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Esta expresión recibió el nombre de Ley de Gravitación de Newton, es una ley universal que describe la fuerza gravitatoria entre dos objetos, y ha sido un elemento básico tanto en matemáticas como en ciencia desde su descubrimiento. En este artículo, profundizaremos en el tema de la Ley de Gravitación de Newton, cubriendo su definición, fórmula y ejemplos de su aplicación.
Ley de gravitación de Newton: definición
La ley de gravitación de Newton se define como sigue
La fuerza de atracción gravitatoria que existe entre dos partículas cualesquiera del universo es directamente proporcional al producto de las masas de las partículas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros.
De esta definición se desprenden dos cosas:
Un aumento de la masa de cualquiera de las partículas provocará un aumento de la magnitud de la fuerza gravitatoria entre ellas, porque la fuerza gravitatoria entre dos partículas es directamente proporcional al producto de sus masas. Del mismo modo, una disminución de la masa de cualquiera de las partículas provocará una disminución de la magnitud de la fuerza gravitatoria entre ellas.
Un aumento de la distancia entre las dos partículas provocará una disminución de la magnitud de la fuerza gravitatoria entre ellas. Esto se debe a que la fuerza gravitatoria es inversamente proporcional a la distancia entre ellas. Del mismo modo, una disminución de la distancia entre las dos partículas provocará un aumento de la magnitud de la fuerza gravitatoria entre ellas.
Es importante señalar que "partícula" no se utiliza para referirse a un objeto de tamaño atómico, sino a cualquier objeto con masa. Una partícula podría ser un planeta, no tiene por qué significar necesariamente algo pequeño.
La Ley de Gravitación de Newton también suele denominarse Ley de Gravitación Universal de Newton. Esto se debe a que la ley puede aplicarse en cualquier lugar del universo y se mantendrá.
Ley de gravitación de Newton: ecuación
De la definición de la ley de gravitación de Newton se deduce que la ecuación es
\[ F_g \propto m_1m_2 \qquad \text{ y } \qquad F \propto \frac{1}{r^2}.\}].
Si los combinas, obtienes lo siguiente
\F_g \propto \frac{m_1m_2}{r^2}.\]
A continuación, este resultado se multiplica por la constante gravitatoria universal, \(G\), para obtener la ecuación que utilizamos para representar la ley de Gravitación de Newton:
\[ F_{g} = G\frac{m_1m_2}{r^{2}},\]
donde
\(F_g\) es la fuerza gravitatoria de atracción entre dos partículas.
\(G\) es la constante gravitatoriauniversal con \(G = 6,674 veces 10^{-11} \text{N} \cdot \text{m}^{2} /\text{kg}^{2}).
\(m_1\) y \(m_2\) son las masas de las partículas.
\(r\) es la distancia entre los centros de las dos partículas.
Esta ecuación también se conoce como ley del cuadrado inverso. Se llama así porque la fuerza de atracción gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los dos centros de las partículas.
Otra conocida ecuación de la ley del cuadrado inverso es
\[g = G\frac{M_E}{r^2},\]
donde
- \(g\) es el valor de la aceleración gravitatoria de caída libre (que es aproximadamente \(9,81, \text{m/s}^2\) para la Tierra).
- \(G\) es la constante gravitatoria universal
- \(M_E\) es la masa de la Tierra.
- \(r\) es la distancia desde el centro de la Tierra a un punto situado sobre su superficie.
Esta ecuación sirve para calcular el valor de \(g\) en cualquier punto situado sobre la superficie terrestre. Se obtiene utilizando la ley de la gravitación de Newton.
Primero, iguala las dos ecuaciones siguientes:
\[F_g = mg \qquad \text{y} \qquad F_g = G\frac{mM_E}{r^2}.\]
Por lo tanto
\[ mg = G\frac{mM_E}{r^2}.\]
Cancela los términos semejantes
\[ \cancel{m}g = G\frac{\cancel{m}M_E}{r^2},\]
para obtener la ecuación final
\[ g = G \frac{M_E}{r^2}.\]
Al trabajar con esta ecuación, es importante tener en cuenta que \(r\) es el radio de la Tierra más la altura sobre la superficie terrestre.
\[ r = R_E + h.\]
Esta ecuación también puede utilizarse para calcular el valor de la aceleración libre gravitatoria de otros planetas. Basta con utilizar la masa y el radio del otro planeta en lugar de los de la Tierra.
Ten en cuenta que la fuerza gravitatoria siempre existe entre partículas y que es independiente del medio que separa a las dos partículas. Esto significa que las partículas podrían estar sumergidas en agua o suspendidas en el vacío y la fuerza gravitatoria de atracción entre ellas no cambiaría mientras la distancia entre ellas se mantuviera constante.
