Aceleración centrípeta y Fuerza centrípeta

Definición de aceleración centrípeta y fuerza centrípeta

A continuación definimos la aceleración centrípeta y la fuerza centrípeta.

La aceleración es siempre el resultado de una fuerza, lo que conduce a la siguiente definición de fuerza centrípeta:

Teniendo en cuenta estas definiciones, veamos ahora las fórmulas para calcular la aceleración centrípeta y la fuerza centrípeta de un objeto que experimenta un movimiento circular.

Fórmulas de la aceleración centrípeta y la fuerza centrípeta

Para calcular la aceleración centrípeta, utilizamos la fórmula de la aceleración centrípeta

$a_c=\frac{v^2}{r}$$a_c=\frac{v^2}{r}$

donde$v$es la velocidad medida en$\raisebox{1ex}{$\mathrm{m}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{s}$}\right.$y$r$es el radio de la trayectoria circular medido en$\mathrm{m}$.

Podemos obtener la fórmula de la fuerza centrípeta siguiendo la fórmula de la aceleración centrípeta. La aceleración y la fuerza están relacionadas por la Segunda Ley del Movimiento de Newton, que es

$F=ma$.

Basándonos en esta ley, sabemos que la fuerza ejercida sobre un objeto es el producto de la masa y la aceleración. Para la fuerza centrípeta, sabemos que su aceleración asociada también es centrípeta. Por tanto, debemos insertar su fórmula en la ecuación anterior para obtener la fórmula de la fuerza centrípeta. Introduciendo la fórmula de la aceleración centrípeta en esta expresión, obtenemos la fórmula de la fuerza centrípeta:

$$\begin{gathered} F_c=m{a}_c \\ =\frac{m{v}^2}{r}. \end{gathered}$$

Aquí$m$es la masa del objeto medida en$\mathrm{kg}$,$v$es la velocidad medida en $\raisebox{1ex}{$\mathrm{m}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{s}$}\right.$, y $r$ es el radio medido en$\text{m}$.

La relación entre la fuerza centrípeta y la aceleración centrípeta

Acabamos de ver cómo la fuerza centrípeta está matemáticamente relacionada con la aceleración centrípeta. Conociendo esta última, sólo hay que multiplicarla por la masa del objeto para obtener la primera. Veamos ahora con más detalle la relación conceptual entre la aceleración centrípeta y la fuerza centrípeta.

¿La aceleración centrípeta y la fuerza centrípeta tienen direcciones opuestas?

La aceleración centrípeta y la fuerza centrípeta no tienen direcciones opuestas. Recuerda que la aceleración de un objeto va siempre en la misma dirección que la fuerza neta que actúa sobre él. El movimiento circular no es una excepción a esta regla. Tanto para la aceleración centrípeta como para la fuerza centrípeta, su dirección se dirige siempre hacia el interior, hacia el centro del círculo. Puedes recordarlo fácilmente comprendiendo que la palabra centrípeta significa búsqueda del centro o tendencia a moverse hacia el centro.

¿Qué fuerzas provocan la aceleración centrípeta?

Las fuerzas centrípetas provocan una aceleración centrípeta. La tensión, la gravedad y la fricción son ejemplos típicos de fuerzas centrípetas responsables del movimiento circular. Por ejemplo, si atamos un objeto a una cuerda y lo balanceamos horizontalmente por encima de nuestra cabeza, el objeto seguirá una trayectoria circular debido a la tensión. La tensión de la cuerda mantiene al objeto en su trayectoria circular y, por tanto, proporciona la fuerza centrípeta.

Tensión: ejemplo de fuerza centrípeta

Tensión: ejemplo de fuerza centrípeta.

Otro ejemplo es la órbita de la luna alrededor de la tierra. La luna se mantiene en su órbita gracias a la gravedad, y ésta proporciona la fuerza centrípeta aplicada a la luna.

Gravedad: ejemplo de fuerza centrípeta

Lo mismo ocurre con la fricción. Si un coche circula por una curva peraltada, la fricción actúa como una fuerza externa que hace que el coche se mantenga en su trayectoria.

