Problemas de optimización

Se te encarga la tarea de cercar un campo rectangular con una valla y se te dan 400 metros de materiales para el cercado. Sin embargo, hay un granero en uno de los lados del campo (por lo tanto, no es necesario cercar ese lado del campo rectangular). ¿Qué dimensiones del campo producirán la mayor superficie sujeta a los 400 metros de materiales de vallado?

Resolveremos este problema utilizando el método descrito en el artículo:

Solución:

Paso 1: Entender bien el problema

Extraigamos la información importante del problema: necesitamos cercar tres lados de un campo rectangular de forma que se maximice el área del campo. Sin embargo, solo disponemos de 400 metros de material de vallado para utilizar. Por lo tanto, el perímetro del rectángulo debe ser menor o igual a 400 metros.

Paso 2: Dibujar un diagrama

Está claro que no hace falta ser un artista para dibujar un diagrama del problema, pero sí es muy necesario hacerlo.

Fig. 1. Problema de optimización: dibujo para ayudarnos a visualizar el problema.

Ahora, ya podemos hacer las siguientes relaciones:

\[\text{Área del rectángulo}=h·w\]

\[\text{Perímetro de la valla}=h+w+w=h+2w\]

Paso 3: Introducir las variables necesarias

Observando el diagrama anterior, hemos introducido algunas variables. Dejaremos que la altura del rectángulo esté representada por \(h\) y que el ancho del rectángulo esté representado por \(w\):

\[\text{Altura}=h\]

\[\text{Ancho}=w\]

Así, podemos calcular el área y el perímetro como:

\[\text{Área}=h·w\]

\[\text{Perímetro}=h+2w\]

Paso 4: Configurar el problema encontrando relaciones dentro él

El problema del cercado quiere que maximicemos el área \(A\), sujeto a la restricción de que el perímetro \(P\) debe ser de 400 metros. Intuitivamente, sabemos que debemos utilizar los 400 metros de cercado para maximizar el área.

Por lo tanto, nuestro problema se convierte en:

\[\text{maximizar A}=h·w\]

\[\text{de modo que }P=400=h+2w\]

Como buscamos maximizar el área, debemos escribir el área en términos del perímetro, para lograr una sola ecuación. En este ejemplo, escribiremos la ecuación del área en términos del ancho, \(A(w)\).

En primer lugar, resolvamos la altura, \(h\):

\[400=h+2w\]

\[h=400-2w\]

Ahora, introducimos el área, en términos de la ecuación del ancho, \(A(w)\):

\[A(w)=(400-2w)·w=400w-2w^2\]

Paso 5: Encontrar los extremos absolutos

Ahora que tenemos una única ecuación que contiene toda la información del problema, queremos encontrar el máximo absoluto de \(A(w)\). Podemos definir un intervalo para w, de modo que podemos utilizar el método del intervalo cerrado.

Para empezar, sabemos que \(w\) no puede ser menor que \(0\). Si dejamos que \(h=0\), según nuestra ecuación del perímetro, tenemos:

\[\begin{align}\,P&=h+2w\\400&=2w\\w&=200\end{align}\]

Esto nos dice que si \(h=0\), la anchura máxima posible es \(200\). Así que nuestro intervalo cerrado para \(w\) es \([0,200]\).

Para aplicar el método del intervalo cerrado:

• En primer lugar, hallar el extremo de \(A(w)\) tomando la derivada y haciéndola igual a \(0\).

\[\begin{align}\,A'(w)&=400-4w\\0&=400-4w\\4w&=400\\w&=100\end{align}\]

• En segundo lugar, introducimos los valores críticos \(w=0\), \(w=100\) y \(w=200\) en \(A(w)\) e identificamos el área más grande.

\[A(0)=400·0-2·0^2=0\]

\[A(100)=400·100-2·100^2=20.000\]

\[A(200)=400·200-2·200^2=0\]

Así, el mayor valor de \(A\) se produce en \(w=100\), donde \(A=20.000 \text{ m}^2\).

Podemos confirmarlo utilizando la prueba de la primera derivada.

Representando gráficamente \(A'(w)\) obtenemos la figura 2:

Fig. 2: Representación de la derivada del área, donde podemos observar que su raíz es \(w=100\).

\(A'(w)\) claramente solo es igual a \(0\) en un punto, \(w=100\). Para todo \(w<100\), \(A'(w)\) es positiva (por encima del eje x). Para todo \(w>100\), \(A'(w)\) es negativa (por debajo del eje x). Así que, por la prueba de la primera derivada, \(w=100\) es el máximo absoluto de \(A(w)\).