La ley de la gravitación de Newton en forma vectorial
La ley de la gravitación de Newton también puede representarse en forma vectorial. Esta forma es esencialmente la misma que la ecuación del apartado anterior, pero en su lugar se le da una dirección definida por un vector unitario, \(\overrightarrow{r}_{12}\).
Fig. 1 - Diagrama vectorial que muestra la fuerza \(\overrightarrow{F}_{12}) ejercida por \(m_1\) sobre \(m_2\), en la dirección negativa del vector unitario \(\overrightarrow{r}_{12}\).
El vector unitario se calcula según \(\overrightarrow{r}_{12} = \overrightarrow{r}_1-\overrightarrow{r}_2\) y se dirige desde la partícula \(1\) hacia la partícula \(2\). La fuerza gravitatoria ejercida sobre la partícula \(2\) por la partícula \(1\) es, pues:
\F_{12} = - Gfrac{m_1 m_2}{r^2} \flecha superior {r}_{12}}.
Observa el signo negativo. En este caso, la dirección positiva sería alejarse de la partícula 1, pero, como la partícula 2 es atraída por la partícula 1, la fuerza gravitatoria ejercida sobre la partícula 2 se dirige hacia la partícula 1 y, por tanto, está en dirección negativa.
Al aplicar la tercera ley del movimiento de Newton, verás que \(\overrightarrow{F_{21}}) (es decir, la fuerza ejercida por la partícula 2 sobre la partícula 1) es igual en magnitud, pero está dirigida en sentido opuesto a \(\overrightarrow{F_{12}}). Esto se muestra a continuación:
\[\overrightarrow{F_{21}} = - G\frac{m_1m_2}{r^2} \overrightarrow {r}_{21} .\]
Sabes que \(\overrightarrow{r}_{21} = \overrightarrow{r}_2 - \overrightarrow{r}_1) y que \(\overrightarrow{r}_{12} = \overrightarrow{r}_1-\overrightarrow{r}_2), por lo que se puede concluir que:
\[[\overrightarrow{r}_{21} = -\overrightarrow{r}_{12}]
y si sustituyes \(-overrightarrow{r}_{12}) en la ecuación de \(\overrightarrow{F}_{21}) y simplificas, obtienes lo siguiente
\[ \begin{align}\overrightarrow{F_{21}} & = - G\frac{m_1m_2}{r^2} \&= G\frac {m_1 m_2} {r^2} \flecha arriba {r}_{12}, fin].
por tanto
\F_{21}} = - F_{12}}.
Ley de Newton de la fuerza gravitatoria
Los siguientes ejemplos detallarán cómo se puede calcular la fuerza gravitatoria utilizando la ley de la gravitación de Newton.
La distancia entre una nave espacial y un asteroide es \(1,8\, \text{km}\). Calcula la fuerza gravitatoria entre ellos si la nave espacial tiene una masa de \(14000, \text{kg}) y el asteroide tiene una masa de \(8000, \text{kg}). Sea el valor de la constante de gravitación universal \(6,67 veces 10^{-11}, \text{N} \cdot \text{m}^2 \text{/km}^2).
Fig. 2 - Diagrama de la nave espacial y el asteroide.
Solución:
PASO 1: Convierte todos los valores a unidades del SI.
\[ 1,8, \mathrm{km} = 1800, \mathrm{m}\]
PASO 2: Sustituye los valores en la ecuación de la fuerza gravitatoria y simplifica para obtener el valor de \(F_g\).
\[ \begin{align}F_g & = G \frac{m_1m_2}{r^2} \\ & = (6,67 veces 10^{-11} )\frac {(14000)(8000)}{(1800)^2} \\& = 2,31 veces 10^{-9} \text{N}\end{align}\]
Por tanto, la fuerza gravitatoria entre la nave espacial y el asteroide es igual a \(2,31 \times 10^{-9} \; \text{N}\).
¿Qué ocurre si te piden que calcules el efecto neto de dos partículas sobre una? En estos casos, debes utilizar la forma vectorial de la ley de gravitación de Newton.
Se colocan tres pelotas de hockey en las esquinas de un triángulo rectángulo, como se muestra a continuación. El triángulo tiene longitudes laterales \(m = 0,05\, \text{m,} n = 0,12\, \text{m,}\) y \(p = 0,13\, \text{m}\). Si cada bola tiene una masa de \(450\, \mathrm{g}\), calcula la magnitud del vector fuerza gravitatoria que actúa sobre la bola \(2\). Sea \(G = 6,67 veces 10^{-11}, \text{N} \cdot \text{m}^2 \text{/km}^2).
Fig. 3 - Diagrama que muestra tres pelotas de hockey colocadas en los ángulos de un triángulo rectángulo.
