Las inecuaciones son expresiones que establecen una desigualdad entre dos funciones algebraicas, que son normalmente lineales, pero también pueden ser de orden superior.
Un ejemplo de una inecuación puede ser la siguiente:
\[5x+3<x-2\]
Las inecuaciones usan el símbolo de desigualdad para establecer las relaciones entre los distintos términos. Debido a que el tema es algo complicado, empecemos explicando primero lo que es una desigualdad.
La desigualdad
Una desigualdad es una relación de orden entre distintas expresiones algebraicas conectadas a través de un símbolo.
Existen cuatro símbolos de desigualdad, estos son:
- menor que: \(<\).
- mayor que: \(>\).
- menor o igual que: \(\leq\).
- mayor o igual que: \(\geq\).
Si se tiene, por ejemplo, la expresión \(A<B\), se lee: \(A\) es menor que \(B\).
Si tenemos la expresión:
\[3>2\]
Esto significa que 3 es mayor que 2. Por lo tanto, la desigualdad es una manera de expresar la relación entre los dos números de manera matemática.
Propiedades de la desigualdad
Las propiedades de las desigualdades se describen en la tabla inferior:
Propiedad | Definición | Ejemplo |
Adición | Si \(a>b\) entonces \(a+c>b+c\) | \(5>2\), por lo que \(5+1>2+1\) |
Sustracción | Si \(a>b\) entonces \(a-c>b-c\) | \(5>2\), por lo que \(5-1>2-1\) |
Multiplicación | Si \(a>b\) y \(c>0\) entonces \(a·c>b·c\) Si \(a>b\) y \(c<0\) entonces \(a·c<b·c\) | \(4>2\), y \(3>0\), por lo que \(4·3>2·3 \rightarrow 12>6\) \(4>2\) y \(-1<0\) por lo que \(4(-1)<2(-1)\rightarrow -4<-2 \) |
División | Si \(a>b\) y \(c>0\) entonces \(\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{c}\) Si \(a>b\) y \(c<0\) entonces \(\dfrac{a}{c}<\dfrac{b}{c}\) | \(6>2\) y \(2>0\), entonces \(3>1\) , \(4>2\) y \(-1<0\), entonces , \(-4<-2\) |
Transitividad | Si \(a>b\) y \(b>c\), entonces \(a>c\) | \(5>2\) y \(2>1\), por lo que \(5>1\) |
Comparación | Si \(a=b+c\) y \(c>0\) y , entonces \(a>b\). | \(5=2+3\) y \(3>0\) por lo que \(5>2\) |
Tabla 1. Propiedades de las desigualdades.
¿Qué son las inecuaciones?
Cuando en una desigualdad aparecen una o más incógnitas, entonces tenemos una inecuación.
Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas en la que hay una o más incógnitas.
\[x+1>3\]
Este ejemplo se lee como \(x+1\) es mayor que 3.
Observa que la punta de la flecha del símbolo de desigualdad apunta a la expresión más pequeña en una desigualdad.
Resolver una inecuación significa encontrar los valores de x para los cuales la relación entre dos funciones se cumple.
Tipos de inecuaciones
Los principales tipos de desigualdades que puedes encontrar son:
Inecuaciones lineales o inecuaciones de primer grado
Las inecuaciones de primer grado son expresiones en las que el exponente mayor de la incógnita es \(1\).
Una desigualdad lineal podría ser:
\[x+2<7\]
Aquí el término con máximo exponente es:
\[x^1\]
Inecuaciones cuadráticas o inecuaciones de segundo orden
Una inecuación cuadrática o de segundo orden es la que contiene al menos un término en el que la incógnita tiene un exponente de 2, como máximo.
Una inecuación con un término cuadrático es:
\[x^{2}+x-20<0\]
Por supuesto, existen inecuaciones de grados superiores, pero en este artículo solo trataremos las inecuaciones de primer y segundo grado.
Ejemplos de inecuaciones
Para resolver las inecuaciones hay que seguir diferentes pasos, según sean lineales o cuadráticas.
Resolución de inecuaciones lineales
Para resolver inecuaciones con desigualdades lineales, puedes manipularlas para encontrar una solución de la misma manera que una ecuación. Sin embargo, debes tener en cuenta las siguientes reglas adicionales:
La solución de una inecuación es el conjunto de todos los números reales que hacen que la desigualdad sea verdadera. Por tanto, cualquier valor de \(x\) que satisfaga la desigualdad es una solución para \(x\).
Los símbolos \(>\) (mayor que) y \(>\) (menor que) excluyen el valor específico como parte de la solución. Los símbolos \(\leq\) (mayor o igual) y \(\geq\) (menor o igual) incluyen el valor específico como parte de la solución, en lugar de excluirlo.
