Cierra por un momento los ojos: imagina que estás en un concurso de televisión donde has ganado una cantidad de dinero grande y el presentador te muestra tres puertas: dos de ellas esconden una cabra y la otra un coche deportivo de alta gama. Debes escoger una de las tres y el presentador elimina una de las dos restantes.
Una vez hecho esto, te pregunta si quieres cambiar la puerta. ¿Qué harías?, ¿Cuál es la probabilidad que pierdas el dinero y ganes el coche?, ¿Vale la pena correr este riesgo si conoces la probabilidad de esto? Esto es lo que conocemos como el Problema de Monty Hall y es uno de los problemas más famosos en la probabilidad y estadística.
Aunque no entraremos en detalle en este artículo, el conocimiento de la probabilidad y la estadística te llevaría a cambiar la puerta y, así, tener más probabilidades de llevarte el coche. Estas dos ramas son de tremenda utilidad en muchos aspectos de las ciencias naturales, exactas, sociales y económicas, porque la probabilidad y la estadística tratan los eventos y sus resultados.
¿Qué es la probabilidad?
La probabilidad es la rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las posibilidades de un evento o resultado.
La probabilidad se encarga, en este caso, de estudiar qué tan posible es cierto resultado con respecto a los otros resultados posibles. Por ejemplo, si hay 3 eventos posibles, pero solo puede suceder uno de ellos, la probabilidad nos diría cuál es el más posible de los tres.
La probabilidad de un evento, depende de las condiciones del evento; es decir, las variables que alteran el posible resultado. El estudio de los eventos y los mecanismos que los producen son parte de otra rama de las matemáticas: la estadística (más adelante la veremos)
En probabilidad, la posibilidad de un evento se marca del \(0\) al \(100%\) o de \(0\) a \(1\). Si un evento tiene un \(100%\ de probabilidad significa que, según ciertas condiciones dadas, este siempre ocurrirá. Por el contrario, si tiene \(0%\) entonces es prácticamente imposible que ocurra, según las condiciones dadas.
Veamos un ejemplo:
Un caso básico de probabilidad, que seguramente has escuchado muchas veces, es el de tirar una moneda al aire. La moneda únicamente puede caer de un solo lado: cara o cruz. Por lo tanto, solamente hay dos resultados posibles, que llamaremos \(A\) o \(B\).
Aquí hay cuatro puntos a mencionar:
- La moneda tiene la misma distribución de peso.
- La moneda no tiene alguna forma especial que produzca que caiga siempre de un solo lado.
- No hay ningún agente físico externo que produzca una fuerza que haga a la moneda caer de un solo lado.
- Al lanzar la moneda, no se sigue ningún método por el cual se fuerce un resultado.
Si esto se da, la probabilidad de que caiga \(A\) o \(B\) debería ser siempre un , aproximadamente. Esto significa que la probabilidad de que caiga cara o cruz es la misma, no importa cuántas veces la lancemos.
Los 4 puntos que mencionamos son las condiciones de nuestro evento; mientras que, cara o cruz, \(A\) o \(B\) son los posibles resultados y \(50%\) es la probabilidad del resultado.
Si, por ejemplo, la moneda tuviese un diseño que provocase que un resultado fuese más posible que otro, entonces se alterarían las condiciones del evento (también llamadas condiciones experimentales) y, por lo tanto, se alterarían los posibles resultados.
El ejemplo anterior, por simple que parezca, puede ser llamado —con todo el rigor científico— un experimento aleatorio.
De este modo, si lanzas la moneda, no puedes saber cuál será el resultado.
Aleatorio significa que no se puede conocer el resultado de este.
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Fig. 1: Lanzar una moneda varias veces y analizar los resultados que se obtienen es un ejemplo básico de un experimento aleatorio
¿Qué es la estadística?
La estadística es el estudio y análisis de los eventos en probabilidad. Y, de una manera más amplia, también incluye el estudio y análisis de datos.
