El álgebra es un área de las matemáticas que se encarga de representaciones abstractas de números u objetos, usando símbolos (por ejemplo: \(x\), \(y\) y \(z\) ), para representar distintos posibles objetos matemáticos. El propósito del álgebra en muchas clases será encontrar los valores desconocidos para obtener la solución a un problema.
El álgebra combina números, variables y distintas expresiones, como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, en una expresión específica para un problema. Las soluciones a los problemas que usan expresiones algebraicas muchas veces son encontradas simplemente usando las reglas predefinidas para manipular estas expresiones matemáticas.
Un ejemplo de una expresión algebraica es: \(3x+2=5\)
En este ejemplo: \(x\) es la variable desconocida, \(3\) es el coeficiente de \(x\), \(2\) y \(5\) son constantes (valores que son fijos) y la operación que se utiliza en esta expresión es la suma (\(+\)).
Recuerda que los coeficientes son los números que multiplican a las variables.
El álgebra puede ser subdividida en varias secciones individuales, dependiendo de su nivel de complejidad y su nivel de aplicación. Estas áreas abarcan desde el álgebra elemental hasta áreas de estudio más complejas y abstractas que requieren matemáticas más avanzadas.
Por ejemplo, el álgebra elemental se centra en el estudio y solución de problemas básicos y cómo encontrar soluciones a estos. Además, se utiliza en varias áreas de la ciencia —como medicina, economía e ingeniería—.
Las bases del álgebra fueron estudiadas y organizadas por Abu Ja’far Muhammad Ibn Musa al-Khwarizm. Abu Ja’far era un hombre polifacético, que estudió varias áreas durante su vida, incluyendo la geografía, la astronomía, las matemáticas. A él se le atribuye el título de padre del álgebra. Abu Ja’far nació alrededor del 780 DC en Baghdad. El término álgebra viene de la voz árabe al-jabr, que significa “unión de las partes rotas”.
Algebra básica o elemental
El álgebra básica corresponde al uso de expresiones algebraicas sencillas como ecuaciones lineales, las cuales verás más adelante en el artículo. Las ecuaciones son del tipo \(ax+by+cz...\), donde \((a, b, c)\) son números reales y las letras \((x, y, z)\) corresponden a variables, de las cuales desconocemos su valor real.
Una expresión como \(2x+3y=0\) puede leerse como: dos veces un valor, más tres veces otro, da igual a cero. Precisamente, no conocemos los valores de estos datos (\(x\) y \(y\) ), pero podemos deducirlos; en este caso, si despejamos \(y\): \(\frac{-2}{3x}=y\) . El valor de \(y\) necesita, entonces, ser igual a menos dos tercios que el valor de \(x\), para que esta ecuación sea cero.
Este es un ejemplo básico de despeje, sustitución y solución de una ecuación algebraica sencilla, pero hay muchos otros problemas que puedes encontrar:
Despeje: donde debes dejar una variable en términos de la otra.
Simplificación: cuando debes hacer las expresiones algebraicas más sencillas.
Expansión: cuando debes desarrollar las expresiones algebraicas para hacerlas más complejas.
Operaciones básicas: que incluyan la suma, resta, división y multiplicación de expresiones algebraicas.
Profundicemos, un poco, en cada una.
Despeje
Despejar es la operación es equivalente a saber cuánto es el valor de una variable en términos de la otra.
Para despejar debes:
Pasar el término de \(x\) o \(y\) al otro lado de la ecuación. Si este está sumando, pasa al otro lado de la ecuación restando, y viceversa.
Pasar los coeficientes de \(y\) o \(x\) al lado contrario. Si estos están multiplicando, pasan dividiendo; y si estos están dividiendo, pasan multiplicando.
Interpretar el resultado.
Simplificación
Supongamos que tienes una expresión algebraica que es un polinomio, este polinomio podría ser más sencillo si fuese expresado como un término más pequeño.
Factorizar significa encontrar un término común en la expresión, un factor común.
Veamos un ejemplo:
Supongamos que tienes la siguiente expresión: \(3x^5+2x^5-3x^2+2x\). Intenta reducirla.
Solución:
Lo primero que se puede hacer en este caso es sumar o restar los términos comunes; en este caso, hay dos términos con la misma potencia a la quinta. Si los sumamos, tenemos: \(3x^5+2x^5=5x^5\).