La solución de la inecuación se puede representar en la recta numérica, utilizando un círculo vacío para representar que el valor de \(x\) no forma parte de la solución y un círculo cerrado, si el valor de \(x\) forma parte de la solución.
Si se multiplica o divide la inecuación por un número negativo, hay que invertir el símbolo de la desigualdad. La mejor manera de entender por qué hay que hacer esto es a través de un ejemplo.
Veamos un ejemplo del cambio de signo usando una desigualdad con solo dos números.
Sabes que \(4>2\); pero, si multiplicas esta desigualdad por \(-1\), entonces obtienes \(-4>-2\), que no es cierto.
Para que la desigualdad siga siendo cierta, tienes que invertir el símbolo, tal que \(-4<-2\), lo cual sí es cierto.
Esto se debe a que, en el caso de los números negativos, cuanto más cerca del cero esté el número, más grande será. Puedes ver representados -4 y -2 en la recta numérica de la siguiente manera:
Fig. 1. Gráfica, en una recta numérica, de la expresión (desigualdad) \(-4 < -2\).
Si tienes una fracción en una inecuación, en la que \(x\) está en el denominador (es decir \({4}\over{x+5}\)), tienes que recordar que \(x\) puede ser positiva o negativa. Por lo tanto, no puedes multiplicar ambos lados de la desigualdad por \(x\). En su lugar, multiplica por \(x^2\), para que la inecuación siga siendo cierta.
Ejemplos de resolución de inecuaciones lineales
1) \(x-5>8\) aísla \(x\) y combina los términos iguales:
\[x>8+5\]
\[x>13\]
Usando la notación de conjuntos, la solución es \({x:x>13}\), que puedes leer como el conjunto de valores de \(x\) para los que \(x\) es mayor que \(13\) .
2) \(2x+2<16\) aísla \(x\) y combina términos semejantes:
\[2x<16-2\]
\[2x<14\]
\[x<7\]
Notación de conjunto: \(x:x<7\)
3) \(5-x<19\) aísla \(x\) y combina términos semejantes:
\[-x<19-5\]
\[-x<14\]
Recuerda cambiar el símbolo, ya que estás dividiendo por \(-1\)
\[x>-14\]
Notación de conjunto: \({x:x>-14}\)
4) Si necesitas encontrar el conjunto de valores para los que se cumplen dos inecuaciones distintas, puedes usar una recta numérica para ver la solución con más claridad.
La solución serán los valores que satisfacen ambas ecuaciones al mismo tiempo (se superponen). Por ejemplo las \(x\) en \(4<x<5\):
Fig 2: Sistema con dos inecuaciones.
Notación de conjunto: \({x:4<x<5}\)
Si no hay superposición, entonces las inecuaciones se escriben por separado:
Fig. 3. Sistema con dos inecuaciones que no se superponen.
Notación de conjuntos: \({x:x<4}\cup{x:x>5}\)
Resolución de inecuaciones cuadráticas
Para resolver inecuaciones cuadráticas hay que seguir estos pasos:
1. Reordena los términos en el lado izquierdo de la desigualdad, para que solo tengas el cero en un lado de la inecuación.
Es posible que tengas que ampliar los paréntesis y combinar los términos iguales antes de una inecuación cuadrática.
2. Resuelve la ecuación cuadrática para encontrar los valores críticos. Para ello, puedes factorizar, completar el cuadrado o utilizar la fórmula cuadrática.
3. Crea una tabla con los valores críticos obtenidos y calcula los signos en cada tramo para la inecuación.
4. Opcionalmente, puedes dibujar la gráfica de la función cuadrática. La gráfica de una función cuadrática ( \(ax^{2}+bx+c\)) es una parábola que cruza el eje x en los valores críticos. Si el coeficiente de \(a\) es negativo, la parábola estará invertida.
5. Usa la tabla o la gráfica para encontrar el conjunto de valores necesarios.
Ejemplos de resolución de inecuaciones cuadráticas
Encuentra el conjunto de valores de \(x\) para los que \(x^{2}+x-6>0\).
Solución
Factoriza para encontrar los valores críticos: \[(x-2)(x+3)=0\]
Los valores críticos son: \(x=2\) y \(x=-3\)
Puedes utilizar una tabla para ayudarte a ver dónde la gráfica será positiva o negativa. Calcula el signo de la inecuación para cada factor y, luego, multiplica los signos de cada factor para hallar el signo de la inecuación:
| \(x<-3\) | \(-3<x<2\) | \(x>2\) |
\(x-2\) | - | - | + |
\(x+3\) | - | + | + |
\((x-2)(x+3)\) | + | - | + |
Tabla 2: Signo de las desigualdades del ejemplo.
Puedes leer la información de la tabla así: si \(x<-3, (x-2)\) es negativo, \((x+3)\) es negativo y \((x-2) (x+3)\) es positivo; y lo mismo para las demás columnas.
