El movimiento armónico simple (MAS) se define como un movimiento repetitivo de ida y vuelta de una masa a cada lado de una posición de equilibrio.
Este movimiento se produce entre los desplazamientos máximos a ambos lados de la posición de equilibrio.
Características del movimiento armónico simple
- El tiempo necesario para alcanzar el mismo punto de desplazamiento máximo es siempre el mismo, teniendo en cuenta condiciones ideales donde no hay fricción o donde la energía perdida es compensada.
- La finalización de este movimiento en ambos lados se denomina ciclo completo.
- El tiempo que tarda en transcurrir un ciclo completo se denomina período \( T \) .
- Por lo tanto, se supone que el movimiento armónico simple es una oscilación periódica.
Durante el MAS, se crea una fuerza conocida como fuerza restauradora, debido a la aceleración del cuerpo que da lugar a su oscilación. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento, pero tiene la dirección opuesta, lo que hace que el objeto vuelva a la posición de equilibrio. Esto se puede ver en la siguiente imagen:
Se puede asumir que un objeto oscila con un movimiento armónico simple si se cumplen las siguientes condiciones:
- Las oscilaciones son periódicas: el objeto vuelve a su posición inicial en el mismo intervalo de tiempo en cada ciclo.
- La aceleración del objeto que oscila en un movimiento armónico simple es proporcional a su desplazamiento, pero tiene una dirección opuesta.
Veamos algunos ejemplos de movimiento periódico armónico.
- Una silla mecedora que se mueve hacia delante y hacia atrás, mientras vuelve a su posición inicial a intervalos de tiempo iguales.
- Una masa sobre un muelle que oscila alrededor de la posición de equilibrio a intervalos de tiempo iguales.
- Un muelle que oscila longitudinalmente a los mismos intervalos de tiempo.
¿Qué es la Ley de Hooke y cómo se relaciona con el movimiento armónico simple?
Si se fija una masa a un muelle y se desplaza de su posición inicial de reposo, oscilará en torno a la posición inicial con un movimiento armónico simple.
La ley de Hooke establece que la fuerza de restauración que se requiere para extender o comprimir el muelle desde su posición inicial de reposo en una distancia \( x \) es proporcional a la constante elástica del resorte \(k \), la cual es una característica de la rigidez del muelle.
La ley de Hooke tiene la misma forma que la segunda ley de Newton, donde la masa es el recíproco de la rigidez del muelle y la aceleración es el recíproco del desplazamiento negativo. Por lo tanto, la aceleración en el movimiento armónico simple es proporcional al desplazamiento y tiene la dirección opuesta (\(x \) es la distancia de una masa que oscila desde su posición de equilibrio).
- \[ \text{Ley de Hooke}: F\mathrm{[N]} = -k\mathrm{[N/m]} \times \mathrm{[m]} \]
- \[ \text{Segunda ley de Newton}: F\mathrm{[N]} = m\mathrm{[kg]}\times a \mathrm{[m/s^2]} \]
\[T\mathrm{[s]}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k} } \]
En la primera ecuación, el signo negativo en la fórmula indica que la fuerza tiene una dirección negativa con respecto al desplazamiento. Además,
- \(F\) es la fuerza
- \(k \) es la constante del muelle
- \( x \) es el desplazamiento.
El periodo de un resorte oscilante también puede encontrarse utilizando la ecuación; donde,
- \(T \) es el período
- \( m \) es la masa del resorte.
¿Cuáles son las ecuaciones del movimiento armónico simple?
Hay varias ecuaciones que se emplean para describir una masa que realiza un movimiento armónico simple. ¡Veamos algunas de ellas!
Ecuación del periodo del movimiento armónico simple
El periodo \(T \) de un objeto que ejecuta un movimiento armónico simple es el tiempo que tarda el sistema en realizar una oscilación completa y volver a su posición de equilibrio.
Se supone que una oscilación completa se ha completado cuando un objeto se ha movido desde su posición inicial, ha alcanzado los dos puntos de desplazamiento máximo y ha vuelto a su posición inicial.
El periodo de tiempo se puede encontrar a partir de la ecuación siguiente:
\[ F\mathrm{[Hz]} = \frac{1}{T\mathrm{[s]}} \]
\[ \omega\mathrm{[rad/s]}= \frac{2\pi}{T}=2\pi \cdot f \]
Donde,
- \(\omega \) es la tasa de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo.
