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Definir el trabajo realizado por una fuerza constante
El trabajo es simplemente la cantidad de energía transferida de un objeto a otro mediante la aplicación de una fuerza desequilibrada. Cuando empujas una caja por el suelo, actúan dos fuerzas horizontales: el rozamiento y la fuerza que tú mismo ejerces. Si la fuerza que ejerces sobre la caja es mayor que la fuerza de rozamiento, la caja se moverá.
En otras palabras, ganará energía cinética. ¿Cuánta energía cinética? Bueno, eso depende de cuánto trabajo se realice sobre la caja; de hecho, es igual a cuánto trabajo se realice sobre la caja.
\[E_k = W\]
La siguiente pregunta que te puedes hacer es: ¿cuánto trabajo realizas al ejercer la fuerza? Pues bien, eso depende de dos factores: la magnitud de la fuerza desequilibrada y la distancia a la que se empuja la caja. El caso más sencillo es cuando la caja se empuja con una fuerza constante. La fórmula del trabajo realizado por una fuerza constante es
\[W = Fd.\]
Donde el trabajo, \(W\), se expresa en julios (J), la fuerza, \(F\), en newtons (N), y la distancia, \(d\), en metros (m).
Eltrabajo realizado por una fuerza constante es la energía transferida a un objeto debido a la fuerza que ejerce sobre él otro objeto.
Por cada metro que un objeto sea desplazado por una fuerza constante de un newton, ganará \(1\, J\) de energía cinética. De hecho, puede que no te hayas dado cuenta de que la unidad de julios no es más que otro término para los newton-metros.
Está muy bien enunciar esta fórmula para el trabajo realizado por una fuerza constante, pero ¿cómo se obtiene? Intentemos deducirla.
Cómo deducir la fórmula del trabajo realizado por una fuerza constante
Derivar cualquier fórmula puede parecer intimidante, pero ten por seguro que ésta no está tan mal. Para ello, piensa en cuánta energía tiene el objeto antes de que se aplique la fuerza constante, \(t_1\) y algún tiempo arbitrario después, \(t_2\). Pues bien, el único cambio energético que se produce realmente en el objeto es que gana energía cinética. Así que la cantidad total de energía que ha ganado entre \(t_1\) y \(t_2\) es sólo la diferencia de su energía cinética en esos momentos.
\W = E_{k2}} - E_{k1}}.
¿Recuerdas la fórmula de la energía cinética?
\E_k = \frac{1}{2}mv^2]
Introduzcámosla en la fórmula anterior.
\[W = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2 \]
Recuerda que la masa del objeto es la misma todo el tiempo, pero la velocidad es distinta en \(t_1\) y \(t_2\).
Ahora, factoriza un poco.
\W = \frac{1}{2}m (v^2-u^2)\].
Si recuerdas tus ecuaciones de movimiento, recordarás que
\v^2 - u^2 = 2ad\]
por lo que ahora puedes sustituir esto en la fórmula.
\W &= frac{1}{2}m veces 2como W&= mad fin]].
Por último, recordando la segunda ley de Newton
\[F = ma,\]
se puede hacer una sustitución más para llegar a la fórmula original del trabajo realizado por una fuerza constante.
\[W= Fd \]
¡Ya está! Una buena derivación rápida.
Ecuación del trabajo realizado por una fuerza constante
¿Qué nos dice realmente esta ecuación? Bueno, lo único que dice es que por cada metro que un objeto sea empujado (o arrastrado) con una fuerza constante de un newton, ganará un julio de energía.
\[W = Fd\]
Si empujas una caja de \(4,\text{kg}\) con una fuerza constante de \(3,\text{N}\) durante \(10,\text{m}\) entonces...
\W &= 3 veces 10 &= 30,{texto{J} \pend{align}\}].
¿A qué velocidad se mueve la caja al final del \(10,\text{m})? También puedes calcularlo.
Recuerda que la energía cinética ganada por el objeto es igual al trabajo total realizado sobre el objeto, así que...
\E_k = W E_k = W &= \frac{1}{2}mv^2 \ 30 &= \frac{1}{2}veces 4v^2 \ 30 &= 2v^2 \\ v^2 &= 15 \ v &= 3,87, \text{ms}^{-1} \end{align}]
Trabajo realizado por una fuerza constante ejemplos y problemas
Veamos algunos ejemplos más para entenderlo.
(1)
Una bicicleta con masa \(50,\texto{kg}) baja una colina desde el reposo con una fuerza media hacia abajo de \(170,\texto{N}). La fuerza media de rozamiento que experimenta la bicicleta es de \(30,\text{N}). Dado que desde la cima de la colina hasta la base hay \(30,\text{m}), ¿cuál es la velocidad de la bicicleta en la base de la colina?
Solución:
En primer lugar, calcula el trabajo realizado por la bicicleta al bajar la colina.
\W &= Fd W &= Fd &= 170 &= 30 &= 5100\,\text{J} \fin]]
A continuación, calcula el trabajo contrario realizado por el rozamiento en la pendiente.
\W_f &= 30 veces 30 &= 900,\text{J} \end{align}]
Como el trabajo realizado por el rozamiento es opuesto al trabajo de la bicicleta cuesta abajo, el trabajo neto realizado es
\[\begin{align} 5100-900 = 4200,\text{J}. \end{align}\}]
Calcula ahora la velocidad de la bici al pie de la colina.
\E_k = W &= J. E_k = W &= \frac{1} {2}mv^2 \frac{1} {2} veces 50v^2 \frac{1} {2} veces 50v^2 \frac{1} {2} v^2 &= 84 \frac{1} v &= 9,17,\text{ms}^{-1} \end{align}].
(2)
Un coche de masa \(2300,\text{kg}) sube una cuesta con una fuerza media de \(6000,\text{N}). La fuerza media del peso del coche cuesta abajo es \(4000,\text{N}\), y la fuerza media de rozamiento es \(1800,\text{N}\). Dado que la colina mide \(60\,m\) de abajo a arriba, ¿cuál es la velocidad del coche cuando llega arriba?
Solución:
Primero, calcula el trabajo total realizado por el coche al subir la pendiente.
\W &= Fd W &= Fd &= 6000\Nveces 60 &= 360000\N,\text{J} \fin]]
A continuación, calcula el trabajo realizado sobre el coche cuesta abajo por su peso y el rozamiento.
\W &= Fd W &= Fd &= (4000+1800) veces 60 &= 348000\,\text{J} \fin{align}\}]
Como el trabajo realizado por el rozamiento y el peso cuesta abajo es opuesto al trabajo de la bici cuesta abajo, el trabajo neto realizado es
\[360000-348000 = 12000\,\text{J}.\]
Ahora, calcula la velocidad del coche en la cima de la colina.
\[\begin{align} W = E_k &= \frac{1}{2}mv^2 \ 12000 &= \frac{1}{2}veces 2300v^2 \ 12000&= 1150v^2 \\ v^2 &= 10,43 \ v &= 3,23,\text{ms}^{-1} \end{align}].
Trabajo realizado por una fuerza constante - Puntos clave
- El trabajo realizado poruna fuerza constante es la energía transferida a un objeto debido a una fuerza ejercida sobre él por otro objeto.
- Cuando se realiza trabajo sobre un objeto, éste suele transferirse al objeto en forma de energía cinética.
- La ecuación del trabajo realizado por una fuerza constante es \(W=Fd\).
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