Trayectoria Orbital

Para deducir la ecuación de la órbita, primero debemos empezar describiendo la energía del sistema de masa reducida que orbita alrededor del centro de masa del sistema. Sabemos que la energía cinética y el potencial gravitatorio del sistema, por lo que podemos expresar la energía total:

$$E=\frac{1}{2}\mu v^2-\frac{Gm_1m_2}{r},$$

donde \mu es la masa reducida en \(\text{kg}\) y \(v\) es la velocidad relativa entre los dos cuerpos.

La velocidad puede definirse en coordenadas polares como

\begin{align*}\vec{v}&=v_\text{r} \que +v_\theta \hat{\theta},\\v&=|\vec{v}|,\\v&=|\frac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}|,\end{align*}

where \(v_\text{r}=\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\) and \(v_\theta=r\left(\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}\right)\).

La energía del sistema es ahora

$$E=\frac{1}{2}\mu\left[\left(\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\right)^2+\left(r\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}\right)^2\right]-\frac{Gm_1m_2}{r}.$$

El momento angular viene dado por

$$\begin{align*}\vec{l}&=\vec{r}\times\mu\vec{v},\\\vec{l}&=r \hat{r}\times\mu\left(v_\text{r} \hat{r}+v_\theta \hat{\theta}\right),\\\vec{l}&=r\mu v_\theta \hat{k},\\\\vec{l}&=\mu r^2\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t} \hat{k},\\l&=\mu r^2\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t},\\\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}&=\frac{l}{\mu r^2}.\end{align*}$$

Ahora reescribimos la energía total del sistema,

$$E=\frac{1}{2}\mu\left(\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\right)^2+\frac{1}{2}\frac{l^2}{\mu r^2}-\frac{Gm_1m_2}{r}.$$

Podemos escribirlo en términos de \frac(\frac{text{d}r}{\text{d}t}):

$$\frac{\text{d}r}{\text{d}t}=\sqrt{\frac{2}{\mu}}\left(E-\frac{1}{2}\frac{l^2}{\mu r^2}+\frac{Gm_1m_2}{r}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ahora dividimos \frac(\frac{text{d}\theta}{texto{d}t}) por \frac(\text{d}r}{texto{d}t}) para obtener \frac(\frac{text{d}\theta}{texto{d}r}), una expresión que relaciona la distancia \(r\) con el ángulo \(\theta). Da la ecuación de la órbita en forma diferencial:

\begin{align*}\frac{\text{d}\theta}{\text{d}r}&=\frac{\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}}{\frac{\text{d}r}{\text{d}t}},\\\frac{\text{d}\theta}{\text{d}r}&=\frac{l}{\sqrt{2\mu}}\frac{\left(\frac{1}{r^2}\right)}{\left(E-\frac{l^2}{2\mu r^2}+\frac{Gm_1m_2}{r}\right)^{\frac{1}{2}}},\\\text{d}\theta&=\frac{l}{\sqrt{2\mu}}\frac{\left(\frac{1}{r^2}\right)}{\left(E-\frac{l^2}{2\mu r^2}+\frac{Gm_1m_2}{r}\right)^{\frac{1}{2}}}\text{d}r.\fin{align*}

Antes de hacer cualquier integración, tenemos que hacer algunas sustituciones. Hacemos la sustitución \(u=\frac{1}{r}}), \(\text{d}u=-\ izquierda(\frac{1}{r^2}}derecha)\text{d}r,\):

$$\text{d}\theta=-\frac{l}{\sqrt{2\mu}}\frac{\text{d}u}{\left(E-\frac{l^2}{2\mu}u^2+Gm_1m_2u\right)^{\frac{1}{2}}}.$$

A continuación, multiplicamos y dividimos el lado derecho de la ecuación por \(\frac{\sqrt{2\mu}}{l}):

$$\begin{align*}\text{d}\theta&=-\frac{\text{d}u}{\left(\frac{2\mu E}{l^2}-u^2+2\left(\frac{\mu Gm_1m_2}{l^2}\right)u\right)^{\frac{1}{2}}},\\\text{d}\theta&=-\frac{\text{d}u}{\left(\frac{2\mu E}{l^2}-u^2+\frac{2u}{r_0}\right)^{\frac{1}{2}}},\end{align*}$$

donde hemos definido \(r_0=\frac{l^2}{\mu Gm_1m_2}\).

