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Movimiento Armónico Simple

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Movimiento Armónico Simple

El movimiento armónico simple (MAS) se define como un movimiento repetitivo de ida y vuelta de una masa a cada lado de una posición de equilibrio.

Este movimiento se produce entre los desplazamientos máximos a ambos lados de la posición de equilibrio.

Características del movimiento armónico simple

  1. El tiempo necesario para alcanzar el mismo punto de desplazamiento máximo es siempre el mismo, teniendo en cuenta condiciones ideales donde no hay fricción o donde la energía perdida es compensada.
  2. La finalización de este movimiento en ambos lados se denomina ciclo completo.
  3. El tiempo que tarda en transcurrir un ciclo completo se denomina período \( T \) .
  4. Por lo tanto, se supone que el movimiento armónico simple es una oscilación periódica.

Durante el MAS, se crea una fuerza conocida como fuerza restauradora, debido a la aceleración del cuerpo que da lugar a su oscilación. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento, pero tiene la dirección opuesta, lo que hace que el objeto vuelva a la posición de equilibrio. Esto se puede ver en la siguiente imagen:

Se puede asumir que un objeto oscila con un movimiento armónico simple si se cumplen las siguientes condiciones:

  • Las oscilaciones son periódicas: el objeto vuelve a su posición inicial en el mismo intervalo de tiempo en cada ciclo.
  • La aceleración del objeto que oscila en un movimiento armónico simple es proporcional a su desplazamiento, pero tiene una dirección opuesta.

Veamos algunos ejemplos de movimiento periódico armónico.

  • Una silla mecedora que se mueve hacia delante y hacia atrás, mientras vuelve a su posición inicial a intervalos de tiempo iguales.
  • Una masa sobre un muelle que oscila alrededor de la posición de equilibrio a intervalos de tiempo iguales.
  • Un muelle que oscila longitudinalmente a los mismos intervalos de tiempo.

¿Qué es la Ley de Hooke y cómo se relaciona con el movimiento armónico simple?

Si se fija una masa a un muelle y se desplaza de su posición inicial de reposo, oscilará en torno a la posición inicial con un movimiento armónico simple.

La ley de Hooke establece que la fuerza de restauración que se requiere para extender o comprimir el muelle desde su posición inicial de reposo en una distancia \( x \) es proporcional a la constante elástica del resorte \(k \), la cual es una característica de la rigidez del muelle.

La ley de Hooke tiene la misma forma que la segunda ley de Newton, donde la masa es el recíproco de la rigidez del muelle y la aceleración es el recíproco del desplazamiento negativo. Por lo tanto, la aceleración en el movimiento armónico simple es proporcional al desplazamiento y tiene la dirección opuesta (\(x \) es la distancia de una masa que oscila desde su posición de equilibrio).

  • \[ \text{Ley de Hooke}: F\mathrm{[N]} = -k\mathrm{[N/m]} \times \mathrm{[m]} \]
  • \[ \text{Segunda ley de Newton}: F\mathrm{[N]} = m\mathrm{[kg]}\times a \mathrm{[m/s^2]} \]

\[T\mathrm{[s]}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k} } \]

En la primera ecuación, el signo negativo en la fórmula indica que la fuerza tiene una dirección negativa con respecto al desplazamiento. Además,

  • \(F\) es la fuerza
  • \(k \) es la constante del muelle
  • \( x \) es el desplazamiento.

El periodo de un resorte oscilante también puede encontrarse utilizando la ecuación; donde,

  • \(T \) es el período
  • \( m \) es la masa del resorte.

¿Cuáles son las ecuaciones del movimiento armónico simple?

Hay varias ecuaciones que se emplean para describir una masa que realiza un movimiento armónico simple. ¡Veamos algunas de ellas!

Ecuación del periodo del movimiento armónico simple

El periodo \(T \) de un objeto que ejecuta un movimiento armónico simple es el tiempo que tarda el sistema en realizar una oscilación completa y volver a su posición de equilibrio.

