¿Qué pasa cuando lanzas un dado? No sabes qué valor saldrá, ¿no es cierto? Tampoco sabes qué valor es más probable que salga. En este caso, tu valor es variable: puede cambiar, dependiendo de la situación o de cada lanzamiento. Por eso, como no tienes ningún modo de saber qué valor saldrá, es azaroso o aleatorio.
Estas variables son muy útiles ya que muchos experimentos o mediciones en el mundo real se encargan de medir cantidades que son variables y dependiendo de los factores que los afectan son más o menos aleatorios. En los próximos párrafos te hablaremos de estas variables aleatorias y cómo se relacionan con la probabilidad y estadística.
¿Qué es una variable aleatoria?
Un poco más formalmente:
Una variable aleatoria \(X\) es una cantidad cuyo valor depende de eventos o efectos al azar que modifiquen su valor. Esta variable se define sobre un espacio muestral \(E\) de un experimento aleatorio.
Veamos una lista sencilla de qué eventos se pueden expresar con una variable aleatoria:
Lanzar un dado: el valor del dado es la variable aleatoria
Lanzar una moneda: el lado que caiga al de lanzarla es una variable aleatoria.
La posibilidad de que hoy haga viento o no: es una variable aleatoria.
La posibilidad de que hoy el bus que tomas al colegio llegue tarde: el tiempo en el que llega es la variable aleatoria.
Tipos de variables aleatorias
No todas las variables aleatorias son iguales. Por ejemplo:
Al tirar una moneda, solo hay dos resultados posibles. En cambio, al medir el viento, los valores estarán dentro de un rango que puede tomar cualquier valor entre estos valores —podría ser tanto \(10\,m/s\) como \(10,01\,m/s\)—.
A las variables que toman solo un cierto número de valores, se les llama variables aleatorias discretas.
En el caso de las variables discretas, se dice que el rango de valores que toman es finito.
Por ejemplo, al tirar un dado, el rango de valores es \(x=\{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\). El dado no puede tomar valores de \(x=1,5\) o \(x=3,75\).
A las variables que toman cualquier valor en un intervalo \([a,b]\), se les denomina variables aleatorias continuas.
En el caso de las variables continuas, el rango puede ser finito, pero los valores que pueden tomar es infinito.
Si miramos el viento, aunque los vientos estén entre \([0\,m/s-10\,m/s]\), puede tomar valores de \(x=9,0\,m/s\), \(x=9,1\,m/s\), \(x=9,001\,m/s\), etc. No hay fin en los valores que el viento puede tener entre \([0\,m/s-10\,m/s]\); lo limitado es nuestra capacidad de medir este valor.
También existen casos donde hay variables aleatorias que son una combinación de datos discretos y continuos.
No todas las variables aleatorias son iguales y su valor depende de procesos muy complejos.
- Pongamos el caso del lanzamiento de una moneda: el valor que caerá depende de la fuerza con la que se lance, la posición inicial, el peso de la moneda, cuantas vueltas da en el aire, si hay viento o no, y tantas otras posibilidades que no permiten realmente saber de antemano cuál será el resultado.
- Ahora, pensemos en En el clima, el sistema es igual de complejo y depende de variables como la estación del año, la humedad, efectos humanos, la actividad solar, la órbita terrestre, etc.
Sin embargo, aunque no sepas el valor que obtendrás, puedes calcular las probabilidades de que obtengas cierto resultado:
- En el caso de la moneda, se sabe que la posibilidad de que caiga cara o cruz es del \(50\)%.
- A su vez, el clima puede ser predicho con modelos complejos que intentan interpretar las muchas variables que se observan durante el día, lo cual permite planear ir a disfrutar de un día soleado en la playa.
Función de probabilidad de una variable aleatoria
Dependiendo de si la variable es discreta o continua, la manera de expresar la probabilidad de obtener un resultado se calculará de un modo o de otro.
Función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta
Si tenemos un experimento con la variable aleatoria discreta \(X\), cada valor posible de la variable es \(x_j\) —donde \(j\) es el número de posibles resultados—.
La función de masa de probabilidad de una variable discreta es la función \(f\) que asigna una probabilidad \(p\) a cada valor de \(X\).
Esta función se expresa como: \[f(x_j)=p_j=P(X=x_j)\]
Se tiene que cumplir que cada probabilidad \(p_j\) sea siempre mayor o igual que cero. No puede ser que la probabilidad de obtener un resultado sea negativa. Además, la suma de las probabilidades de cada uno de los resultados posibles debe ser \(1\).
Por ejemplo, la probabilidad de que al lanzar al aire una moneda salga cara es de \(0,5\) y de que salga cruz es de \(0,5\). Por tanto, la suma de las probabilidades de los posibles resultados es \(0,5+0,5=1\).
Como se puede ver, se cumple la condición que acabamos de mencionar.