La última fila \((x-2)(x+3)\) te indica dónde será positiva o negativa la gráfica. Con estos datos ya puedes obtener la solución, es decir, los valores de \(x\) para los que se cumple que \((x-2)(x+3)>0\).
Por tanto, estamos buscando los valores positivos de esta inecuación, mirando la tabla:
\[x:(-\infty,-3)\cup(2,\infty)\]
También puedes dibujar la gráfica para ver representada esta información y así hacerlo más claro:
Fig. 4. Inecuación cuadrática.
.
Los valores de \(x\) son en los que la curva está por encima del eje \(x^2+x-6>0\). Esto ocurre cuando \(x<-3\) o \(x>2\). En notación de conjuntos: \({x:x<-3}\cup{x:x>2}\).
Fig. 5. Inecuación cuadrática para \(y>0\).
Si quieres encontrar la solución de \(x^2+x-6<0\), serán los valores de \(x\) en los que la curva está por debajo del eje \(x\). Esto ocurre cuando \(-3<x<2\). En notación de conjuntos:\({x:-3<x<2}\).
Fig. 6. Inecuación cuadrática para \(y<0\).
Representando gráficamente las inecuaciones
Es posible que tengas que representar gráficamente la solución de las inecuaciones.
Las reglas que se aplican en este caso son:
Los valores de \(x\) para los que la curva \(y=f(x)\) está por debajo de la curva \(y=g(x)\) satisfacen la desigualdad \(f(x)<g(x)\).
Los valores de \(x\) para los que la curva \(y=f(x)\) está por encima de la curva \(y=g(x)\) satisfacen la desigualdad \(f(x)>g(x)\).
Ejemplos de representación gráfica de las inecuaciones
Dadas las ecuaciones \(y=3x+10\) e \(y=x^{2}\), encuentra la solución de la desigualdad \(3x+10>x^{2}\).
Al ser una inecuación, podemos mover los términos entre los dos lados, siguiendo las propiedades de las desigualdades. Para esta inecuación hacemos:
\[3x+10>x^{2}\]
\[-x^{2}+3x+10>0\]
Ahora, para tener el término cuadrático en positivo, multiplicamos los dos lados de la ecuación por \(-1\). Pero, recuerda que al hacer esto en una desigualdad, se le da la vuelta al símbolo:
\[-1·(-x^{2}+3x+10)>(-1)0\]
\[x^{2}-3x-10<0\]
Ahora podemos hallar las raíces de la inecuación cuadrática para conocer los puntos críticos de la desigualdad.
Factorizando:
\[x^{2}-3x-10<0\]
\[(x+2)(x-5)<0\]
Los valores críticos son \(x=-2\) y \(x=5\).
Ahora tomamos valores que estén dentro de los intervalos de la factorización, para ver qué ocurre en ellos. En este caso, podemos coger \(x=-3\), \(x=0\) y \(x=6\). Introducimos estos datos en la inecuación, sustituyendo \(x=3\):
\[(-3+2)(-3-5)<0\]
\[(-1)(-8)<0\]
\[9<0\]
Comprobamos que en este intervalo no se cumple la desigualdad, por lo que este intervalo no pertenece a la solución. Probamos ahora con \(x=0\):
\[(0+2)(0-5)<0\]
\[(2)(-5)<0\]
\[-10<0\]
En este caso, sí se cumple la desigualdad, por lo que podemos decir que el intervalo \(-2,5\) forma parte de la solución.
Por último, probamos con \(x=6\):
\[(6+2)(6-5)<0\]
\[8(1)<0\]
\[8<0\]
Aquí tampoco se cumple la desigualdad, por lo que este intervalo no pertenece a la solución. Finalmente, podemos determinar que la desigualdad se cumple en el intervalo \(-2,5\).
En notación de conjuntos, la solución se expresa como:
\[{x:-2<x<5}\]
Sistemas de inecuaciones
Otro caso importante es cuando tienes varias inecuaciones, en este caso cada desigualdad se debe cumplir para cada inecuación. Esto es un sistema de inecuaciones y, en este caso, se tiene que todas estas inecuaciones viven en el mismo espacio. Entonces, las inecuaciones lineales serán rectas y las inecuaciones cuadráticas serán parábolas.
A veces, cuando trabajas con inecuaciones, te pedirán que encuentres la región que satisface las desigualdades lineales y cuadráticas al mismo tiempo. La mejor manera de abordar este tipo de problemas es representar gráficamente todas las funciones en la inecuación, para encontrar la región en la que se satisfacen todas las desigualdades, prestando especial atención a la siguiente orientación:
Si las inecuaciones incluyen los símbolos \(<\) o \(>\), entonces la curva no está incluida en la región y hay que representarla con una línea de puntos.
