La idea principal en el mundo de los negocios es maximizar el beneficio. Sin embargo, no es tan sencillo como intentar vender el mayor número de productos posible. En un negocio intervienen otros factores y costes, como los salarios de los empleados, el precio de la publicidad, los costes de producción y los materiales, etc.
La optimización matemática puede ayudar a encontrar la respuesta que maximiza el beneficio con las limitaciones del mundo real. La optimización es una de las aplicaciones más interesantes del cálculo en el mundo real. Este artículo definirá con más detalle la optimización, sus otras aplicaciones y un método para resolver problemas sencillos de optimización.
Optimización matemática: significado de los problemas de optimización
La optimización matemática es el estudio de la maximización o minimización de una función sujeta a restricciones. Esencialmente, se trata de encontrar la solución más efectiva y funcional a un problema.
Las restricciones en los problemas de optimización representan los factores limitantes involucrados en el problema de maximización/minimización. En nuestro ejemplo de una empresa, las restricciones serían el coste de la mano de obra, la producción y la publicidad. Estas restricciones deben tenerse en cuenta en nuestros cálculos, ya que pueden influir, en gran medida, en la solución.
Es probable que hayas aprendido y trabajado en la búsqueda de los valores extremos de una función (máximos y mínimos). La optimización es una aplicación del mundo real para encontrar e interpretar los valores extremos:
Dada una ecuación que modela el coste, buscamos encontrar su valor mínimo.
Dada una ecuación que modela los beneficios, buscamos encontrar su valor máximo.
Aplicaciones y tipos de problemas de optimización de funciones
Además de la aplicación empresarial de la que hemos hablado, la optimización es crucial en varios otros campos: puede ser tan simple como que un viajero busque minimizar el tiempo de transporte; pero, también podemos aplicar la optimización en la medicina, la ingeniería, los mercados financieros, la toma de decisiones racionales, la teoría de juegos y los envíos de paquetes. Asimismo, este concepto se relaciona mucho con la informática: La optimización de programas, la optimización de espacio y tiempo y la optimización de software son cruciales para escribir y desarrollar códigos y software eficientes.
Los problemas de optimización pueden ser bastante complejos, teniendo en cuenta todas las restricciones que conllevan. Convertir los problemas del mundo real en modelos matemáticos es uno de los mayores retos.
A medida que progreses en las clases de matemáticas de nivel superior, te enfrentarás a problemas de optimización más complejos y con más restricciones a tener en cuenta.
En este artículo, empezaremos con problemas de menor escala y con menos restricciones. Sin embargo, el procedimiento básico es similar para todos los problemas de optimización.
Método para resolver problemas de optimización
Antes de empezar a trabajar con los ejemplos de optimización, repasaremos un método general, paso a paso para trabajar con estos problemas. Más adelante, aplicaremos estos pasos a ejemplos reales.
Paso 1: Entender completamente el problema
Los problemas de optimización suelen contener mucha información en un problema corto. El primer paso para trabajar con un problema de optimización es leer el problema cuidadosamente, recopilando información sobre las cantidades conocidas y desconocidas y otras condiciones y restricciones.
Puede ser útil resaltar ciertos valores dentro del problema.
Paso 2: dibujar un diagrama
Para visualizar mejor el problema, es útil dibujar un diagrama, incluyendo las etiquetas de los valores conocidos previstos en el problema.
Paso 3: introducir las variables necesarias
Escoge cuidadosamente los nombres de las variables para los valores que se maximizan o minimizan y otras cantidades desconocidas.
Paso 4: configurar el problema, encontrando relaciones
Utiliza los valores conocidos y las variables declaradas para establecer una función. Esta función debe definirse en términos de estos valores y variables, basándose en su relación con los demás dentro del problema.
Paso 5: calcular extremos de una función
Hay un par de métodos para encontrar los extremos absolutos en los problemas de optimización:
El método del intervalo cerrado
Si el dominio de la función es un intervalo cerrado, el método del intervalo cerrado es una buena manera de calcular los extremos absolutos.
Este método consiste en encontrar todos los valores críticos dentro del intervalo, fijando \(f'(x)=0\) y resolviendo para \(x\). Cada punto crítico, así como los puntos finales del intervalo, deben ser introducidos en \(f(x)\). Los extremos absolutos son el mayor valor y el menor valor de \(f(x)\) en los puntos críticos.
Prueba de la primera derivada
La prueba de la primera derivada para los valores extremos absolutos establece que para un punto crítico \(c\) de una función \(f\), en un intervalo:
Si \(f'(x)>0\) para todo \(x\), entonces \(f(c)\) es el máximo absoluto de \(f(x)\).
Si \(f'(x)<0\) para todo \(x\) para todo \(x>c\), entonces \(f(c)\) es el valor mínimo absoluto de \(f(x)\).
Dicho de otro modo:
Si la función va de creciente a decreciente, es un máximo.
Si la función va de decreciente a creciente, es un mínimo.
Ejemplos de problemas de optimización con restricciones
Vamos a trabajar con un problema de maximización común.