Ahora sumamos y restamos \(\frac{1}{{r_0}^2}) dentro del paréntesis con la raíz cuadrada:

\begin{align*}\text{d}\theta&=-\frac{\text{d}u}{\left(\frac{2\mu E}{l^2}+\frac{1}{{r_0}^2}-u^2+\frac{2u}{r_0}-\frac{1}{{r_0}^2}\right)^{\frac{1}{2}}},\\\text{d}\theta&=-\frac{\text{d}u}{\left(\frac{2\mu E}{l^2}+\frac{1}{{r_0}^2}-\left(u-\frac{1}{r_0}\right)^2\right)^{\frac{1}{2}}},\\\text{d}\theta&=-\frac{r_0\text{d}u}{\left(\frac{2\mu E{r_0}^2}{l^2}+1-\left(r_0 u-1\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}}},\end{align*}

donde definimos la excentricidad como \(\epsilon=\sqrt{\frac{2\mu E{r_0}^2}{l^2}+1}). Esta cantidad adimensional es responsable de la forma de la órbita. Esto se trata mejor en el artículo Trayectorias orbitales.

Reescribimos nuestra ecuación en función de la excentricidad:

$$\text{d}\theta=-\frac{r_0\text{d}u}{\left({\epsilon}^2-\left(r_0 u-1\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}.$$

Finalmente, hacemos la última sustitución antes de resolver la integral, \(r_0u-1=\epsilon \cos{{alpha}\) y \(r_0 \text{d}u=-\epsilon\sin{alpha}\text{d}\alpha):

\begin{align*}\text{d}\theta&=-\frac{-\epsilon\sin{\alpha}\text{d}\alpha}{\left({\epsilon}^2-{\epsilon}^2{\cos^2{\alpha}}\right)^{\frac{1}{2}}},\\\text{d}\theta&=-\frac{-\bcancel{\epsilon}\sin{\alpha}\text{d}\alpha}{\bcancel{\epsilon}\left(1-\cos^2{\alpha}\right)^{\frac{1}{2}}},\\\text{d}\theta&=\frac{\sin{\alpha}\text{d}\alpha}{\left(sin^2{\alpha}\right)^{\frac{1}{2}}},\\\text{d}\theta&=\frac{\bcancel{\sin{\alpha}}\text{d}\alpha}{\bcancel{sin{\alpha}}}\,\\\theta&=\int{\text{d}\alpha},\\\theta&=\alpha + \text{constant}.\fin

Ya sabemos que \(r=\frac{1}{u}\}). Si elegimos que la constante sea cero, nos encontramos con que

\begin{align*}r_0u-1&=\epsilon\cos{\alpha},\\r_0u-1&=\epsilon\cos{\theta},\\u&=\frac{1-\epsilon\cos{\theta}}{r_0}.\end{align*}

Nuestra expresión final para la ecuación de la órbita es:

\begin{align*}r&=\frac{1}{u},\\r&=\frac{r_0}{1+\epsilon\cos{\theta}}.\end{align*}

Alternativamente, si elegimos que la constante sea \(\pi\) obtenemos la misma ecuación orbital pero con el eje vertical reflejado,

$$r=\frac{r_0}{1-\epsilon\cos{\theta}}.$$

Necesitamos dos coordenadas para seguir la posición de un satélite en órbita en el cielo, los ángulos acimutal y de elevación. El ángulo de acimut es un ángulo de \(360^\c\ ) grados de rotación horizontal, mientras que el ángulo de elevación es un ángulo de \(90^\c\) grados de rotación vertical. Estos ángulos se miden desde la antena en la Tierra. A continuación te presentamos un diagrama para ayudarte a visualizar estos ángulos.

Fig. 5 - Diagrama para visualizar los ángulos acimutal y de elevación y poder seguir la posición de un satélite en órbita.

La ecuación para calcular los ángulos acimutales y de elevación varía según el tipo de órbita. Aquí discutiremos la ecuación para satélites en órbita geoestacionaria. Si queremos la ecuación más general, se complica un poco más, ya que tenemos que añadir algunos factores como la altura del satélite sobre el nivel del mar y una ecuación dependiente del tiempo, ya que no todas las órbitas tienen el mismo periodo que la Tierra.

Podemos expresar la ecuación de los ángulos de acimut y elevación de los satélites geoestacionarios de la siguiente manera:

$$A=180^\circ+\;\tan^{-1}\left(\frac{\tan\left(S-N\right)}{\tan\left(L\right)}\right)$$

$$E=\tan^{-1}\left(\frac{\cos\left(S-N\right)\cos\left(L\right)-0.1512}{\sqrt{1-\cos^2\left(S-N\right)\cos^2\left(L\right)}}\right),$$

donde \(S\) es la longitud del satélite en grados, \({}^circ\), \(N\) es la longitud del emplazamiento de la antena en grados, \({}^circ\), y \(L\) es la latitud del emplazamiento de la antena en grados, \({}^circ\).