La estadística es una rama muy útil, que es usada en el amplio abanico de las ciencias exactas, naturales y sociales —como la economía—. Gran parte de la utilidad de la estadística viene de su capacidad de predecir posibles resultados, a partir de un segmento pequeño de datos.
Un ejemplo sencillo sería el siguiente:
Una persona hace un experimento en el que lanza una monedaveces. El experimento es aleatorio y, según sus condiciones, la moneda no posee ninguna forma de que su valor sea forzado a ser cara o cruz cada vez que se lanza.
Si la persona quisiera saber cuál es la probabilidad de que salga cara o cruz, tendría que contar todos los resultados. Sin embargo, la persona puede analizar una cantidad menor de datos: supongamos que \(20\) datos, de manera aleatoria, de losexperimentos. ¿Cuál crees que sería el resultado de estos?
Si el experimento es aleatorio y los datos son escogidos aleatoriamente, la persona debería obtener que de losresultados hay casi un \(50%\) de caras y\(50%\) de cruces. Aquí mencionamos casi porque es posible que haya desviaciones; pero, el resultado debería ser cercano a estas cifras. Las posibles desviaciones se reuducirían al aumentar el número de lanzamientos.
Los veinte datos del experimento que se toman para analizar son lo que se conoce como una muestra.
Historia de la probabilidad y de la estadística
Como en muchas ramas de las matemáticas, la probabilidad y la estadística no tienen una historia lineal; pero, no por ello son poco interesantes.
Breves notas sobre la historia de la probabilidad
La probabilidad está ligada históricamente a los juegos de azar: los primeros dados proveyeron una manera de combinar números para obtener ciertos resultados.
Por ejemplo, si se tienen dos dados y se requiere un valor mayor que \(10\) para ganar, hay un número de combinaciones que pueden repetir este resultado:
\[5+5=10\]
\[6+4=10\]
\[4+6=10\]
\[5+5=10\]
\[5+6=11\]
\[6+5=11\]
\[6+6=11\]
Fig. 2: Antiguos dados romanos; los juegos azar eran una forma de pasar tiempo desde épocas ancestrales.
Este es un caso de combinaciones con repeticiones, ya que los dados puede dar \(6\) y \(4\), pero también \(4\) y \(6\). El caso de \(6\) y \(6\), en cambio, solo puede dar una vez.
Un juego de este tipo fue el que llevó a un intercambio de ideas entre Blaise Pascal y Pierre Fermat, en cuanto apuestas a los dados. A su vez, este intercambio de ideas produjo uno de los teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades:
Si un evento tiene \(X\) posibles resultados que tienen una igual probabilidad de ocurrir y Y eventos consisten en un resultado positivo o ganador, entonces la probabilidad de estos resultados de ocurrir es \(Y/X\).
Posteriormente, Pierre Simon Laplace (un científico francés) usaría las teorías de probabilidad para cálculos en varias ramas de problemas aplicados. Sin embargo, las bases de lo que hoy conocemos como probabilidad no serían establecidas sino hasta que el matemático soviético Andrey Kolmogorov dio una definición de la probabilidad utilizando axiomas.
Los axiomas son reglas que son tomadas como ciertas, como el axioma de la conmutatividad en el cálculo que dice que \(a+b+c=c+b+a\).
Breves notas sobre la historia de la estadística
La estadística, por otra parte, tiene un pasado más ligado a datos y los estados-naciones. La estadística, primordialmente, nació como una herramienta para analizar datos de poblaciones. Existen datos acerca de la dinastía Han en China, que utilizó un censo entre su población hace casi \(2000\) años.
Más adelante, la estadística evolucionó en los estados europeos como una herramienta para obtener información útil acerca de la población. En tiempos más modernos, la información sería pasada por un proceso de inferencia estadística, el cual nos permite saber las propiedades de la distribución de probabilidad o la función que representa estos datos.