Se supone que una oscilación completa se ha completado cuando un objeto se ha movido desde su posición inicial, ha alcanzado los dos puntos de desplazamiento máximo y ha vuelto a su posición inicial.

El periodo de tiempo se puede encontrar a partir de la ecuación siguiente:

\[ F\mathrm{[Hz]} = \frac{1}{T\mathrm{[s]}} \]

\[ \omega\mathrm{[rad/s]}= \frac{2\pi}{T}=2\pi \cdot f \]

Donde,

  • \(\omega \) es la tasa de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo.
  • \(T \) es el período.
  • \(f \) es el número de oscilaciones completas en un segundo.

Ecuación de aceleración y desplazamiento del movimiento armónico simple

\[ a_{max} = - \omega^2\times [m] \]

  • La aceleración máxima \(a \) de un objeto que oscila en movimiento armónico simple es proporcional al desplazamiento \( x \) y a la frecuencia angular \(\omega \).
  • La fórmula indica que la aceleración tiene un sentido opuesto al desplazamiento, esto se indica a partir del signo menos.
  • También muestra que la aceleración alcanza su máximo cuando el desplazamiento está en la máxima amplitud, que es el punto más alejado del equilibrio.

La ecuación dada se describe en el gráfico de aceleración vs. posición (Figura 2), que ilustra la aceleración como una función del desplazamiento.

La pendiente de la gráfica es igual a la frecuencia angular negativa al cuadrado, como se muestra en la ecuación siguiente: \[ \text{Pendiente}=\frac{a}{x}= - \omega^2 \]

Por lo tanto, el desplazamiento máximo y mínimo son \(+ x_0 \) y \(-x_0 \).

La posición de un objeto en movimiento armónico puede calcularse con la siguiente ecuación, siempre y cuando la frecuencia angular y la amplitud en un punto sean conocidas: \[ x(t)=x_0\sin (\omega t) \]

Esta ecuación puede utilizarse cuando el objeto oscila desde la posición inicial de equilibrio. Para describir este movimiento podemos usar una función sinusoidal; como se muestra en la figura siguiente, que ilustra el ejemplo de un péndulo que parte de la posición de equilibrio.

Si un objeto oscila desde su posición de máximo desplazamiento donde la amplitud es igual a \(-x_0 \) o \(x_0 \), entonces podemos emplear la siguiente ecuación: \[ x(t)=x_0\cos(\omega t) \]

Una ilustración de un ejemplo de péndulo que comienza a oscilar en su posición de máxima amplitud puede describirse mediante un gráfico y una ecuación del coseno, como se muestra a continuación.

Estas dos gráficas representan el mismo movimiento, pero con distinto punto inicial.

Ecuación de la velocidad del movimiento armónico simple

La velocidad de un objeto que oscila en movimiento armónico simple, en un momento dado, se puede encontrar utilizando la ecuación siguiente:

\[ V(t)=V_{max} \cos(\omega t) \]

\[ V_{max}=\omega \cdot x_0 \]

Donde,

  • \(V_{max} \) es la velocidad máxima.
  • \(t \) es el tiempo.
  • \( \omega \) es la frecuencia angular.

Esta ecuación también puede derivarse de la ecuación de posición, en términos de tiempo.

Recordemos que la velocidad es la derivada de la posición sobre el tiempo.

Se usa esta otra ecuación para describir el comportamiento de la velocidad con respecto al desplazamiento y la frecuencia del oscilador armónico:

\[ V_{max}=\pm \omega \sqrt{x_0^2 - x^2} \]

Donde,

  • \(x_0 \) es la amplitud
  • \( x \) es el desplazamiento

Ecuación de aceleración del movimiento armónico simple

La aceleración de un objeto que oscila en movimiento armónico simple, en un momento dado, se puede encontrar utilizando la siguiente ecuación:

\[ a(t) =-a_{max} \cdot \cos (\omega t )\]

\[ a_{max} =\omega^2 \cdot x \]

Donde,

  • \(a_{max} \) es la aceleración máxima
  • \(t \) es el tiempo
  • \( \omega \) es la frecuencia angular.