Si las inecuaciones incluyen los símbolos \(\leq\) o \(\geq\), entonces la curva está incluida en la región y debe representarse con una línea sólida.
Sombrea la región que satisface la desigualdad del siguiente sistema:
\[y+x<5\]
\[y \geq x^{2}+x-6\]
- La primera inecuación utiliza el símbolo \(<\), por lo que su gráfica se representa con una línea de puntos, que indica que los valores en esta línea no forman parte de la solución.
- La segunda inecuación utiliza el símbolo \(\geq\), por lo tanto, se representa con una línea sólida, que indica que los valores en esta línea forman parte de la solución.
La solución es el área sombreada en azul más oscuro:
Fig. 7. Ecuación de una función lineal y cuadrática para \(y<0\).
Supongamos que se tiene lo siguiente:
\[\left\{ \begin{array} y-x>0\\2y+3x<0\\3x+y\leq0\end{array}\right.\]
En este caso, el resultado serían las siguientes rectas:
Fig. 8. Sistemas de inecuaciones lineales.
Lo que se denomina como el resultado del sistema de inecuaciones es el área de color púrpura que se ve debajo.
Fig. 9. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Este caso es un sistema de inecuaciones lineales y, de hecho, se tienen dos incógnitas que son \(x\) y \(y\). Para resolverlo, debes de seguir los siguientes pasos:
- Despeja las inecuaciones para que obtengas las ecuaciones de las rectas.
- Representa gráficamente las rectas en el plano.
- Colorea el área definida por la desigualdad en la ecuación.
- Observa dónde se cruzan todas las áreas para encontrar la solución.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
\[\left\{\begin{array}y-x>0\\2y+3x<0\\3x+y\leq0\end{array}\right.\]
Solución
1. Despejamos las ecuaciones para obtener las rectas, en este caso:
A)
\[y-x=0\]
\[y=x]\
B)
\[2y+3x=0\]
\[y=-\dfrac{3}{2}x\]
C)
\[3x+y=0\]
\[y=-3x\]
Cada una de estas es una recta que se puede ver en la imagen siguiente:
Fig. 10. Sistemas de inecuaciones lineales.
2. En este caso, tomaremos la recta \(y=x\) primero. Esta es una recta con pendiente de \(45^{o}\), donde los valores de \(x\) son iguales a \(y\). Podemos dibujarla, si tomamos una tabla y unimos los puntos.
Tabla 3. Puntos para dibujar la gráfica de una inecuación.
Ya unidos los puntos, se tiene la siguiente recta:
Fig. 11. Sistemas de inecuaciones lineales.
3. Aplicaremos la desigualdad en la inecuación. Para esto, vemos que los valores que nos interesan en el plano son los valores para los cuales se cumple que: \[y-x>0\]
Si en la recta los valores son \(x=y\), entonces \(y-x=0\) en toda la recta. De este modelo, los valores que nos interesan están en el área encima de la recta, ya que los valores cumplen que \(y>x\).
Fig. 12. Sistema de inecuaciones lineales.
El área sombreada nos indica que la inecuación no toma los valores de \(x=y\), sino solo cuando \(y>x\).
4. Si hacemos lo mismo con las demás rectas, obtenemos siguiente imagen:
Fig. 13. Sistemas de inecuaciones lineales.
La zona donde todas las áreas se cruzan es la solución del sistema. Matemáticamente esto lo podemos expresar como la interseccion de las areas.
Sistemas de inecuaciones cuadráticas
Un sistema de inecuaciones cuadráticas es más avanzado de lo que verás en tus cursos de bachillerato, normalmente. Pero, te podemos mencionar brevemente lo siguiente:
El sistema se compone de funciones parabólicas.
Para resolver el sistema se deben factorizar las funciones.
El sistema puede combinar funciones lineales y cuadráticas.
Inecuaciones - Puntos clave
- Una desigualdad es una relación de orden entre distintas expresiones algebraicas conectadas a través de un símbolo.
- Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas en la que hay una o más incógnitas.
- Las inecuaciones pueden manipularse de la misma manera que las ecuaciones, pero se deben tener en cuenta algunas reglas adicionales.
- Al multiplicar o dividir inecuaciones por un número negativo, el símbolo debe invertirse para que la desigualdad siga siendo cierta.
- La solución de una inecuación es el conjunto de todos los números reales que hacen que la desigualdad de la inecuación sea verdadera.
- Puedes utilizar una recta numérica para representar dos o más inecuaciones juntas, y así ver más claramente los valores que satisfacen todas las desigualdades al mismo tiempo.
- La resolución de inecuaciones cuadráticas puede hacerse mediante la factorización, completando el cuadrado o empleando la fórmula cuadrática para encontrar los valores críticos necesarios para poder dibujar la gráfica correspondiente y encontrar la solución.
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