- \(T \) es el período.
- \(f \) es el número de oscilaciones completas en un segundo.
Ecuación de aceleración y desplazamiento del movimiento armónico simple
\[ a_{max} = - \omega^2\times [m] \]
- La aceleración máxima \(a \) de un objeto que oscila en movimiento armónico simple es proporcional al desplazamiento \( x \) y a la frecuencia angular \(\omega \).
- La fórmula indica que la aceleración tiene un sentido opuesto al desplazamiento, esto se indica a partir del signo menos.
- También muestra que la aceleración alcanza su máximo cuando el desplazamiento está en la máxima amplitud, que es el punto más alejado del equilibrio.
La ecuación dada se describe en el gráfico de aceleración vs. posición (Figura 2), que ilustra la aceleración como una función del desplazamiento.
La pendiente de la gráfica es igual a la frecuencia angular negativa al cuadrado, como se muestra en la ecuación siguiente: \[ \text{Pendiente}=\frac{a}{x}= - \omega^2 \]
Por lo tanto, el desplazamiento máximo y mínimo son \(+ x_0 \) y \(-x_0 \).
La posición de un objeto en movimiento armónico puede calcularse con la siguiente ecuación, siempre y cuando la frecuencia angular y la amplitud en un punto sean conocidas: \[ x(t)=x_0\sin (\omega t) \]
Esta ecuación puede utilizarse cuando el objeto oscila desde la posición inicial de equilibrio. Para describir este movimiento podemos usar una función sinusoidal; como se muestra en la figura siguiente, que ilustra el ejemplo de un péndulo que parte de la posición de equilibrio.
Si un objeto oscila desde su posición de máximo desplazamiento donde la amplitud es igual a \(-x_0 \) o \(x_0 \), entonces podemos emplear la siguiente ecuación: \[ x(t)=x_0\cos(\omega t) \]
Una ilustración de un ejemplo de péndulo que comienza a oscilar en su posición de máxima amplitud puede describirse mediante un gráfico y una ecuación del coseno, como se muestra a continuación.
Estas dos gráficas representan el mismo movimiento, pero con distinto punto inicial.
Ecuación de la velocidad del movimiento armónico simple
La velocidad de un objeto que oscila en movimiento armónico simple, en un momento dado, se puede encontrar utilizando la ecuación siguiente:
\[ V(t)=V_{max} \cos(\omega t) \]
\[ V_{max}=\omega \cdot x_0 \]
Donde,
- \(V_{max} \) es la velocidad máxima.
- \(t \) es el tiempo.
- \( \omega \) es la frecuencia angular.
Esta ecuación también puede derivarse de la ecuación de posición, en términos de tiempo.
Recordemos que la velocidad es la derivada de la posición sobre el tiempo.
Se usa esta otra ecuación para describir el comportamiento de la velocidad con respecto al desplazamiento y la frecuencia del oscilador armónico:
\[ V_{max}=\pm \omega \sqrt{x_0^2 - x^2} \]
Donde,
- \(x_0 \) es la amplitud
- \( x \) es el desplazamiento
Ecuación de aceleración del movimiento armónico simple
La aceleración de un objeto que oscila en movimiento armónico simple, en un momento dado, se puede encontrar utilizando la siguiente ecuación:
\[ a(t) =-a_{max} \cdot \cos (\omega t )\]
\[ a_{max} =\omega^2 \cdot x \]
Donde,
- \(a_{max} \) es la aceleración máxima
- \(t \) es el tiempo
- \( \omega \) es la frecuencia angular.
Esta ecuación también puede derivarse de la ecuación de la velocidad, en términos de tiempo, ya que la aceleración es la derivada de la velocidad sobre el tiempo.
Ejemplos del movimiento armónico simple
Se necesita una fuerza de \( 200\,\,\mathrm{N}\) para extender un muelle de \(5\,\,\mathrm{kg}\) de masa en \(0,5\,\,\mathrm{m}\).
Encuentra la constante del muelle y su frecuencia de oscilación.