Hagamos, ahora, un ejercicio con ese mismo caso:
Si lanzamos una moneda 2 veces al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener, al menos, una cruz?
Solución:
Definimos la variable aleatoria y las probabilidades de cada uno de los resultados: el espacio muestral sería obtener cara-cara, cara-cruz, cruz-cara y cruz-cruz. Podemos expresar esto como \(E=\{CC,CX,XC,XX\}\). Naturalmente, la probabilidad de obtener una cara es de \(0,5\), que es la misma que la de obtener una cruz.
Llamemos \(x_j\) a cada uno de los posibles resultados:
- \(x_1\) será cuando obtenemos dos cruces seguidas.
- \(x_2\) será cuando obtenemos cruz y cara.
- \(x_3\) será cuando obtenemos cara y cruz.
- \(x_4\) será cuando obtenemos dos caras seguidas.
Por tanto, calcularemos las probabilidades que impliquen obtener una cruz:
- la probabilidad de obtener dos cruces seguidas es \(P(X=x_1)=0,5·0,5=0,25\),
- la probabilidad de obtener una cruz y una cara \(P(X=x_2)=0,5·0,5=0,25\),
- la probabilidad de obtener una cara y una cruz es \(P(X=x_3)=0,5·0,5=0,25\).
La probabilidad total será, entonces, la suma de cada una de estas probabilidades: \[P=0,25+0,25+0,25=0,75\]
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta \(X\) está formada por los pares de valores —que son los valores que toma la variable \(x_j\)— y la probabilidad de cada uno de estos valores \(P(X=x_j)\).
Calcula la distribución de probabilidad de la función del ejercicio anterior.
Solución:
La distribución de probabilidad serán los pares de valores formados como: \((x_j,P(X=x_j))\).
Por tanto, podemos obtener la siguiente gráfica:
Fig 1. Histograma con la probabilidad de los distintos resultados de obtener ningún, uno o dos cruces en dos lanzamientos.
Función de densidad de una variable aleatoria continua
La distribución de probabilidad, cuando se trata de una variable aleatoria continua, viene dada por la función de densidad de esta variable.
La función de densidad de una variable aleatoria continua \(f(x)\) cumple con que siempre es positiva y que el área total bajo la función y sobre el eje de abscisas es \(1\).
Por tanto, la probabilidad de obtener un resultado de esta variable en un intervalo de valores de la variable \([a,b]\) es
\[P(a<x<b)=\int_a^b f(x)dx\]
A partir de esta función, podemos hallar la función de distribución de la variable \(X\) como: \[F(x)=P(X\leq x)\]
Esta es la probabilidad acumulada de hasta el valor \(X=x\).
Puedes saber más de este tema leyendo nuestro artículo sobre Distribuciones continuas de probabilidad.
Esperanza de una variable aleatoria
La esperanza en probabilidad está definida como el producto de la probabilidad de un valor por el valor posible. Por tanto, el cálculo de la esperanza matemática dependerá de si la variable es discreta o continua.
Para una variable discreta la esperanza se calcula como: \[\mu=\sum_{j=1}^k x_jp_j\]
Como es de esperar, para una variable continua la esperanza se calcula extendiendo la suma a una integral:
\[\mu=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\]
Ejercicios de variables aleatorias resueltos
Hagamos algunos ejemplos sencillos para que te quede claro qué es una variable aleatoria.
Se tira una perinola que tiene 8 lados:
- ¿Cuál es la variable aleatoria?
- ¿Cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria obtenga algún valor?
Solución:
En primer lugar, la variable es el valor que puede tomar el evento; en este caso, la variable aleatoria es cada uno de los lados de la perinola.
Como es aleatoria y cualquier valor puede ser posible, entonces la posibilidad que caiga cada uno de los 8 lados es de \(\dfrac{1}{8}\).
Se mide al altura de los alumnos de un colegio. Los alumnos tienen entre 6 y 12 años. La altura menor es de \(1,05\,m\) y la mayor es \(1,75\,m\).
- ¿Cuál es variable aleatoria?
- ¿Es esta discreta, o es continua?
Solución:
En este caso, la variable aleatoria es la estatura de los alumnos, que puede variar entre \(1,05\,m\) y \(1,75\,m\). Debido a que la variable puede tomar cualquier valor entre ambos valores extremos, esta es una variable continua.
Variable aleatoria - Puntos clave
- Una variable aleatoria \(X\) es una cantidad cuyo valor depende de eventos al azar o efectos al azar que modifiquen su valor.
- A las variables que toman solo un cierto número de valores se les llama variables aleatorias discretas.
- A las variables que toman cualquier valor en un intervalo \([a,b]\) se les denomina variables aleatorias continuas.
- La esperanza en probabilidad está definida como el producto de la probabilidad de un valor por el valor posible.
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