Desde que somos pequeños, parece que el vaivén de los objetos nos relaja. Por ejemplo, cuando éramos bebés, nos gustaba que nos mecieran en las cunas o, incluso, con los brazos. Y de más adultos, mucha gente tiene objetos como péndulos en sus oficinas, porque dan una sensación de tranquilidad. En este artículo nos centraremos en ese movimiento, desde el punto de vista físico: el movimiento periódico.
¿Qué es el movimiento periódico?
El movimiento periódico es un movimiento que se repite a determinados intervalos de tiempo.
Hablamos de movimiento periódico en las sillas mecedoras que se mueve hacia delante y hacia atrás.
Otro ejemplo es un péndulo que se balancea. El tiempo que tarda el péndulo en completar una oscilación se denomina periodo \(T\), que suele medirse en segundos.
El periodo es el tiempo que tarda en producirse un acontecimiento, independientemente de que este sea repetitivo o no.
Sin embargo, en este caso se trata de sucesos repetitivos, ya que el movimiento periódico es repetitivo. Por lo tanto, también hay que tener en cuenta la frecuencia \(f \).
La frecuencia especifica el número de veces que el suceso se produce en una unidad de tiempo (normalmente un segundo), y se mide en hercios \(\mathrm{Hz}\).
Todos los sucesos que se repiten al cabo de cierto tiempo (periodo) se denominan periódicos y tienen una frecuencia. La relación entre la frecuencia y el periodo se expresa en la siguiente ecuación: \[f=\dfrac{1}{T}\]
¿Cuáles son los tipos de movimientos periódicos?
Aunque el movimiento periódico puede observarse en una gran variedad de eventos, es útil distinguir entre tipos específicos de movimiento, como el movimiento circular y el movimiento armónico simple. ¡Veamos cómo es cada uno!
Movimiento circular
El movimiento circular se produce alrededor de un punto central, con un radio constante y una velocidad determinada.
Hay una gran variedad de ejemplos de movimiento circular en nuestra vida cotidiana, como las aspas de un ventilador de techo girando o la rueda de un carrusel gigante en el parque.
Mientras se produce el movimiento circular, la distancia del objeto al eje de rotación (también conocida como radio) permanece constante en todo momento. La velocidad del objeto, sin embargo, cambia continuamente, ya que la velocidad es una cantidad vectorial que depende tanto de la velocidad como de la dirección.
Movimiento armónico simple
El movimiento armónico simple es el nombre que recibe un sistema que puede explicarse mediante la ley de Hooke. Esta establece que el tamaño del desplazamiento o la deformación de un objeto es directamente proporcional a la carga o fuerza que se le aplica.
Cualquier sistema que obedezca esta ley se conoce como un oscilador armónico simple.
Péndulo simple
Las aplicaciones de los péndulos en nuestra vida cotidiana son muy variadas. Algunas son muy importantes —como los péndulos utilizados en los relojes—, mientras que otras son para divertirse —como el columpio de los niños en un parque infantil—. Para pequeños desplazamientos, un péndulo simple puede considerarse un oscilador armónico simple.
Un péndulo simple es un objeto, con una masa determinada, suspendido de una cuerda o un cable.
Fórmulas del movimiento periódico
Ya hemos visto los distintos tipos de movimiento periódico que existen, ahora vamos a ver las fórmulas que los describen.
Fórmulas del movimiento circular
En el movimiento circular, el cambio de velocidad indica la presencia de una aceleración, que es causada por una fuerza centrípeta. La fuerza centrípeta es la que mantiene el movimiento circular, actuando hacia la dirección del centro y a lo largo del radio.
Su fórmula es: \[F=\dfrac{m\cdot v^2}{r},\]
Donde,
\(F\) es la fuerza centrípeta en Newtons (\(\mathrm{N}\)).
\(m\) es la masa del objeto en \(\mathrm{kg}\).
\(v\) es la velocidad del objeto en \(\mathrm{m/s}\).
\(r\) es el radio de la órbita del objeto.
Fig. 1: Diagrama del movimiento circular.
