución binomial.

• Los procesos aleatorios.

• Medidas de desviación: como la varianza y la desviación típica.

Media, Moda y Mediana

Cuando se tiene un conjunto de datos, se pueden calcular ciertos parámetros que nos dan cierta información general sobre nuestros datos; tres de ellos son la Media, la Moda y la Mediana. Estas son conocidas como medidas de tendencia central.

Se calcula sumando todos los datos y dividiendo entre el número de ellos '\(m\)'.

\[\text{Media}=\dfrac{n_1+n_2+n_3... +n_m}{m}\]

Procesos aleatorios

Un proceso aleatorio es aquel proceso que no sigue un patrón, ni un conjunto de reglas específicas que puedan predecir su resultado de manera específica. Por ejemplo, lanzar un dado.

La varianza y la desviación típica

Muchas veces, cuando se tienen datos de ciertos experimentos o procesos, se espera que ciertos valores sean más probables que otros. En estos casos el proceso puede ser aleatorio, pero la probabilidad de ciertos valores es mayor. Por lo tanto, se pueden tener medidas que nos dicen cuánto se desvían los datos de un valor central o un valor esperado; dos de ellos son la varianza y la desviación típica.

La desviación estándar o desviación típica es una medida que nos dice qué tan lejos o dispersos están nuestros datos. El valor de esta no puede ser menor que \(0\). La fórmula de la desviación estándar es para un conjunto \(N\) de datos, cuya media es \(X_m\):

\[\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum_{n=1}^N (x_i-x_m)^2}{N-1}}\]

La varianza es otra medida de dispersión y es, en el sentido más simple, el cuadrado de la desviación estándar:

\[\text{varianza}=\sigma^2\]

Desviación media en probabilidad y estadística

Otra medida muy importante es la desviación media, que es simplemente qué tanto se desvían todos los datos del valor medio de estos. En ese caso debemos hacer lo siguiente:

1. Primero, calcular la media de los datos.

2. Después, sumar el valor absoluto del resto de valores que se tienen contra la media.

3. Finalmente, dividir la suma entre el número de datos.

\[D.M. = \dfrac{\sum_{n=1}^N (x_i-x_m)}{n}\]

Distribuciones de probabilidad

Puntos atípicos en datos

Cuando se realiza un experimento, se puede esperar que los datos sigan una distribución y que los valores se encuentren dentro de un rango. Por ejemplo, si tu experimento mide la aceleración de la gravedad, es normal que tus valores están alrededor del valor conocido, que es:

\[g=9{,}81 \frac{m}{s^2}\]

En ese caso, podrías obtener los siguientes datos en tu experimento:

\[g={9{,}82;9{,}74;10{,}2;10{,}1;9{,}8;9{,}77 }\]

Tus valores están cerca del valor que buscas. Si graficamos muchos de estos datos, seguirán una distribución normal. Pero, podrías obtener algunos datos muy raros como:

\[g={9{,}82;9{,}74;10{,}2;10{,}1;9{,}8;9{,}77 \rightarrow 12{,}34, \rightarrow 5{,}65 }\]

Estos puntos en experimentos y datos, cuando se hacen análisis estadísticos, son puntos atípicos y están generalmente generados por malas mediciones, malas técnicas al medir o fallos en los instrumentos; además de errores del personal que mide. En inglés se llaman outliers.