La probabilidad y la estadística están relacionadas muy de cerca. La probabilidad establece relaciones matemáticas que nos ayudan a saber cuándo un evento podría pasar o qué tan probable es que un evento suceda; la estadística, por su parte, estudia los resultados de esos eventos para ofrecer conclusiones acerca de los eventos que los generan.
Obtención y análisis de datos
Uno de los puntos centrales de la estadística es la obtención y el análisis de los datos. En este sentido, hay temas importantes, que serán mencionados a lo largo de otros artículos, y que te explicaran más a fondo la probabilidad y estadística. Estos son:
Medidas de tendencia central: como la media, la moda, la mediana.
Distribuciones: como la distribución normal o la distribución binomial.
Los procesos aleatorios.
Medidas de desviación: como la varianza y la desviación típica.
Media, Moda y Mediana
Cuando se tiene un conjunto de datos, se pueden calcular ciertos parámetros que nos dan cierta información general sobre nuestros datos; tres de ellos son la Media, la Moda y la Mediana. Estas son conocidas como medidas de tendencia central.
Media: Es el valor promedio de todos los datos.
Se calcula sumando todos los datos y dividiendo entre el número de ellos '\(m\)'.
\[\text{Media}=\dfrac{n_1+n_2+n_3... +n_m}{m}\]
Moda: Es el dato que más aparece en un conjunto de datos.
Por ejemplo, si se tienen los siguientes datos:
\[{1, 3, 4, 3, 2, 7, 3, 2, 4 }\]
La moda es \(3\), ya que aparece más veces que los demás.
Mediana: Es el dato que divide un conjunto de datos en dos partes iguales.
Por ejemplo, en el conjunto de datos anterior, si lo vemos en forma de lista:
\[{1, 3, 4, 3, 2, 7, 3, 2, 4}\]
La mediana es \(2\), ya que hay \(4\) datos a la izquierda y \(4\) datos a la derecha.
Este ejemplo es un poco informal, ya que la mejor forma de ver lo que es la mediana es usando una distribución de probabilidad, pero eso lo verás en su artículo correspondiente.
Procesos aleatorios
Un proceso aleatorio es aquel proceso que no sigue un patrón, ni un conjunto de reglas específicas que puedan predecir su resultado de manera específica. Por ejemplo, lanzar un dado.
En el lanzamiento de un dado, hay un sexto de probabilidades que el resultado sea uno de los valores de las distintas caras.
Si las condiciones experimentales dictan que no hay manera de que al tirar el dado un resultado sea más favorecido que otro, el posible resultado de que caiga cualquier número es:
\[\dfrac{1}{6}\]
En este caso, el resultado está acotado: no puede ser menor que \(1\) o mayor \(6\). Sin embargo, debido a que la probabilidad es la misma y a que no se puede favorecer ningún resultado, este lanzamiento de dados es un proceso o experimento aleatorio.
La varianza y la desviación típica
Muchas veces, cuando se tienen datos de ciertos experimentos o procesos, se espera que ciertos valores sean más probables que otros. En estos casos el proceso puede ser aleatorio, pero la probabilidad de ciertos valores es mayor. Por lo tanto, se pueden tener medidas que nos dicen cuánto se desvían los datos de un valor central o un valor esperado; dos de ellos son la varianza y la desviación típica.
La desviación estándar o desviación típica es una medida que nos dice qué tan lejos o dispersos están nuestros datos. El valor de esta no puede ser menor que \(0\). La fórmula de la desviación estándar es para un conjunto \(N\) de datos, cuya media es \(X_m\):
\[\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum_{n=1}^N (x_i-x_m)^2}{N-1}}\]
La varianza es otra medida de dispersión y es, en el sentido más simple, el cuadrado de la desviación estándar:
\[\text{varianza}=\sigma^2\]
Puedes aprender más sobre estas medidas en nuestro artículo sobre las distribuciones de probabilidad.
Desviación media en probabilidad y estadística
Otra medida muy importante es la desviación media, que es simplemente qué tanto se desvían todos los datos del valor medio de estos. En ese caso debemos hacer lo siguiente:
Primero, calcular la media de los datos.