A partir de los ejemplos anteriores, podemos apreciar que cada vez que un objeto experimenta un movimiento circular, tiene una aceleración centrípeta porque la dirección de su velocidad en cualquier punto de la trayectoria cambia constantemente. Esta aceleración está causada por una fuerza centrípeta que limita el movimiento del objeto a un círculo.

Derivación de la aceleración centrípeta y la fuerza

En este apartado proporcionamos una derivación geométrica de la aceleración centrípeta. La derivación exacta requeriría cálculo para obtener la ecuación de la aceleración centrípeta. Sin embargo, es posible evitarlo utilizando una prueba visual informal. Empecemos considerando una partícula que se mueve sobre un círculo con velocidad constante y dibujemos el vector posición y el vector velocidad correspondiente en distintos momentos.

Para los objetos en movimiento circular, el vector velocidad es siempre tangente al vector posición.

Cuando un objeto está en movimiento circular, su vector de posición y su vector de velocidad cambian constantemente. El vector posición cambia debido al vector velocidad. Por lo tanto, si la partícula se mueve con una velocidad, $\mathrm{v}$, a lo largo de un círculo de radio, $\mathrm{r}$, podemos determinar el tiempo que necesita la partícula para dar una vuelta completa

Para un círculo, sabemos que la distancia será igual a $2\mathrm{\pi r}$, que es la circunferencia de un círculo. Por tanto, hallamos el tiempo alrededor de la circunferencia de este primer círculo mediante:

${\mathrm{t}}_1=\frac{2\mathrm{\pi r}}{\mathrm{v}}$.

Ahora sabemos también que la dirección de la velocidad cambia debido a la aceleración centrípeta.

Para los objetos que experimentan un movimiento circular, el vector de aceleración apunta siempre hacia el centro del círculo

A medida que la partícula se desplaza a lo largo del círculo verde de radio,$\mathrm{r}$, el vector velocidad cambia debido al vector aceleración. Ahora, si reordenamos estos vectores velocidad y aceleración manteniéndolos perpendiculares entre sí, obtenemos lo siguiente:

Recordando que la aceleración es la velocidad de cambio de posición, podemos reordenar los vectores de la figura anterior para formar un círculo análogo al primero

Los cambios en el vector velocidad describen un segundo círculo. Este círculo tendrá un radio$\mathrm{v}$y requiere el mismo tiempo que tarda la partícula en desplazarse por la trayectoria circular de radio$r$de la primera imagen. Sin embargo, para este segundo círculo, sabemos que la aceleración centrípeta es la responsable de la velocidad de la partícula. Por tanto, si el círculo tiene un radio$\mathrm{v}$y una velocidad${\mathrm{a}}_{\mathrm{c}}$podemos determinar el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa:

Ambos círculos deben dar una vuelta completa en el mismo tiempo, porque describen el mismo caso de movimiento circular. Por tanto, si establecemos ambas ecuaciones de tiempo iguales entre sí, podemos resolver la aceleración centrípeta de la siguiente manera:

$t_1=t_2$

$\frac{\cancel{2\mathrm{\pi }}\mathrm{r}}{\mathrm{v}}=\frac{\cancel{2\mathrm{\pi }}\mathrm{v}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{c}}}\to \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{v}}=\frac{\mathrm{v}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{c}}}$.

Multiplicando en cruz, se obtiene

${\mathrm{a}}_{\mathrm{c}}\mathrm{r}={\mathrm{v}}^2$

que, al dividir ambos lados por $r$, da como resultado

${\mathrm{a}}_{\mathrm{c}}=\frac{{\mathrm{v}}^2}{\mathrm{r}}$.

Ésta es la ecuación de la aceleración centrípeta que buscábamos.

Ejemplos de aceleración centrípeta y fuerza centrípeta

En este apartado resolveremos dos cálculos con ejemplos de aceleración centrípeta y fuerza centrípeta. Antes de empezar un problema, recuerda siempre leer e identificar primero todas las variables que se te proporcionan antes de aplicar las fórmulas necesarias para responder a la pregunta.