Tienes, entonces: \(5x^5-3x^2+2x\).
Aquí puedes observar que todos los términos tienen \(x\). Por eso, en este caso, puedes sacar una \(x\) que multiplica a toda la ecuación. Esta \(x\) debe tener siempre tener la potencia de la \(x\) más pequeña en la ecuación, en este caso, \(x^1\) o simplemente \(x\).
Lo siguiente es que, todos los términos que contienen una \(x\) deben reducir su potencia por el valor de la potencia de la \(x\)más pequeña; en este caso, es uno.
Así que tienes:
\[x(5x^{(5-1)}-3x^{(2-1)}+2x^{(1-1)})\]
Pero, \(x^0\) es uno.
Por lo que tienes: \(x(5x^4-3x+2)\)
Esta nueva expresión es la expresión factorizada de la ecuación original. El factor aquí es \(x\).
Expansión
La expansión es el efecto contrario a la factorización: aquí buscas hacer tu ecuación más grande.
Existen dos posibilidades: hay dos ecuaciones algebraicas multiplicándose o la ecuación algebraica está elevada a una potencia.
La regla más simple y general cuando dos ecuaciones algebraicas se multiplican es que los términos se multiplican de uno a uno. Veamos un ejemplo:
Expande los términos:
\[(2x+3)(3y+4x)\]
Solución:
En este caso, debes multiplicar \(2x\) por cada término de \((3y+4x)\) y, después, \(3\) por cada término de \((3y+4x)\):
\[2x(3y)=6xy\]
\[2x(4x)=8x^2\]
\[3(3y)=9y\]
\[3(4x)=12x\]
Ahora, solo debes sumar los términos que son el resultado: \(6xy+8x^2+9y+12x\).
En caso de que hubiese términos similares, debes sumarlos o restarlos.
Veamos un ejemplo de elevación a una potencia.
Supongamos, una potencia al cuadrado: \((2x+3)^2\), desarrolla esto.
Solución:
En este caso, se debe seguir la regla del binomio de Newton: un binomio al cuadrado perfecto es igual al cuadrado del primer término, más el producto del segundo término por el primer término, por dos y el cuadrado del último término.
Esto es: \((a+b)^2\)=\(a^2+2ab+b^2\).
En este caso: \(a=2x\) y \(b=3\).
Por lo tanto tienes:
\[(2x+3)^2=(2x)^2+2(2x(3))+(3)^2\]
\[(2x+3)^2=4x^2+12x+9\]
En caso de que se tenga un binomio al cubo, se debe seguir la siguiente regla:
\[(a+b)^3=a^3+3ab^2+3ba^2+b^3\]
Operaciones básicas
También existe la posibilidad de que tengas que hacer operaciones básicas como suma y resta. En ese caso, es muy sencillo: solo debes sumar los términos que son iguales entre sí. Si los términos tienen solo \(x\) pueden sumarse, pero un término con \(x\) y un término con\(y\) no pueden sumarse. Veamos otro ejemplo:
Simplifica:
\[(2x+3y-4z)+(3xy-2z)\]
Solución:
En este caso, solo hay dos términos que son iguales en cada ecuación y ambos tienen una \(z\), así que son los únicos que podemos sumar:
\[-2z-4z=-6z\]
Procedemos a dejar la suma; pero, ahora, en lugar de los dos términos con z, tenemos uno solo:
\[(2x+3y-4z)+(3xy-2z)=2x+3y+3xy+(-2z-4z)=2x+3y+3xy-6z\]
Como puedes observar, los términos con valores combinados de \(xy\) tampoco se pueden sumar, excepto si hay otros términos con los mismos valores de \(x, y, z\) combinados.
Veamos esto en otro ejemplo.
Desarrolla los términos:
\[(2xy+3y-4xz)+(3xy-2z)\]
Solución:
Aquí hay tres términos con variables \(x, y, z\) combinadas, estos términos son:
\[2xy\]
\[-4xz\]
\[3xy\]
Pero, solo dos de ellos tienen las mismas variables combinadas, que son:
\[2xy\]
\[3xy\]
Por lo tanto, solo podemos sumar estos:
\[(2xy+3xy)+3y-4xz=5xy+3y-4xz\]
Se debe indicar que el orden de las variables no afecta la suma.
Si se tuviese \(2xy \) o \(3yx\), se podrían sumar ambos, igualmente.