Después, sumar el valor absoluto del resto de valores que se tienen contra la media.
Finalmente, dividir la suma entre el número de datos.
\[D.M. = \dfrac{\sum_{n=1}^N (x_i-x_m)}{n}\]
Distribuciones de probabilidad
Uno de los temas más relevantes en probabilidad y estadística son las distribuciones de probabilidad. Las distribuciones de probabilidad, básicamente, nos dicen cómo se comportan los resultados de nuestros eventos. Hay varios tipos de distribuciones, sobre las que podrás profundizar en otros artículos, como:
La distribución de Bernoulli.
La distribución normal.
La distribución binomial.
Para muchos eventos en el mundo real, los resultados tienden a cierto valor central. Esto se debe a que son regidos por ciertos procesos físicos que fuerzan ciertos resultados.
De este modo, muchos valores caerían cerca o alrededor de un valor central, mientras que los demás se desviarán. Si el proceso fuerza a que cierto valor tenga una probabilidad más alta, entonces los valores más lejanos serían menos probables.
Esto se vería como una campana, donde el valor central sería el resultado más probable y los valores, conforme se alejan, estarían desviados. De hecho, la medida que se usa para medir esta desviación es la desviación estándar.
Fig. 3: Muchas veces, cuando se tiene un experimento donde hay varios resultados (puntos en azul) y estos valores se distribuyen a lo largo de un rango que puede ir de 0 a un valor máximo, su forma seguirá una forma de campana (en rojo). Esta forma se llama, campana de gauss
Puntos atípicos en datos
Cuando se realiza un experimento, se puede esperar que los datos sigan una distribución y que los valores se encuentren dentro de un rango. Por ejemplo, si tu experimento mide la aceleración de la gravedad, es normal que tus valores están alrededor del valor conocido, que es:
\[g=9{,}81 \frac{m}{s^2}\]
En ese caso, podrías obtener los siguientes datos en tu experimento:
\[g={9{,}82;9{,}74;10{,}2;10{,}1;9{,}8;9{,}77 }\]
Tus valores están cerca del valor que buscas. Si graficamos muchos de estos datos, seguirán una distribución normal. Pero, podrías obtener algunos datos muy raros como:
\[g={9{,}82;9{,}74;10{,}2;10{,}1;9{,}8;9{,}77 \rightarrow 12{,}34, \rightarrow 5{,}65 }\]
Estos puntos en experimentos y datos, cuando se hacen análisis estadísticos, son puntos atípicos y están generalmente generados por malas mediciones, malas técnicas al medir o fallos en los instrumentos; además de errores del personal que mide. En inglés se llaman outliers.
Estadística - Puntos clave
- La probabilidad es una rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las posibilidades de un evento o resultado.
- La estadística es el estudio y análisis de los eventos en probabilidad. También incluye el estudio y análisis de datos.
- Aspectos clave de la probabilidad y la estadística son: las distribuciones de probabilidad, las medidas de tendencia central, las medidas de desviación y los procesos aleatorios.
- Un proceso aleatorio es aquel proceso que no sigue un patrón, ni un conjunto de reglas específicas que puedan predecir su resultado específico. Algunos ejemplos son tirar un dado o lanzar una moneda al aire.
- Cuando se tiene un conjunto de datos, se pueden calcular ciertos parámetros que nos dan información acerca de ellos, tres de estos parámetros son la Media, la Moda y la Mediana, también conocidas como medidas de tendencia central.
References
- Fig. 1: Coin toss (https://en.wikipedia.org/wiki/File:Coin_Toss_(3635981474).jpg) by ICMA Photos (https://www.flickr.com/people/31418530@N02), licensed by CC BY-SA 2.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/deed.en).
- Fig. 2: Roman lead dice (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:9BFE00_-roman_lead_die_(FindID_103936).jpg) by The Portable Antiquities Scheme/ The Trustees of the British Museum (https://finds.org.uk/database/images/image/id/180370/recordtype/artefacts), licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en).
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