Esta ecuación también puede derivarse de la ecuación de la velocidad, en términos de tiempo, ya que la aceleración es la derivada de la velocidad sobre el tiempo.

Ejemplos del movimiento armónico simple

Se necesita una fuerza de \( 200\,\,\mathrm{N}\) para extender un muelle de \(5\,\,\mathrm{kg}\) de masa en \(0,5\,\,\mathrm{m}\).

Encuentra la constante del muelle y su frecuencia de oscilación.

Solución:

Emplea la ley de Hooke. Las variables dadas se sustituirán en la ecuación:

\[ F= k \cdot x\]

\[ k=\frac{F}{x}=\frac{200\,\,\mathrm{N}}{0.5\,\,\mathrm{m}}= 400\,\,\mathrm{\frac{N}{m}} = 400\,\,\mathrm{\frac{kg}{s^2}} \]

La frecuencia se puede encontrar utilizando la ecuación del periodo: \(T = 2π\sqrt{(m/k)} \).

Y, como la frecuencia es inversamente proporcional al período:

\[ 2\pi \sqrt{\frac{5\,\,\mathrm{kg}}{400\,\,\mathrm{kg/s^2}} }=0.7\,\,\mathrm{s}\]

\[ \frac{1}{T} = \frac{1}{0.7\,\,\mathrm{s}} = 1.42\,\,\mathrm{Hz} \]

Una masa de \(1\,\,\mathrm{kg}\) oscila desde su posición máxima de \(0,15\,\,\mathrm{m}\).

Encuentra el desplazamiento de la masa oscilante en \(t = 0,3\,\,\mathrm{s}\), si la masa realiza un movimiento armónico simple con un periodo de \(0,5\,\,\mathrm{s}\).

Solución:

Como la masa oscila en su posición máxima en \( t = 0 \), se usará la ecuación de posición del coseno:

\[ x(t)=x_0\cos(\omega t) \]

\[ x(t)=0,15\cos(\omega (0.3) ) \]

La frecuencia angular es necesaria para encontrar la posición en \(t = 0,3\,\,\mathrm{s} \).

Utilizando la relación entre el periodo y la frecuencia angular, obtenemos lo siguiente:

\[ \omega = 2 \pi / t = 2 \pi/0,5 = 12.56\,\,\mathrm{rad/s} \]

\[ x(t)=0,15\cos(12.56 (0.3) )= -0.15\,\,\mathrm{m} \]

¿Qué son el desplazamiento de fase y el ángulo de fase?

Cuando la posición inicial de la masa oscilante \(m \) en el momento inicial no es igual a la amplitud y la velocidad inicial no es cero, entonces la función coseno resultante —que representa el movimiento de la masa— aparecerá ligeramente desplazada hacia la derecha. Esto se conoce como desplazamiento de fase y se puede medir en términos de ángulo de fase \( \psi\), en radianes.

Cuando hay desplazamiento de fase, las ecuaciones del movimiento armónico simple que se introdujeron en función del tiempo también pueden escribirse en función del ángulo de fase:

\[ x(t)= x_0\cos(\omega t + \psi ) \]

\[ u(t)= V_{max}(\omega t + \psi ) \]

\[ a(t)= - a_{max} \cos(\omega t + \psi ) \]

El ángulo de fase puede determinarse a partir de la posición de la masa \(m \) que oscila, o de su gráfica. El desplazamiento de fase puede describirse como un ángulo medido en radianes, utilizando la ecuación:

\[ \psi = \omega t + \psi_0\]

Donde,

  • \(\omega \) es la frecuencia angular
  • \(t \) es el tiempo
  • \(\psi_0 \) es el desplazamiento de fase inicial.

