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Desplazamiento angular, velocidad y aceleración
En un artículo anterior, definimos las ecuaciones para determinar la velocidad y la aceleración instantáneas de un objeto mediante el cálculo. Estas definiciones tienen un análogo rotacional. El desplazamiento angular es el ángulo con el que un punto de un sistema rígido gira alrededor de un eje. Los sistemas rígidos son sistemas que mantienen su forma, pero distintos puntos del sistema pueden moverse en distintas direcciones. Si la rotación del sistema gira en torno al centro de masa, el sistema rígido puede tratarse como un objeto. Por ejemplo, la rotación de la Tierra sobre su eje es despreciable si tratamos a la Tierra como un punto, un centro de masa que gira alrededor del Sol. La velocidad angular es la tasa de variación del desplazamiento angular, mientras que la aceleración angular es la tasa de variación de la velocidad angular. A continuación presentamos las definiciones del cálculo.
$$\begin{array}{rcl}\Delta x=x_texto{f}-x_texto{i}&\leftrightarrow&\Delta \theta=\theta_texto{f}-\theta_texto{i}\v=\frac{operador dx}{operador dt}&\leftrightarrow&&\omega=\frac{operador} d\theta}{operador} dt}\a=\frac{operador} dv}{operador} dt}&\fleftrightarrow&\alpha=\frac{operador} d\omega}{operador} dt}\end{array}\$$
Un cuerpo que gira con aceleración angular uniforme tiene una velocidad angular inicial de \(1;\frac{text{rad}}{text{s}}). Vemos que al cabo de 5 segundos, la velocidad angular es \(3\;\frac{\text{rad}}{\text{s}}\). ¿Cuál es el desplazamiento angular?
Nos dan el tiempo y la velocidad angular inicial y final, así que podemos determinar el desplazamiento angular utilizando la ecuación de la velocidad angular media:
$$\begin{align*}\overline\omega&=\frac{\Delta\theta}{\Delta t},\\\Delta\theta&=(\frac{\omega_{\mathrm i}+\omega_{\mathrm f}}2)\Delta t,\\\Delta\theta&=\left(\frac{3\;\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}+1\;\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}}2\right)\left(5\;\mathrm s\right),\\\Delta\theta&=6\;\mathrm{rad}.\fin{align*}$$
También puedes utilizar intervalos para determinar la velocidad angular media y la aceleración.
Un objeto tarda \(2\;\mathrm s\) en completar una rotación. ¿Cuál es la velocidad angular media del objeto en rotación?
Una rotación completa tarda \(2\pi\;\mathrm{rad}\;(360^\circ)\}, por lo que podemos determinar la velocidad angular media del objeto:
$$\begin{align*}\overline\omega&=\frac{\Delta\theta}{\Delta t},\\\overline\omega&=\frac{2\pi\;\mathrm{rad}}{2\;\mathrm s},\\\overline\omega&=\pi\;{\textstyle\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}.fin{align*}$$
¿Cuál es la aceleración angular media de un disco si su velocidad angular aumenta de \ (1; \frac{texto{rad}}{texto{s}} ) a \ (6;\frac{texto{rad}}{texto{s}}) en \(0,5;\mathrm s\)?
$$\begin{align*}\overline\alpha&=\frac{\Delta\omega}{\Delta t},\\\overline\alpha&=\frac{(6\;\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}-1\;\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s})}{0.5\;\mathrm s},\\\overline\alpha&=10\;{\textstyle\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s^2}.}\end{align*}$$
También hemos utilizado las definiciones del cálculo para hallar las ecuaciones del movimiento para una aceleración constante en movimiento de traslación. Podemos utilizar el cálculo para deducir estas ecuaciones para el movimiento de rotación. Así podemos mostrar la relación directa entre el desplazamiento angular, la velocidad y la aceleración. En primer lugar, debemos integrar la definición de aceleración angular:
$$\begin{align*}\alpha&=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt},\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm d\omega&=\int_0^t\alpha\;\mathrm dt\;,\\\omega&=\omega_0+\alpha t,\end{align*}$$
donde \(\omega_0\) es la constante de integración que representa la velocidad angular inicial en radianes por segundo \((\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s})\). La ecuación anterior es útil para los problemas de física que no proporcionan o no te piden que halles el desplazamiento angular. Si integramos una vez más, podemos hallar la ecuación para la posición angular y el desplazamiento de un objeto en rotación:
$$\begin{align*}\omega&=\frac{\mathrm{dθ}}{\mathrm dt},\\\omega&=\omega_0+\alpha t,\\\frac{\mathrm{dθ}}{\mathrm dt}&=\omega_0+\alpha t,\\\int_{\theta_0}^\theta\mathrm{dθ}&=\int_0^t\left(\omega_0+\alpha t\right)\mathrm dt,\\\theta&=\theta_0+\omega_0t+\frac12\alpha t^2.\nd{align*}\$$