Ejemplo 1: optimización de áreas
Se te encarga la tarea de cercar un campo rectangular con una valla y se te dan 400 metros de materiales para el cercado. Sin embargo, hay un granero en uno de los lados del campo (por lo tanto, no es necesario cercar ese lado del campo rectangular). ¿Qué dimensiones del campo producirán la mayor superficie sujeta a los 400 metros de materiales de vallado?
Resolveremos este problema utilizando el método descrito en el artículo:
Solución:
Paso 1: Entender bien el problema
Extraigamos la información importante del problema: necesitamos cercar tres lados de un campo rectangular de forma que se maximice el área del campo. Sin embargo, solo disponemos de 400 metros de material de vallado para utilizar. Por lo tanto, el perímetro del rectángulo debe ser menor o igual a 400 metros.
Paso 2: Dibujar un diagrama
Está claro que no hace falta ser un artista para dibujar un diagrama del problema, pero sí es muy necesario hacerlo.
Fig. 1. Problema de optimización: dibujo para ayudarnos a visualizar el problema.
Ahora, ya podemos hacer las siguientes relaciones:
\[\text{Área del rectángulo}=h·w\]
\[\text{Perímetro de la valla}=h+w+w=h+2w\]
Paso 3: Introducir las variables necesarias
Observando el diagrama anterior, hemos introducido algunas variables. Dejaremos que la altura del rectángulo esté representada por \(h\) y que el ancho del rectángulo esté representado por \(w\):
\[\text{Altura}=h\]
\[\text{Ancho}=w\]
Así, podemos calcular el área y el perímetro como:
\[\text{Área}=h·w\]
\[\text{Perímetro}=h+2w\]
Paso 4: Configurar el problema encontrando relaciones dentro él
El problema del cercado quiere que maximicemos el área \(A\), sujeto a la restricción de que el perímetro \(P\) debe ser de 400 metros. Intuitivamente, sabemos que debemos utilizar los 400 metros de cercado para maximizar el área.
Por lo tanto, nuestro problema se convierte en:
\[\text{maximizar A}=h·w\]
\[\text{de modo que }P=400=h+2w\]
Como buscamos maximizar el área, debemos escribir el área en términos del perímetro, para lograr una sola ecuación. En este ejemplo, escribiremos la ecuación del área en términos del ancho, \(A(w)\).
En primer lugar, resolvamos la altura, \(h\):
\[400=h+2w\]
\[h=400-2w\]
Ahora, introducimos el área, en términos de la ecuación del ancho, \(A(w)\):
\[A(w)=(400-2w)·w=400w-2w^2\]
En este caso, resolvemos la variable \(h\) para escribir la ecuación del área en términos del ancho. Esto se debe a que al resolver por \(h\), no se obtiene una respuesta fraccionaria, por lo que puede ser más fácil de trabajar para la mayoría de los estudiantes. Es totalmente posible resolver para el ancho y escribir la ecuación del área en términos de la altura también. ¡Inténtalo y comprueba si obtienes la misma respuesta!
Paso 5: Encontrar los extremos absolutos
Ahora que tenemos una única ecuación que contiene toda la información del problema, queremos encontrar el máximo absoluto de \(A(w)\). Podemos definir un intervalo para w, de modo que podemos utilizar el método del intervalo cerrado.
Para empezar, sabemos que \(w\) no puede ser menor que \(0\). Si dejamos que \(h=0\), según nuestra ecuación del perímetro, tenemos:
\[\begin{align}\,P&=h+2w\\400&=2w\\w&=200\end{align}\]
Esto nos dice que si \(h=0\), la anchura máxima posible es \(200\). Así que nuestro intervalo cerrado para \(w\) es \([0,200]\).
Para aplicar el método del intervalo cerrado:
- En primer lugar, hallar el extremo de \(A(w)\) tomando la derivada y haciéndola igual a \(0\).
\[\begin{align}\,A'(w)&=400-4w\\0&=400-4w\\4w&=400\\w&=100\end{align}\]
- En segundo lugar, introducimos los valores críticos \(w=0\), \(w=100\) y \(w=200\) en \(A(w)\) e identificamos el área más grande.
\[A(0)=400·0-2·0^2=0\]
\[A(100)=400·100-2·100^2=20.000\]
\[A(200)=400·200-2·200^2=0\]
Así, el mayor valor de \(A\) se produce en \(w=100\), donde \(A=20.000 \text{ m}^2\).
Podemos confirmarlo utilizando la prueba de la primera derivada.
Representando gráficamente \(A'(w)\) obtenemos la figura 2:
Fig. 2: Representación de la derivada del área, donde podemos observar que su raíz es \(w=100\).
\(A'(w)\) claramente solo es igual a \(0\) en un punto, \(w=100\). Para todo \(w<100\), \(A'(w)\) es positiva (por encima del eje x). Para todo \(w>100\), \(A'(w)\) es negativa (por debajo del eje x). Así que, por la prueba de la primera derivada, \(w=100\) es el máximo absoluto de \(A(w)\).