Introduzcamos \(w=100\) en nuestra ecuación del perímetro para saber cuánto debe valer \(h\):

\[400=h+2·100\]

\[h=200\]

Por lo tanto, para maximizar el área encerrada por la valla sujeta a nuestras restricciones materiales, debemos utilizar un rectángulo con un ancho de 100 metros y una altura de 200 metros.

Tienes la tarea de construir una lata que contenga 1 litro de líquido. Para maximizar el beneficio, debes construir la lata de forma que el material utilizado para hacerlo sea mínimo.

¿Cuál es la superficie mínima necesaria de la lata?

Una vez más, resolveremos este problema utilizando el método descrito en el artículo.

Solución:

Paso 1: Entender bien el problema

Extraigamos la información importante del problema: tenemos que construir una lata que contenga 1 litro de líquido, minimizando el material utilizado para construirla. Esencialmente, esto significa que tenemos que minimizar la superficie de la lata.

Paso 2: Dibujar un diagrama

Con un diagrama como este podemos entender mejor lo que nos pide el problema:

Fig. 3. Diagrama del problema de minimización de la superficie de un volumen.

Paso 3: Introducir las variables necesarias

Observando el diagrama anterior, ya hemos introducido algunas variables:

• El radio de la lata cilíndrica está representado por \(r\).
• La altura del cilindro está representada por \(h\).

Así, el volumen del cilindro \(V\) es \(V=\pi r^2 h\) y el área superficial \(A\) del cilindro es \(A=2\pi rh +2\pi r^2\).

Paso 4: Plantear el problema encontrando relaciones dentro del problema

El problema de la lata quiere que minimicemos el área superficial, con la restricción de que la lata debe contener, al menos, 1 litro. Intuitivamente, sabemos que para minimizar la superficie, debemos construir una lata que contenga 1 litro de líquido. Sin embargo, como buscamos una medida de longitud para \(r\) y \(h\), debemos convertir los litros en centímetros cúbicos. Por tanto, debemos construir una lata que contenga 1.000 cm³ de líquido.

Entonces, nuestro problema se convierte en:

\[\text{minimizar }A=2\pi rh+2\pi r^2\]

\[\text{de modo que }V=1000=\pi r^2 h\]

Como buscamos minimizar el área superficial, debemos escribir el área en términos del volumen para conseguir una única ecuación.

Primero, resolvamos para \(h\):

\[1000=\pi r^2 h\]

\[h=\dfrac{1000}{\pi r^2}\]

Ahora, introduzcamos la ecuación del área:

\[A=2\pi r\left( \dfrac{1000}{\pi r^2}\right)+2\pi r^2\]

\[A=\dfrac{2000}{r}+2\pi r^2\]

Paso 5: Encontrar los extremos absolutos

Ahora que tenemos una única ecuación que contiene toda la información del problema, queremos encontrar el mínimo absoluto de \(A\).

Sabemos que \(r>0\). Sin embargo, no tenemos un límite superior para \(r\).

Primero, encontraremos el extremo de \(A\), tomando la derivada y haciéndola igual a \(0\):

\[A'=4\pi r-\dfrac{4000}{r^2}\]

\[0=4\pi r-\dfrac{4000}{r^2}\]

Representamos la derivada en la figura 4:

Fig. 4. Representación de la derivada del área.

Podemos ver que \(A'=0\) en un punto y, aplicando la prueba de la primera derivada, podemos confirmar que el punto \(r=5{,}41926...\) es un mínimo absoluto de \(A\). Observando la gráfica identificamos que para todo \(r<5{,}419\), \(A'(r)\) es negativa (por debajo del eje \(x\)); y, para todo \(r>5{,}419\), \(A'(r)\) es positiva (por encima del eje \(x\)). Así que, por la prueba de la primera derivada, \(r=5{,}419\) es el máximo absoluto de \(A(r)\).

Introduzcámoslo en nuestra ecuación de volumen, para averiguar cuánto debe ser \(h\):

\[1000=\pi · (5{,}419)^2 h\]

\[h=10{,}839\text{ cm}\]

Así, para construir una lata que contenga al menos 1 litro, la superficie mínima necesaria es:

\[A=2\pi ·5{,}419·10{,}839+2\pi (5{,}419)^2\]

\[A=553{,}58\text{ cm}^2\]