Solución:
PASO 1: Primero convierte todas las unidades al SI.
\[450\, \mathrm{g} = 0,45\, \mathrm{kg} \]
PASO 2: Calcula primero la fuerza de la bola \(1\) sobre la bola \(2\).
\[ \begin{align}\overrightarrow {F_{12}} & = G\frac{m_1 \;m_2}{r^2} \que{r}_{12} \\ & = (6,67 veces 10^{-11}) \frac{(0,450)(0,450)}{(0,05)^2} \\ & = 5,4 veces 10^{-9} \text{N} \end{align}\]
PASO 3: Calcula a continuación la fuerza de la bola \(3\) sobre la bola \(2\).
\[ \begin{align}\overrightarrow {F_{32}} & = G\frac{m_2 \2;m_2}{r^2} \que{r}_{32} \\ & = (6,67 veces 10^{-11}) \frac{(0,450)(0,450)}{(0,12)^2} \\ & = 9,38 veces 10^{-10} \text{N} \]
PASO 4: Calcula la fuerza neta sobre la bola \(2\).
Como las fuerzas \(\(\(\(\(F_{12}}) y \(\(\(\(\(F_{32}})) se dirigen a lo largo de las aristas de un triángulo rectángulo, la fuerza neta ejercida por éstas sobre la bola 2 puede calcularse mediante el teorema de Pitágoras.
\[\begin{align}F & = \sqrt{(F_{12})^2 + (F_{32})^2} \\& = el cuadrado (5,4 veces 10^{-9})^2 + (9,38 veces 10^{-10})^2} \\& =5,48 veces 10^{-9} \text{N}\end{align}\]
La magnitud de la fuerza neta que actúa sobre la bola 2 debido a la bola 1 y la bola es igual a \(5,48 \times 10^{-9} \, \text{N}\).
Otros ejemplos podrían referirse a la Tierra o al Sol y al uso de sus respectivos radios y masas. En estos casos, normalmente acabarás con una respuesta grande.
Un satélite de masa \(680 \, \mathrm{ kg} \) orbita alrededor de la Tierra a una altura de \(2700 \, \mathrm{ km} \) sobre la superficie terrestre. ¿Cuál es la fuerza gravitatoria entre la Tierra y el satélite? Supongamos que la masa de la Tierra es \(5,98 veces 10^{24},\text{ kg}) y el radio \(6,38 veces 10^{6},\text{ m}).
Fig. 4 - Diagrama que muestra la Tierra y el satélite.
Solución:
PASO 1: Convierte todas las unidades a unidades del SI.
\[ 2700\, \text{km} = 2700 \times 10^3 \, \text{m}\]
PASO 2: Sustituye los valores en la ecuación de la fuerza gravitatoria y calcula la magnitud de la fuerza.
\[ \begin{align}F_g & = G \frac{m_1m_2}{r^2} \\ & = (6,67 \frac{(680)(5,98 \frac{ 10^{24})} {(2700 \frac{(680)(5,98 \frac(10^{24})} {(2700 \frac(10^^3) + (6,38 \frac(10^{6})} {(6,38 \frac(10^{6})} {(680)(5,98 \frac(10^{24})} ^2} \& = 3289,76 \, \text{N}\end{align}\]
Por tanto, la fuerza gravitatoria entre la Tierra y el satélite es igual a \(3289,76 \; \text{N}\).
Limitaciones de la ley de gravitación universal de Newton
Como ocurre con muchas cosas en la vida, la ley de la gravitación universal de Newton no es perfecta.
La ley sólo es aplicable a cuerpos rígidos en marcos de referencia inerciales, lo que significa que sólo se aplica cuando se cumplen las leyes de Newton. También sólo puede aplicarse a cuerpos puntuales.
En los casos en que la distancia entre partículas alcanza una magnitud de \(10^{-9} \,\text{m}) y menor, o cuando las partículas se desplazan a velocidades elevadas, comparables a la velocidad de la luz, la ley se vuelve ineficaz y no debe aplicarse la ley de gravitación de Newton.
Ley de Gravitación de Newton - Puntos clave
- La Ley de Gravitación de Newton consiste en que la magnitud de la fuerza gravitatoria entre dos partículas es directamente proporcional al producto de las masas de ambas partículas.
- La magnitud de la fuerza gravitatoria entre dos partículas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ambas partículas.
- La fórmula de la ley de gravitación de Newton es \F_g = G\frac{m_1m_2}{r^2}.\]
- La forma vectorial de la ley de la gravitación de Newton es: \[\overrightarrow {F_{12}} = - G\frac{m_1 \;m_2}{r^2} \hat{r}_{12}.\] donde:
- \(\sobreflecha{F_{12}}) es la fuerza que ejerce la partícula \(1\) sobre la partícula \(2\).
- \(\hat{r}_{12}\}) es el vector unitario en la dirección de la partícula \(1\}) a la partícula \(2\}).
- La ley de la gravitación de Newton pierde su efecto cuando la distancia entre las partículas es menor que \(10^{-9}\, \text{m}\).
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