Introduzcamos \(w=100\) en nuestra ecuación del perímetro para saber cuánto debe valer \(h\):
\[400=h+2·100\]
\[h=200\]
Por lo tanto, para maximizar el área encerrada por la valla sujeta a nuestras restricciones materiales, debemos utilizar un rectángulo con un ancho de 100 metros y una altura de 200 metros.
Ejemplo 2: minimización de volúmenes
Ahora, vamos a intentar un problema de minimización.
Tienes la tarea de construir una lata que contenga 1 litro de líquido. Para maximizar el beneficio, debes construir la lata de forma que el material utilizado para hacerlo sea mínimo.
¿Cuál es la superficie mínima necesaria de la lata?
Una vez más, resolveremos este problema utilizando el método descrito en el artículo.
Solución:
Paso 1: Entender bien el problema
Extraigamos la información importante del problema: tenemos que construir una lata que contenga 1 litro de líquido, minimizando el material utilizado para construirla. Esencialmente, esto significa que tenemos que minimizar la superficie de la lata.
Paso 2: Dibujar un diagrama
Con un diagrama como este podemos entender mejor lo que nos pide el problema:
Fig. 3. Diagrama del problema de minimización de la superficie de un volumen.
Paso 3: Introducir las variables necesarias
Observando el diagrama anterior, ya hemos introducido algunas variables:
- El radio de la lata cilíndrica está representado por \(r\).
- La altura del cilindro está representada por \(h\).
Así, el volumen del cilindro \(V\) es \(V=\pi r^2 h\) y el área superficial \(A\) del cilindro es \(A=2\pi rh +2\pi r^2\).
Paso 4: Plantear el problema encontrando relaciones dentro del problema
El problema de la lata quiere que minimicemos el área superficial, con la restricción de que la lata debe contener, al menos, 1 litro. Intuitivamente, sabemos que para minimizar la superficie, debemos construir una lata que contenga 1 litro de líquido. Sin embargo, como buscamos una medida de longitud para \(r\) y \(h\), debemos convertir los litros en centímetros cúbicos. Por tanto, debemos construir una lata que contenga 1.000 cm3 de líquido.
Entonces, nuestro problema se convierte en:
\[\text{minimizar }A=2\pi rh+2\pi r^2\]
\[\text{de modo que }V=1000=\pi r^2 h\]
Como buscamos minimizar el área superficial, debemos escribir el área en términos del volumen para conseguir una única ecuación.
Primero, resolvamos para \(h\):
\[1000=\pi r^2 h\]
\[h=\dfrac{1000}{\pi r^2}\]
Ahora, introduzcamos la ecuación del área:
\[A=2\pi r\left( \dfrac{1000}{\pi r^2}\right)+2\pi r^2\]
\[A=\dfrac{2000}{r}+2\pi r^2\]
Paso 5: Encontrar los extremos absolutos
Ahora que tenemos una única ecuación que contiene toda la información del problema, queremos encontrar el mínimo absoluto de \(A\).
Sabemos que \(r>0\). Sin embargo, no tenemos un límite superior para \(r\).
Primero, encontraremos el extremo de \(A\), tomando la derivada y haciéndola igual a \(0\):
\[A'=4\pi r-\dfrac{4000}{r^2}\]
\[0=4\pi r-\dfrac{4000}{r^2}\]
Representamos la derivada en la figura 4:
Fig. 4. Representación de la derivada del área.Podemos ver que \(A'=0\) en un punto y, aplicando la prueba de la primera derivada, podemos confirmar que el punto \(r=5{,}41926...\) es un mínimo absoluto de \(A\). Observando la gráfica identificamos que para todo \(r<5{,}419\), \(A'(r)\) es negativa (por debajo del eje \(x\)); y, para todo \(r>5{,}419\), \(A'(r)\) es positiva (por encima del eje \(x\)). Así que, por la prueba de la primera derivada, \(r=5{,}419\) es el máximo absoluto de \(A(r)\).
Introduzcámoslo en nuestra ecuación de volumen, para averiguar cuánto debe ser \(h\):
\[1000=\pi · (5{,}419)^2 h\]
\[h=10{,}839\text{ cm}\]
Así, para construir una lata que contenga al menos 1 litro, la superficie mínima necesaria es:
\[A=2\pi ·5{,}419·10{,}839+2\pi (5{,}419)^2\]
\[A=553{,}58\text{ cm}^2\]
Problemas de optimización - Puntos clave
- La optimización matemática es el estudio de la maximización o minimización de una función sujeta a restricciones; es decir, la búsqueda de la solución más eficaz y funcional para un problema.
- La optimización es una aplicación del mundo real para encontrar e interpretar los valores extremos.
- Resolver problemas de optimización puede parecer desalentador, al principio; pero, seguir un procedimiento paso a paso ayuda.
- Paso 1: Entender bien el problema.
- Paso 2: Dibujar un diagrama.
- Paso 3: Introducir las variables necesarias.
- Paso 4: Configurar el problema encontrando relaciones dentro del mismo.
- Paso 5: Encontrar los extremos absolutos.
- Para encontrar los extremos absolutos, utilice el método del intervalo cerrado o la prueba de la primera derivada.
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