La siguiente tabla describe el desplazamiento de fase en términos de ángulo y ciclo.

Descripción del movimientoÁngulo de fase (rad)Desplazamiento de fase (ciclo)
Comenzando en equilibrio00
Máximo desplazamiento positivo\( \frac{\pi}{2}\)Cuarto de ciclo
Primer retorno al equilibrio\( \pi \)Medio ciclo
Máximo desplazamiento negativo\( \frac{3\pi}{2} \)Tres cuartos de ciclo
Segundo retorno al equilibrio\( 2 \pi \)Ciclo completo

Tabla 1: Desplazamiento de fase.

Sistemas armónicos simples - Palabras clave

  • El movimiento armónico simple es un movimiento repetitivo de ida y vuelta de una masa a cada lado de una posición de equilibrio.
  • Cuando un objeto oscila en movimiento armónico simple, las oscilaciones son periódicas y la aceleración es proporcional al desplazamiento.
  • La fuerza restauradora de una oscilación puede describirse mediante la ley de Hooke.
  • Podemos describir el movimiento armónico simple mediante una serie de ecuaciones, que nos permiten calcular el periodo, desplazamiento, velocidad y aceleración.
  • Si la posición inicial del objeto no es igual a la amplitud y la velocidad inicial no es cero, esto se conoce como desplazamiento de fase.

Preguntas frecuentes sobre Movimiento Armónico Simple

Las ecuaciones del movimiento armónico simple son:

a(t) =-amax·cos(ω·t)

ω = (2π)/T=2·f  

x(t)=x0sin(ω·t) 

x(t)=x0cos(ω·t)

V(t)=Vmax·cos(ω·t)

Un movimiento periódico es aquel que se repite en intervalos regulares en un determinado rango de tiempo.

  1. El tiempo necesario para alcanzar el mismo punto de desplazamiento máximo es siempre el mismo. 
  2. La finalización de este movimiento en ambos lados se denomina ciclo completo
  3. El tiempo que tarda en transcurrir un ciclo completo se denomina período \( T \) 
  4. Por lo tanto, se supone que el movimiento armónico simple es una oscilación periódica.

Es una constante de proporcionalidad, que se utiliza en la ley de Hooke, e indica la fuerza que se necesita para mover un muelle desde su posición de equilibrio hasta cierta distancia.

La aceleración máxima se calcula con la siguiente ecuación:

amax = ω2· x

Cuestionario final de Movimiento Armónico Simple

Pregunta

¿Es válida la ley de la gravitación en presencia de la atmósfera terrestre?

Mostrar respuesta

Answer

No, hay que tener en cuenta la fuerza de rozamiento del aire.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la condición de un medio para que un objeto que se mueve en él alcance una velocidad terminal?

Mostrar respuesta

Answer

El medio tiene que ser disipativo.

Show question

Pregunta

¿Se alcanza siempre la velocidad terminal en valores finitos de tiempo?

Mostrar respuesta

Answer

No, normalmente se alcanza de forma asintótica.

Show question

Pregunta

Elige la afirmación correcta:

Mostrar respuesta

Answer

El movimiento dentro de los fluidos es la situación en la que solemos encontrar las velocidades terminales.

Show question

Pregunta

 Elige la afirmación correcta

Mostrar respuesta

Answer

La fuerza de arrastre de los fluidos crece con su densidad.

Show question

Pregunta

Elige la afirmación correcta

Mostrar respuesta

Answer

En la mayoría de las situaciones, tenemos que resolver la dinámica para encontrar la velocidad terminal.

Show question

Pregunta

Elige la afirmación correcta

Mostrar respuesta

Answer

La velocidad terminal se alcanza cuando hay un equilibrio entre el cuerpo ganado por el objeto en su movimiento y la energía perdida por disipación.

Show question

Pregunta

La velocidad terminal no siempre se alcanza en un medio disipativo. ¿De qué depende esto?