Expresiones en álgebra con fracciones, división algebraica
Las fracciones de funciones lineales son una operación más compleja: no hay manera de hacer una división, si no se conocen los valores de \(x\) y \(y\); pero, se pueden simplificar. Una opción es por factorización.
Supongamos que se tiene una función lineal dividiendo otra función lineal, como: \(\dfrac{A}{B}\).
Si se puede encontrar un factor en \(A\) o \(B\) que simplifique esta expresión, entonces esta se puede simplificar; pero, en caso contrario, no se puede hacer mucho, ya que al ser una expresión algebraica con valores de \(x\), \(y\) y \(z\), no se puede aplicar la división larga como si fuesen polinomios. Veamos un ejemplo:
Se tienen las funciones:
\[\dfrac{-3x+4x^2}{3x^5-x}\]
Simplifica la expresión.
Solución
En este caso, puedes observar que ambas funciones tienen términos con una \(x\); entonces, podrías factorizar una \(x\), tanto en la función superior como inferior.
Al hacer esto tendrías:
\[\dfrac{x(-3+4x)}{x(3x^4-1)}\]
Aquí puedes dividir \(\frac{x}{x}\), que es igual a uno; por lo cual, tienes:
\[\dfrac{-3+4x}{3x^4-1}\]
Podrías hacer una división en este caso, ya que ambos términos tienen solo una \(x\); pero, si la ecuación tuviese un término \(y\), no podrías reducirlo más.
Para hacer la división, debes hacer uso de lo que conoces como división larga.
Tipos de ecuaciones algebraicas
Muchas veces se pueden clasificar el tipo de ecuaciones algebraicas en función del valor más grande al cual alguna de las variables está elevada. Por esto mismo, podríamos clasificarlas en algunas categorías de manera básica; tres de las cuales son las siguientes.
Ecuaciones lineales
Las ecuaciones lineales son usadas para representar problemas donde el grado de las variables es uno.
Por ejemplo, \(ax+b=0\), donde \(x\) es la variable y \(a\) y \(b\) son constantes.
Ecuaciones cuadráticas
Las ecuaciones cuadráticas son generalmente representadas con, como mínimo, una sus variables elevadas al cuadrado y siendo este el máximo exponente.
Un ejemplo es \(ax^2+bx+c=0\). En esta ecuación \(x\) es la variable, mientras que \(a\), \(b\) y\(c\) son los coeficientes constantes.
La primera variable tiene un exponente con valor de \(2\).
Este tipo de ecuaciones tiene dos valores que son sus soluciones, pese a que no siempre tienen que ser valores reales.
Ecuaciones cúbicas
Las ecuaciones cúbicas tienen alguna o más variables elevadas, como máximo, a la tercera potencia.
Un ejemplo es \(ax^3+bx^2+cx=0\). Nuevamente, aquí \(x\)es la variable, mientras que (a\), \(b\) y\(c\) son coeficientes constantes.
En general, el tipo más relevante de ecuaciones son las lineales, y al resto de expresiones se las denomina como no lineales.
Álgebra lineal
El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que relaciona el álgebra con las ecuaciones lineales y cómo estas se relacionan con espacios vectoriales a través de matrices. Parece un poco complicado, ¿verdad? Veámoslo más detenidamente, para que no te confundas.
Una expresión como \(2x+3y\) es una expresión algebraica: una suma de dos valores que corresponden a dos variables, en este caso \(x\) y \(y\).
Si se tienen dos ecuaciones que viven en el mismo espacio, como por ejemplo:
\[f=2x+3y\]
\[g=4x-5y\]
Estas representan dos rectas en el espacio de dos dimensiones.
Puedes verlo en la siguiente imagen:
Fig. 1. Gráfica de dos funciones lineales
Si se quiere saber si estas dos ecuaciones tienen una solución, o un punto donde sus valores sean los mismos, se requiere igualar a cero:
\[2x+3y=0\]
\[4x-5y=0\]
Esto puede ser representado en una matriz como:
\[\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
Esta expresión se ve muy complicada, pero dice lo siguiente:
Recuadro de la izquierda: hay dos variables \(x\) y \(y\).
Recuadro central: que tienen los siguientes coeficientes \(2{,}3\) y \(4{,}5\) en dos ecuaciones lineales que corresponden a cada renglón.
Recuadro de la derecha: cuyos valores, al sustituirlo, es igual a \(0\) en ambas ecuaciones.