La tasa de cambio de la posición angular del objeto es la velocidad angular (\(\omega\)). Si un objeto se mueve (como se muestra en la figura 1) en un movimiento circular, cuyo radio es \(r\) y el periodo de una rotación \(T\), podemos determinar su velocidad angular utilizando la siguiente fórmula: \[\dfrac{\partial\theta}{\partial t}=\omega\,\,\mathrm{rad/s}=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f\]
La relación entre la velocidad del objeto (\(v\)) y su velocidad angular puede expresarse de la siguiente manera: \[v=\omega\cdot T\]
El ángulo (\(\theta\)) recorrido en un periodo de tiempo depende, también, de la velocidad angular y puede expresarse como se indica a continuación (los valores se dan en radianes): \[\theta=\omega\cdot t\]
Fórmulas del movimiento armónico simple
La ley de Hooke establece que la fuerza que se necesita para extender o comprimir un muelle es directamente proporcional a la distancia que el muelle va a extenderse o comprimirse y a la constante de fuerza \(k\) (que es un factor constante característico del muelle):
\[F=k\cdot \Delta x\]
Donde,
\(F\) es la fuerza necesaria para extender o comprimir el muelle en Newtons (\(\mathrm{N}\)).
\(k\) es la constante elástica del muelle en \(\mathrm{N/m}\).
\(\Delta x\) es el desplazamiento del muelle (extensión o compresión) en \(\mathrm{m}\).
Si no hay rozamiento —ni ninguna otra fuerza externa que actúe sobre él—, el objeto oscilará con igual desplazamiento a ambos lados de la posición que toma el oscilador cuando no hay fuerzas actuando sobre él. Sin embargo, esto un escenario ideal y no realista.
Es probable que hayas visto esta misma fórmula que acabamos de aprender, pero con un signo negativo delante de la constante elástica \(k\). Esto, tan solo, nos indica en qué sentido consideramos la fuerza positiva y en cuál negativa, pero en ningún momento afecta al resultado. En nuestro caso, al no haber signo negativo, si el objeto se comprime \(\Delta x < 0\), la fuerza que le hará comprimirse será negativa, y viceversa.
Fig. 2: Diagrama de un oscilador armónico simple; en este caso, un muelle.
Para calcular el periodo o la frecuencia de los osciladores armónicos simples, tenemos que considerar la masa \(m\) del objeto y la constante de fuerza del muelle \(k\); pero, no necesitamos considerar la amplitud de la fuerza aplicada, que es independiente del periodo.
Por ejemplo, independientemente de si se tocan las cuerdas de una guitarra con más fuerza o con más suavidad, estas oscilarán con la misma frecuencia, porque el periodo es constante.
La relación entre el periodo, la masa y la constante del muelle viene dada por la siguiente fórmula: \[T=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{m}{k}}\]
Donde,
\(m\) es la masa del objeto en \(\mathrm{kg}\).
\(k\) es la constante de fuerza en \(\mathrm{N/m}\).
\(T\) es el periodo de oscilación en segundos.
También se puede expresar utilizando la frecuencia, en lugar del periodo. Si la frecuencia \(f\) es igual a \(1/T\), obtenemos la siguiente expresión: \[f=\dfrac{1}{2\pi}\cdot\sqrt{\dfrac{k}{m}}\]
Fórmulas para el péndulo simple
Como puedes ver en la figura 3:
- el desplazamiento lineal desde el equilibrio es \(s\)
- la fuerza gravitatoria es \(w = mg\)
- donde: \(m\) es la masa y \(g\) es la aceleración debida a la gravedad en \(\mathrm{m/s^2}\)
- \(T\) es la fuerza de tensión de la cuerda que está manteniendo el objeto unido a la viga
Fig. 3: Diagrama de un péndulo simple y las fuerzas que actúan sobre él
Podemos expresar la fuerza neta \(F\) que actúa sobre el péndulo como:
\[F=-mg\cdot sin(\theta)\]
La relación entre \(s\) y la longitud de la cuerda \(L\) es:
\[s=L\cdot sin(\theta)\]
De esta ecuación se deduce que \(\theta\) es igual a \(s/L\). Si añadimos esto a la ecuación para encontrar la fuerza neta y tomamos \(sin (\theta)\) como \(sin (\theta) \approx \theta\), podemos expresarlo de la siguiente manera:
\[F\approx -\dfrac{mg}{L}\cdot s\]
Para ángulos de oscilación pequeños \(\theta\), el valor de \(sin (\theta)\) es aproximadamente igual al propio \(\theta\).
Esta es otra forma de \(F = -k\Delta x\), y nos dice que podemos tomar \(k = mg/L\) cuando el desplazamiento es \(\Delta x = s\). Esto nos ayuda a expresar el periodo de otra manera.