Mostrar respuesta

Answer

Depende de las condiciones iniciales del experimento y del montaje experimental.

Show question

Pregunta

¿Puede calcularse la velocidad terminal de los objetos que caen hacia la Tierra utilizando únicamente la primera ley de Newton?

Mostrar respuesta

Answer

No, también necesitamos la aportación de la dinámica (segunda ley de Newton).

Show question

Pregunta

¿Qué mide el coeficiente de resistencia aerodinámica?

Mostrar respuesta

Answer

La relación entre la fuerza de arrastre y la forma de un objeto.

Show question

Pregunta

¿Por qué no suele ser relevante la dirección de la velocidad terminal?

Mostrar respuesta

Answer

Porque la dirección del movimiento es fija y conocida.

Show question

Pregunta

¿Cuáles son las unidades del coeficiente de arrastre?

Mostrar respuesta

Answer

Es un número y no tiene unidades.

Show question

Pregunta

¿Depende la fuerza de rozamiento del tamaño del objeto?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, pero solo en la superficie perpendicular al movimiento.

Show question

Pregunta

¿A qué objeto afecta más la fuerza de arrastre: a una aguja que cae verticalmente o a una que cae horizontalmente?

Mostrar respuesta

Answer

Una aguja que cae horizontalmente, porque su superficie perpendicular al movimiento es mayor.

Show question

Pregunta

¿Por qué descartamos la solución para la velocidad cero al encontrar la velocidad terminal de una esfera que cae?

Mostrar respuesta

Answer

Porque se corresponde con el instante inicial del movimiento, en el que no hay velocidad terminal.

Show question

Pregunta

¿En qué condiciones se conserva la energía?

Mostrar respuesta

Answer

La energía se conserva bajo la condición de que el sistema esté cerrado.

Show question

Pregunta

¿Qué es la energía cinética?

Mostrar respuesta

Answer

La energía cinética se define como la energía que posee un cuerpo en virtud de su estado de movimiento.

Show question

Pregunta

¿Qué es la energía potencial?

Mostrar respuesta

Answer

La energía potencial se define como la energía que posee un cuerpo de masa definida, en virtud de su posición, en presencia de un campo gravitatorio.

Show question

Pregunta

¿Qué es la disipación de energía?

Mostrar respuesta

Answer

La pérdida de energía, al transformarse en formas de energía no útiles durante las transferencias de energía, se conoce como disipación de energía.

Show question

Pregunta

¿Qué es la energía elástica?

Mostrar respuesta

Answer

La energía que posee un cuerpo para mantener su configuración original.

Show question

Pregunta

¿Qué es la energía química?

Mostrar respuesta

Answer

La energía que posee una sustancia química.

Show question

Pregunta

¿Qué es la energía nuclear?

Mostrar respuesta

Answer

La energía que posee el núcleo de un átomo.

Show question

Pregunta

Pon un ejemplo de energía química convertida en energía mecánica.

Mostrar respuesta

Answer

Motor de combustible.

Show question

Pregunta

Pon un ejemplo de energía eléctrica convertida en energía térmica.

Mostrar respuesta

Answer

Calentador eléctrico.

Show question

Pregunta

Pon un ejemplo de energía eléctrica convertida en energía luminosa.     

Mostrar respuesta

Answer

La bombilla.

Show question

Pregunta

¿Cuál de las siguientes opciones nos da la energía mecánica de un objeto/sistema?

Mostrar respuesta

Answer

Energía potencial + energía cinética

Show question

Pregunta

¿Cuál de las siguientes puede ser una definición de energía nuclear?

Mostrar respuesta

Answer

Forma de energía que resulta de la conversión de ciertas cantidades de masa en energía. 

Show question

Pregunta

Dos objetos que orbitan a la misma velocidad pero a diferentes distancias alrededor de un centro de rotación, cubren ...

Mostrar respuesta

Answer

La misma distancia durante el mismo intervalo de tiempo.