Solución:
Emplea la ley de Hooke. Las variables dadas se sustituirán en la ecuación:
\[ F= k \cdot x\]
\[ k=\frac{F}{x}=\frac{200\,\,\mathrm{N}}{0.5\,\,\mathrm{m}}= 400\,\,\mathrm{\frac{N}{m}} = 400\,\,\mathrm{\frac{kg}{s^2}} \]
La frecuencia se puede encontrar utilizando la ecuación del periodo: \(T = 2π\sqrt{(m/k)} \).
Y, como la frecuencia es inversamente proporcional al período:
\[ 2\pi \sqrt{\frac{5\,\,\mathrm{kg}}{400\,\,\mathrm{kg/s^2}} }=0.7\,\,\mathrm{s}\]
\[ \frac{1}{T} = \frac{1}{0.7\,\,\mathrm{s}} = 1.42\,\,\mathrm{Hz} \]
Una masa de \(1\,\,\mathrm{kg}\) oscila desde su posición máxima de \(0,15\,\,\mathrm{m}\).
Encuentra el desplazamiento de la masa oscilante en \(t = 0,3\,\,\mathrm{s}\), si la masa realiza un movimiento armónico simple con un periodo de \(0,5\,\,\mathrm{s}\).
Solución:
Como la masa oscila en su posición máxima en \( t = 0 \), se usará la ecuación de posición del coseno:
\[ x(t)=x_0\cos(\omega t) \]
\[ x(t)=0,15\cos(\omega (0.3) ) \]
La frecuencia angular es necesaria para encontrar la posición en \(t = 0,3\,\,\mathrm{s} \).
Utilizando la relación entre el periodo y la frecuencia angular, obtenemos lo siguiente:
\[ \omega = 2 \pi / t = 2 \pi/0,5 = 12.56\,\,\mathrm{rad/s} \]
\[ x(t)=0,15\cos(12.56 (0.3) )= -0.15\,\,\mathrm{m} \]
¿Qué son el desplazamiento de fase y el ángulo de fase?
Cuando la posición inicial de la masa oscilante \(m \) en el momento inicial no es igual a la amplitud y la velocidad inicial no es cero, entonces la función coseno resultante —que representa el movimiento de la masa— aparecerá ligeramente desplazada hacia la derecha. Esto se conoce como desplazamiento de fase y se puede medir en términos de ángulo de fase \( \psi\), en radianes.
Cuando hay desplazamiento de fase, las ecuaciones del movimiento armónico simple que se introdujeron en función del tiempo también pueden escribirse en función del ángulo de fase:
\[ x(t)= x_0\cos(\omega t + \psi ) \]
\[ u(t)= V_{max}(\omega t + \psi ) \]
\[ a(t)= - a_{max} \cos(\omega t + \psi ) \]
El ángulo de fase puede determinarse a partir de la posición de la masa \(m \) que oscila, o de su gráfica. El desplazamiento de fase puede describirse como un ángulo medido en radianes, utilizando la ecuación:
\[ \psi = \omega t + \psi_0\]
Donde,
- \(\omega \) es la frecuencia angular
- \(t \) es el tiempo
- \(\psi_0 \) es el desplazamiento de fase inicial.
La siguiente tabla describe el desplazamiento de fase en términos de ángulo y ciclo.
| Descripción del movimiento | Ángulo de fase (rad) | Desplazamiento de fase (ciclo) |
| Comenzando en equilibrio | 0 | 0 |
| Máximo desplazamiento positivo | \( \frac{\pi}{2}\) | Cuarto de ciclo |
| Primer retorno al equilibrio | \( \pi \) | Medio ciclo |
| Máximo desplazamiento negativo | \( \frac{3\pi}{2} \) | Tres cuartos de ciclo |
| Segundo retorno al equilibrio | \( 2 \pi \) | Ciclo completo |
Tabla 1: Desplazamiento de fase.
Sistemas armónicos simples - Palabras clave
- El movimiento armónico simple es un movimiento repetitivo de ida y vuelta de una masa a cada lado de una posición de equilibrio.
- Cuando un objeto oscila en movimiento armónico simple, las oscilaciones son periódicas y la aceleración es proporcional al desplazamiento.
- La fuerza restauradora de una oscilación puede describirse mediante la ley de Hooke.
- Podemos describir el movimiento armónico simple mediante una serie de ecuaciones, que nos permiten calcular el periodo, desplazamiento, velocidad y aceleración.
- Si la posición inicial del objeto no es igual a la amplitud y la velocidad inicial no es cero, esto se conoce como desplazamiento de fase.
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