Como sabemos, el periodo de un oscilador armónico simple se puede determinar de la siguiente manera: \[T=2\pi\cdot \sqrt{\dfrac{m}{k}}\]
Si sustituimos \(k\) por \(mg/L\), obtenemos:
\[T=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{m}{mg/L}}\]
Por lo tanto,
\[T=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{L}{g}}\]
Ejemplos del movimiento periódico
Comencemos con un ejemplo del movimiento circular:
Una pelota de tenis conectada a un palo con una cuerda de \(1,2\,\,\mathrm{m}\) de longitud sigue un movimiento circular alrededor del palo a velocidad constante. La pelota de tenis tiene una masa de \(60\,\,\mathrm{g}\) y se mueve a una velocidad de \(28,2\,\,\mathrm{m/s}\).
Calcula la fuerza centrípeta.
Solución:
Has aprendido que la ecuación de la fuerza centrípeta es: \[F=\dfrac{m\cdot v^2}{r}\]
La longitud de la cuerda \(r\) es de \(1,2\,\,\mathrm{m}\), la masa de la pelota \(m\) es de \(60\,\,\mathrm{g}\) y la velocidad \(v\) es de \(28,2\,\,\mathrm{m/s}\).
Pongamos estas variables en la ecuación, para calcular \(F\):
\[F=\dfrac{0,06\,\,\mathrm{kg}\cdot (28,2\,\,\mathrm{m/s})^2}{1,2\,\,\mathrm{m}}=39,8\,\,\mathrm{N}\]
Ahora veamos un ejemplo para el movimiento armónico simple
Un cubo con una masa de \(4\,\,\mathrm{kg}\) está unido a una cuerda con una constante de fuerza de \(2\,\,\mathrm{N/m}\). Calcula el periodo y la frecuencia del cubo si se aplica una fuerza de \(10\,\,\mathrm{N}\) para comprimir la cuerda.
Solución:
Se ha especificado la masa del cubo \(m\), la constante de fuerza \(k\) y la fuerza \(F\). Debemos recordar que el periodo o la frecuencia del movimiento armónico simple es independiente de la fuerza aplicada.
Como hemos dicho, la ecuación para encontrar el periodo del movimiento armónico simple es:
\[T=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{m}{k}}\]
Añadiendo las variables conocidas, obtenemos:
\[T=2\pi\sqrt{\dfrac{4}{2}}=2\cdot\pi\cdot 1,41=8,85\,\,\mathrm{s}\]
Para encontrar la frecuencia del movimiento, podemos utilizar la ecuación para encontrar la frecuencia, pero en este caso es más fácil recordar que \(f=1/T\), tal que:
\[f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{8,85}=0,113\,\,\mathrm{Hz}=113\,\,\mathrm{mHz}\]
Finalmente, veamos un ejemplo para el péndulo simple:
Calcula la aceleración debida a la gravedad para un péndulo simple con una longitud de \(50\,\,\mathrm{cm}\) y un periodo de \(1,4576\,\,\mathrm{s}\).
Solución:
Si elevamos al cuadrado la ecuación para encontrar el periodo y la resolvemos para \(g\), podemos calcular la aceleración debida a la gravedad.
Como sabemos, la ecuación para encontrar el periodo es: \[T=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{L}{g}}\]
Si elevamos al cuadrado ambos lados y lo resolvemos para \(g\), obtenemos:
\[\begin{align}g&=4\pi^2\dfrac{L}{T^2}\\g&=4\pi^2\cdot\dfrac{0,5\,\,\mathrm{m}}{(1,4576\,\,\mathrm{s})^2}=9,281\,\,\mathrm{m/s^2}\end{align}\]
Es un valor cercano al de la aceleración de la gravedad, pero no es exactamente este. Esto significa que, muy probablemente, los valores dados en el enunciado estaban simplificados.
Movimiento periódico - Puntos clave
- El movimiento periódico es un movimiento que se repite en determinados intervalos de tiempo.
- Aunque el movimiento periódico puede verse en una variedad de eventos, estudiamos el movimiento periódico en tipos de movimiento más específicos, como el movimiento circular y el movimiento armónico simple.
- El movimiento circular es el movimiento que se produce alrededor de un punto central, con un radio constante y una velocidad determinada.
- La aceleración en el movimiento circular es causada por la fuerza centrípeta: \(F=\dfrac{m\cdot v^2}{r}\)
- Para el movimiento armónico simple, la fuerza de compresión o extensión viene dada por: \(F=k\cdot\Delta x\)
- El periodo del movimiento armónico simple es independiente de la amplitud de la fuerza aplicada.
- El péndulo simple es un caso de movimiento armónico simple.
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