En resumen, hay dos ecuaciones lineales que tienen valores \(x\) y \(y\), iguales en ambas, que al sustituirlos dan el mismo resultado.
Del plano cartesiano a espacios vectoriales
Lo siguiente es que el espacio que conoces en tres dimensiones, que simplificamos a dos, puede ser representado como un espacio vectorial; donde los ejes de coordenadas son dados por los vectores \(i\) y \(j\). Cada valor, a lo largo del eje \(x\), por ejemplo, es igual a un escalar multiplicado por el vector base \(i\) (\(5\) en el eje \(x\) sería \(5i\)).
De este modo, puedes representar vectores en el plano de dos dimensiones, usando una expresión como la siguiente:
\[\vec{v}=(5i, 2j)\]
Este es un vector cuyas coordenadas salen del origen al punto:
\[x=5, y=2\]
Como puedes representar el plano cartesiano como un espacio vectorial, ahora puedes también insertar estas ecuaciones lineales, que representan rectas o planos, en este espacio vectorial. Además, estas ecuaciones pueden ser representadas como sistemas de matrices.
Al igual que el álgebra elemental que conoces, esta contiene ciertas reglas como las de conmutatividad, elemento nulo, elemento identidad y asociatividad; pero, ese estudio se sale del contenido de bachillerato, de momento.
Operaciones del álgebra y reglas de álgebra básicas
Algunas de las propiedades básicas del álgebra (basada en números reales o complejos) necesarias para resolver problemas básicos son las siguientes:
Conmutatividad sobre suma: alterar el orden de los sumandos no altera la suma \(a+b=b+a\).
Conmutatividad sobre la multiplicación: alterar el orden de los números multiplicándose no altera el \(a\cdot b = b \cdot a\).
Asociatividad de la suma: cambiar la forma en que se realiza la suma no altera su resultado \(a+(b+c)=(a+b)+c\).
Asociatividad de la multiplicación: cambiar la forma en que se realiza una serie de multiplicaciones no altera su resultado \(a \cdot (b \cdot c)= (a \cdot b) \cdot c \).
Propiedad distributiva: si se multiplica un número a dos sumandos, se puede multiplicar el número por cada sumando y, después, sumar el resultado \(a \cdot (b + c)= a \cdot b + a \cdot c \).
Recíproco: el recíproco de un valor es el inverso de este respecto a una operación. Con respecto a la suma, es el negativo de un número; mientras que, respecto de la multiplicación, es el inverso \(a'=\frac{1}{a}\).
Identidad aditiva: si se suma \(0\) a cualquier número, el número resultante será el mismo \(a+0=0+a=a\).
Identidad multiplicativa: si se multiplica cualquier número por 1, se obtiene el mismo número \(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a\).
Inverso aditivo: añadir el inverso de cualquier número a sí mismo da como resultado cero \(a+(-a)=0\).
Inverso multiplicativo: si multiplicamos cualquier número por su recíproco, se obtiene \(1\) como resultado \(a \cdot (\frac{1}{a})=1\).
Ecuaciones lineales algebraicas
Para resolver una ecuación lineal, tienes que seguir los siguientes pasos:
Paso 1: simplificar cada lado de la ecuación, quitando los paréntesis y combinando los términos.
Paso 2: añadir y sustraer los términos para poder aislar la variable de interés en un solo lado de la ecuación.
Paso 3: multiplicar o dividir para obtener el valor de la variable desconocida.
Ejemplo 1: Variable en un solo lado de la ecuación algebraica.
Paso 1:
\[3(x+1)+4=16\]
\[3x+3+4=16\]
Paso 2:
\[3x+7=16\]
\[3x=16-7\]
\[3x=9\]
Paso 3:
\[x=\dfrac{9}{3}\]
\[x=3\]
Ejemplo 2: Variable en ambos lados de la ecuación algebraica.
Paso 1: en este caso podemos saltarnos este paso.
\[4x+3=x-6\]
Paso 2:
\[4x-x=6-3\]
\[3x=-9\]
Paso 3:
\[x=\dfrac{9}{3}\]
\[x=3\]
Ejemplo 3: Problema real
Supongamos que hay una caja llena de bolas azules y rojas. En total, haybolas. La cantidad de las bolas rojas es el doble de las bolas azules menosunidades. ¿Cuántas bolas rojas hay en la caja?