Show question

Pregunta

¿Qué es una propiedad intensiva?

Mostrar respuesta

Answer

Una propiedad que es el resultado de los átomos que componen el objeto como cargas eléctricas.

Show question

Pregunta

Los vectores son útiles en mecánica. ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero

Show question

Pregunta

¿Qué es una cantidad escalar?

Mostrar respuesta

Answer

Una cantidad que tiene una dirección.

Show question

Pregunta

Los vectores tienen:

Mostrar respuesta

Answer

Dirección y sentido.

Show question

Pregunta

La tercera ley de Newton afirma que cuando dos objetos interactúan entre sí, ejercen fuerzas iguales en direcciones contrarias. ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero

Show question

Pregunta

Las leyes de Newton son tres. ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero

Show question

Pregunta

¿Cuáles son las leyes que nos permiten ofrecer una descripción mecánica de un sistema?

Mostrar respuesta

Answer

Las leyes de Newton

Show question

Pregunta

La mecánica clásica rotacional utiliza sistemas de coordenadas esféricos y cilíndricos. ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero

Show question

Pregunta

La dinámica estudia los movimientos de los objetos, pero no tiene en cuenta las fuerzas que actúan sobre ellos. ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Falso

Show question

Pregunta

El estudio de la cinemática se centra en el análisis del desplazamiento, la velocidad, la trayectoria y la aceleración de los objetos en movimiento. ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero

Show question

Pregunta

¿Cuáles son las dos principales ramas de la mecánica clásica?

Mostrar respuesta

Answer

Dinámica y cinemática

Show question

Pregunta

¿Qué otras teorías mejoran la descripción de la mecánica clásica?

Mostrar respuesta

Answer

La mecánica relativista y le mecánica cuántica.

Show question

Pregunta

¿Quién es el padre de la mecánica clásica?

Mostrar respuesta

Answer

Isaac Newton

Show question

Pregunta

¿Cuál es la ley de Newton que conecta las fuerzas como causas del movimiento con la evolución de un sistema?

Mostrar respuesta

Answer

La segunda ley de Newton

Show question

Pregunta

¿Por qué descartamos la solución para la velocidad cero al encontrar la velocidad terminal de una esfera que cae?

Mostrar respuesta

Answer

Porque corresponde al instante inicial del movimiento, en el que no había velocidad terminal.

Show question

Pregunta

¿A qué objeto afecta más la fuerza de arrastre: a una aguja que cae verticalmente o a una que cae horizontalmente?

Mostrar respuesta

Answer

A una aguja que cae horizontalmente, porque su superficie perpendicular al movimiento es mayor.

Show question

Pregunta

¿La fuerza de arrastre depende del tamaño del objeto?


Mostrar respuesta

Answer

Sí, pero solo en la superficie perpendicular al movimiento.

Show question

Pregunta

¿Cuáles son las unidades del coeficiente de arrastre?


Mostrar respuesta

Answer

Es un número y no tiene unidades.

Show question

Pregunta

¿Por qué hablamos habitualmente de la velocidad terminal como una cantidad escalar?

Mostrar respuesta

Answer

Porque ya conocemos la dirección del movimiento y no necesitamos especificarla hablando de cantidades vectoriales.

Show question

Pregunta

¿Qué mide el coeficiente de arrastre?


Mostrar respuesta

Answer

La relación entre la fuerza de arrastre y la forma de un objeto.

Show question

Pregunta

¿Puede calcularse la velocidad terminal de los objetos que caen hacia la Tierra utilizando únicamente la primera ley de Newton?

Mostrar respuesta

Answer

No, también necesitamos la aportación de la dinámica (segunda ley de Newton).

Show question

Pregunta

La velocidad terminal no siempre se alcanza en un medio disipativo. ¿De qué depende esto?

Mostrar respuesta

Answer

Solo depende de las condiciones iniciales del experimento.

Show question

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