La ecuación anterior es útil para los problemas de física que no proporcionan o no te piden que halles la velocidad angular. Podemos derivar una última ecuación útil completando el cuadrado. En caso de que no recuerdes cómo completar el cuadrado, te mostraremos lo que necesitas:
$$ax^2+bx+c flecha izquierda a{(x+d)}^2+e,$$
donde \(d=\frac b{2a}\) y \(e=c-\frac{b^2}{4a}\). En nuestro caso, \(d=\frac{\omega_0}{alpha}\) y \(e=\theta_0-\frac{\omega_0^2}{2\alpha}\). Ahora podemos reescribir la ecuación de la posición angular del objeto,
$$\theta=\theta_0+\frac12\alpha{(t+\frac{\omega_0}\alpha)}^2\;-\frac{\omega_0^2}{2\alpha}.$$
Si reordenamos la ecuación de la velocidad angular y sustituimos el término \(t+\frac{\omega_0}\alpha) en la expresión anterior, obtenemos una expresión útil para resolver problemas de física que no proporcionan o no te piden que halles el intervalo de tiempo:
$$\begin{align*}\omega&=\omega_0+\alpha t,\\\frac\omega\alpha&=t+\frac{\omega_0}\alpha.\end{align*}$$
Sustituimos esta expresión en la ecuación del desplazamiento angular,
$$\begin{align*}\theta&=\theta_0+\frac12\alpha\left(\frac\omega\alpha\right)^2-\frac{\omega_0^2}{2\alpha},\\\theta&=\theta_0+\frac{\omega^2-\omega_0^2}{2\alpha},\\\omega^2&=\omega_0^2+2\alpha\left(\theta-\theta_0\right).\fin{align*}$$
Una esfera inicialmente en reposo comienza a girar con aceleración angular uniforme. Su velocidad angular es \ (10\;\frac{\text{rad}}{\text{s}}). Si su desplazamiento angular es \(20\;\mathrm{rad}\), ¿cuál es el valor de la aceleración angular de la esfera?
Se nos da el desplazamiento angular y la velocidad angular inicial y final. Además, no se nos proporciona ni se nos pide que hallemos el intervalo de tiempo, por lo que podemos determinar la aceleración angular utilizando la ecuación del cuadrado de la velocidad angular. Anulamos el término de velocidad angular inicial, ya que la condición inicial establece que es cero:
$$\begin{align*}\omega^2&=\bcancel{\omega_0}^2+2\alpha(\theta-\theta_0),\\\alpha&=\frac{\omega^2}{2\Delta\theta},\\\alpha&=\frac{\left(10\;\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}\right)^2}{2\left(20\;\mathrm{rad}\right)},\\\alpha&=2.5\;{\textstyle\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s^2}}.\end{align*}$$
Hemos demostrado que las ecuaciones del movimiento de aceleración uniforme en una dimensión son idénticas para el movimiento de traslación y de rotación. El desplazamiento angular, la velocidad y la aceleración son los análogos rotacionales del desplazamiento, la velocidad y la aceleración traslacionales.
Ahora podemos describir el movimiento traslacional de un punto que gira alrededor de un eje y el movimiento rotacional de un punto que también se mueve traslacionalmente. En la imagen siguiente podemos ver cómo identificar un sistema que experimenta movimiento traslacional, movimiento rotacional o ambos a la vez. Es importante tener en cuenta que el movimiento de traslación puede ser lineal o no lineal.
Conexión del movimiento de traslación y rotación
Para conectar el desplazamiento angular con la traslación de un punto en un sistema rígido, primero debemos imaginar un disco con un radio determinado que llamaremos línea de referencia. En un cuerpo rígido, todos los puntos situados a lo largo de una línea radial tendrán el mismo desplazamiento angular.
En la imagen anterior, vemos que si multiplicamos el desplazamiento angular por la longitud de la línea radial, podemos determinar la longitud de arco. La definición de longitud de arco es clave para relacionar el movimiento de traslación y el de rotación,
$$\begin{align*}\Delta s\;&=r\Delta\theta,\\\frac{\Delta s}r&=\Delta\theta.\\final{align*}$$
Del mismo modo, podemos reordenar la definición de la longitud de arco para hallar la expresión de la velocidad angular. Debemos dividir ambos lados de la ecuación por un intervalo de tiempo,
$$\begin{align*}\Delta s&=r\Delta\theta,\\\frac{\displaystyle\Delta s}{\Delta t}&=r\frac{\displaystyle\Delta\theta}{\Delta t},\;\\\overline v&=r\overline\omega.\end{align*}$$
Para hallar la velocidad instantánea traslacional y angular, debemos utilizar sus definiciones de cálculo:
$$\begin{align*}\frac{\displaystyle\operatorname ds}{\operatorname dt}&=r\frac{\displaystyle\operatorname d\theta}{\operatorname dt},\v&=r\omega.\final{align*}$$
Hemos relacionado el desplazamiento traslacional y la velocidad con el desplazamiento angular y la velocidad. Además, podemos observar que la velocidad angular es proporcional a la longitud de la línea radial. Esto significa que los puntos que están lejos del eje de rotación se desplazarán más rápido que los puntos que están más cerca del eje.