Solución:
Para resolver un problema real hay que seguir la siguiente estrategia.
- Asignar variables a los valores desconocidos.
- Construir las ecuaciones.
- Resolver las ecuaciones.
En este caso, nuestras variables son: \(B\) (cantidad de bolas azules) y\(R\)(cantidad de bolas rojas).
Ecuaciones:
\[1: B+R=50\]
\[2:R=2B-10\]
Ahora, para resolver las ecuaciones, tenemos que manipularlas.
Una manera es: como sabemos que \(R=2B-10\), entonces sustituimos el valor deen la primera ecuación. Este método recibe el nombre de sustitución.
\[B+(2B-10)=50\]
\[B+2B-10=50\]
\[3B=50+10\]
\[3B=60\]
\[B=\dfrac{60}{3}\]
\[B=20\]
Ahora sustituimos el valor deen la segunda ecuación:
\[R=2B-10\]
\[R=2(20)-10\]
\[R=40-10\]
\[R=30\]
¡Hay \(30\) bolas rojas en la caja!
En este caso, los sistemas de ecuaciones algebraicas son ecuaciones que están ligadas entre sí. En estos sistemas, usualmente, se tiene una solución donde los valores de las variables son los mismos para todas las ecuaciones.
Factorización de expresiones algebraicas
Otra operación muy importante es la factorización.
La factorización es el acto de encontrar un término común en dos números, esto también se puede llamar factor común. Este factor común se extrae de los dos números, y la expresión resultante es más simple.
Esta operación es elemental en otras actividades como:
Veamos el procedimiento para poder hacer esto.
Supongamos tenemos la expresión: \[ 2x^2+2x \]
Es una expresión sencilla, ¿verdad?
Ahora, observa bien la expresión y ve que hay dos términos, que son \( 2x^2\) y \(2x\)
Hay términos comunes en ambos; en este caso, \(x\) y \(2\).
Ya que \(x*x=x^2\), podemos expresar esta ecuación como: \[ 2x(x)+2x \]
Se pueden ver los términos más fácilmente. Ahora, lo que podemos hacer es encontrar una expresión que, al ser multiplicada por \(2x\), nos de \(2x^2+2x\). La expresion es:
\[x+1\]
Así que\(2x\) queda multiplicando toda la expresión como:
\[2x(x+1)\]
El término \(2x\) es el factor común de \(2x^2+2\) y el proceso que seguimos se llama factorizar.
Veamos un ejemplo con una división.
Tienes la expresión \( \frac{3x^3+2x}{x} \)
Simplifícala usando factorización.
Solución
En este caso, todas las expresiones tienen una \(x\); por lo cual, este es el factor común. Pero, la \(x\) está tanto en el numerador como en el denominador.
Primero trabajas la parte superior:
La expresión \(3x^3+2x\) se puede escribir como \((3x^2+2)x\).
Si observas bien, esto es lo mismo que la parte inferior, que es una simple \(x\).
En este momento, puedes hacer algo muy simple, ya que \(x\) representa un valor desconocido pero es el mismo para todas las \(x\); este valor es igual a 2/2 o 1/1.
El resultado de dividir un número sobre sí mismo es: 1. \[ \frac{(3x^2+2)x}{x}\]
Así que se reduce a: \[ (3x^2+2)\]
Esta expresión y la anterior son, de hecho, la misma.
Álgebra - Puntos clave
El álgebra es un área de las matemáticas que utiliza símbolos para representar objetos desconocidos.
Muchos problemas cotidianos pueden ser representados empleando expresiones algebraicas.
El álgebra tiene unas reglas predefinidas para manipular expresiones algebraicas.
Entender álgebra ayuda a mejorar habilidades para resolver problemas, habilidades críticas, lógicas, de razonamiento, de identificación de patrones y resolución de problemas complejos, que abarcan números y variables desconocidas.
Algunos tipos de ecuaciones algebraicas son: lineales, cuadráticas y cúbicas.
Para resolver ecuaciones lineales debes simplificar cada lado de la ecuación, removiendo paréntesis y combinando términos; además de sumar o restar términos, para aislar la variable buscada, utilizando también multiplicaciones y divisiones.
Para resolver problemas del mundo real, se debe empezar por asignar variables a valores desconocidos, construir ecuaciones y, después, resolver estas ecuaciones.
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