Un disco de radio \(20\;\mathrm{cm}) gira con movimiento angular uniforme. Su velocidad angular es de \ (6;\frac{\text{rad}}{\text{s}}). ¿Cuál es la velocidad lineal de un punto del disco que se encuentra a una distancia del radio del disco?
$$\begin{align*}v&=r\omega,\\v&=\left(0.20\;\mathrm m\right)\left(6\;{\textstyle\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}}\right),\\v&=1.2\;{\textstyle\frac{\mathrm m}{\mathrm s}}.\end{align*}$$
Para relacionar la aceleración traslacional con la angular, debemos diferenciar la expresión anterior con respecto al tiempo:
$$\begin{align*}\frac{\displaystyle\operatorname dv}{\operatorname dt}&=r\frac{\displaystyle\operatorname d\omega}{\operatorname dt},\a&=r\alpha.\end{align*}$$
Acabamos de demostrar que la aceleración puede surgir de un cambio de velocidad causado por la aceleración angular.
Consideremos un disco de radio \ (50\;\mathrm{cm}\). Su velocidad ang ular aumenta de \frac (2) a \frac(5) en \frac (0,5). ¿Cuál es la aceleración lineal de un punto del disco que se encuentra a una distancia igual al radio del disco?
Se nos da la información para determinar la aceleración angular.
$$\begin{align*}\alpha&=\frac{\Delta\omega}{\Delta t},\\\alpha&=\frac{\left(5\;\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}-2\;\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}\right)}{0.5\;\mathrm s},\\\alpha&=6\;{\textstyle\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s^2}}.\end{align*}$$
Ahora podemos determinar la aceleración tangencial.
$$\begin{align*}a&=r\alpha,\\a&=\left(0.50\;\mathrm m\right)\left(6\;{\textstyle\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s^2}}\right),\\a&=3\;{\textstyle\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}}.\end{align*}$$
Es importante mencionar que esta aceleración es diferente de la aceleración centrípeta causada por el movimiento de traslación y circular. La aceleración centrípeta no produce un cambio de velocidad, sino de rapidez, porque la dirección cambia constantemente.
Deduce una expresión para la aceleración centrípeta en términos de velocidad angular.
Sabemos que la aceleración centrípeta está relacionada con la velocidad tangencial. Ya hemos deducido una expresión para la velocidad tangencial en función de la velocidad angular.
$$\begin{align*}a_c&=\frac{v^2}r,\\a_c&=\frac{{(r\omega)}^2}r\\a_c&=\omega^2r.\end{align*}$$
Conexión del movimiento lineal y rotacional - Puntos clave
- Sistemas rígidos son sistemas que mantienen su forma, pero distintos puntos del sistema pueden moverse en distintas direcciones. Si la rotación del sistema gira en torno alcentro de masa , el sistema rígido puede tratarse como un objeto.
- En un cuerpo rígido, todos los puntos a lo largo de una línea radial tendrán el mismo desplazamiento angular.
- El desplazamientoangular es el ángulo con el que un punto de un sistema rígido gira alrededor de un eje, \(\Delta \theta=\theta-\theta_0\). Está unido al desplazamiento traslacional por la longitud de arco, \(\Delta s=r\Delta \theta\).
- Lavelocidad angular es la velocidad de cambio del desplazamiento angular, \(\omega=\frac{\operatorname d\theta}{\operatorname dt}\). Está relacionada con la velocidad tangencial, \(v=r\omega\).
- La aceleración angular es el índice de cambio de la velocidad angular, \(\alpha=\frac{\operatorname d\omega}{\operatorname dt}\). Está relacionada con la aceleración tangencial, \(a=r\alpha\).
Referencias
- Fig. 1 - Una peonza en movimiento lineal y rotacional (https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ac/Spinning_top_%285448672388%29.jpg), por carrotmadman6 (https://www.flickr.com/people/23512070@N08), bajo licencia CC BY 2.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/2.0/)
- Fig. 2 - Visualización de la combinación de movimiento de rotación y traslación. También vemos que el movimiento de traslación puede ser lineal o no lineal, StudySmarter
- Fig. 3 - Visualización de la línea de referencia para conectar el desplazamiento traslacional con el angular. En un sistema rígido, todos los puntos a lo largo de una línea radial tienen siempre el mismo desplazamiento angular, StudySmarter Originals
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