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Definición de aceleración angular
Utilizamos la aceleración lineal para describir un cambio en la velocidad lineal, pero ¿cómo describimos un cambio en la velocidad de rotación de un objeto que gira? Como el índice de rotación es la velocidad angular, puede que no te sorprenda que la aceleraciónangularsea el equivalente rotacional de la aceleración lineal. Mientras que la aceleración lineal describe el índice de cambio de la velocidad lineal, la aceleración angular es el índice de cambio de la velocidad angular \(\omega\).
De forma similar a la velocidad angular, la convención establece que la aceleración angular que provoca un aumento de la velocidad de rotación en sentido contrario a las agujas del reloj es positiva, mientras que un aumento de la velocidad de rotación en sentido de las agujas del reloj está provocado por una aceleración angular negativa.
La aceleración angular es una unidad pseudoescalar. Esto significa que se comporta como una unidad escalar, ya que sólo requiere una magnitud para estar totalmente definida, pero cambia de signo según la dirección desde la que se mire: ¡un ventilador de techo puede girar en sentido contrario a las agujas del reloj desde abajo, pero si lo miras desde arriba giraría en el sentido de las agujas del reloj! Dependiendo del sistema de referencia, la aceleración angular positiva siempre puede aumentar la velocidad de rotación en cualquier sentido. Para definir en qué sentido actúa la aceleración, elegimos un sistema de referencia, y entonces la convención establece que un signo positivo indica que la aceleración angular actúa para aumentar la velocidad de rotación en el sentido de las agujas del reloj, y un signo negativo indica un aumento de la velocidad de rotación en sentido contrario a las agujas del reloj.
Unidades de aceleración angular
La unidad SI para la velocidad angular es el radian por segundo, que define el ángulo que recorre un objeto cada segundo. La aceleración angular define la cantidad que cambia la velocidad angular cada segundo, por lo que sus unidades son la unidad de velocidad angular por segundo: (radianes-por-segundo)-por-segundo. Radianes-por-segundo-por-segundo es equivalente a radianes-por-segundo-cuadrado, como se muestra a continuación:
\[\alpha=\dfrac{\left(\dfrac{\text{radians}}{\text{second}}\right)}{\text{second}}=\dfrac{\text{radians}}{\text{seconds}^2}\]
Al estudiar el movimiento circular, la unidad estándar para tratar los ángulos es el radián. Una rotación completa \(360^\circ\) contiene \(2\pi\) radianes , es decir
\(360^\circ=2\pi \,\text{radians}\), so \(1\,\text{radian}=\dfrac{360^\circ}{2\pi}=57.3^\circ\).
Para convertir un ángulo \(\theta_{texto}{grados}) en radianes, se puede hallar como \(\theta_{texto}{radianes}=\dfrac{\theta_{texto}{grados}}{360^circ}=2\pi}).
Del mismo modo, para convertir de radianes a grados, podemos utilizar \(\theta_{text{degrees}}={dfrac{\theta_{text{radians}}{2\pi}=360^\circ}).
Fórmula de la aceleración angular
Para hallar la aceleración angular de un objeto, necesitamos conocer su velocidad angular en dos momentos. A continuación, podemos calcular la cantidad que la velocidad angular cambió cada segundo, suponiendo una tasa constante de aceleración ang ular entre los dos puntos. Esto nos da la aceleración angular \(\alpha\):
\[\alpha=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}=\dfrac{\omega_f-\omega_i}{t_f-t_i}\]
donde el subíndice "\(f\)" significa "final" y "\(i\)" significa "inicial".
Ejemplo de cálculo de la aceleración angular
El diagrama siguiente muestra un volante de inercia que inicialmente está parado, se acelera durante 5 segundos y luego se deja girar libremente durante 10 segundos, sufriendo cierta fricción. La velocidad angular se mide en cada uno de estos puntos y se indica en el diagrama.
- Determina la aceleración angular mientras se acelera el volante y mientras gira libremente.
- Traza la velocidad angular y la aceleración en función del tiempo.
Para hallar la aceleración angular en cada período, podemos utilizar la fórmula de la aceleración angular, ya que conocemos las velocidades angulares inicial y final. Llamamos a la aceleración angular sufrida en los 5 primeros segundos \(\alpha_1\) y a la de los 10 segundos siguientes \(\alpha_2\) y calculamos
\[\alpha_1=\dfrac{10\,\mathrm{rad/s}-0\,\mathrm{rad/s}}{5\,\mathrm{s}-0\,\mathrm{s}}=2\,\mathrm{rad/s}^2\]
\[\alpha_2=\dfrac{9\,\mathrm{rad/s}-10\,\mathrm{rad/s}}{15\,\mathrm{s}-5\,\mathrm{s}}=-0.1\,\mathrm{rad/s}^2\]
Para trazar la velocidad y la aceleración en función del tiempo, trazamos los valores en cada uno de nuestros puntos temporales conocidos (\(0\, \mathrm{s}), \(5\, \mathrm{s}) y \(15\, \mathrm{s})) y los unimos con líneas rectas, porque las aceleraciones angulares son constantes en cada periodo.
Gráfico de la velocidad angular (amarillo) y la aceleración angular (azul) del volante de 0 a 15 segundos, StudySmarter Originals.
Relación entre la aceleración angular y la aceleración lineal
En el movimiento circular, el desplazamiento angular \(\theta\) es equivalente al desplazamiento \(s\) en el estudio del movimiento lineal. Las ecuaciones cinemáticas de velocidad, aceleración y desplazamiento también tienen equivalentes angulares.
| Cantidad | Ecuación lineal | Ecuación angular |
| Velocidad | \(v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}}) | \(\omega =\dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}) |
| Aceleración | \(a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}}) | \(\alpha=\dfrac{\Delta \omega}{\Delta t}) |
| Desplazamiento | \(s=v_i(t_f-t_i)+\frac{1}{2}a(t_f-t_i)^2\) | \(\theta=\omega_i(t_f-t_i)+\frac{1}{2}\alpha(t_f-t_i)^2\) |
| \(v_f^2-v_i^2=2as\) | \(\omega_f^2-\omega_i^2=2\alpha\theta\) |
Un ventilador está parado con un desplazamiento angular de 90 grados (\(\frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad}\)). Cuando el ventilador se enciende en \(t=0,\mathrm{s}), empieza a girar con una aceleración angular de \(2\pi,\mathrm{rad/s}^2). Halla la velocidad angular y el desplazamiento angular del ventilador en \(t=3,\mathrm{s}\).
Para hallar la velocidad angular del ventilador, podemos reordenar la ecuación cinemática angular para la aceleración:
\[\alpha=\dfrac{\omega_f-\omega_i}{t_f-t_i}\]
por lo que
\[\omega_f=\alpha(t_f-t_i)+\omega_i\]
Por tanto, la velocidad angular \(\omega_f\) del ventilador después de acelerar es
\[\omega_f=2\pi\,\mathrm{\tfrac{rad}{s^2}}\times (3\,\mathrm{s}-0\,\mathrm{s})+0\,\mathrm{\tfrac{rad}{s}}=6\pi,\mathrm{\tfrac{rad}{s}}\]
Para hallar el desplazamiento angular del ventilador tras acelerar durante 3 segundos, podemos utilizar la ecuación del desplazamiento:
\[\begin{align}\theta &=\omega_i(t_f-t_i)+\frac{1}{2}\alpha(t_f-t_i)^2=\\&=0\,\mathrm{\tfrac{rad}{s}}\times (3\,\mathrm{s}-0\,\mathrm{s})+\frac{1}{2}\times 2\pi\,\mathrm{\tfrac{rad}{s^2}}\times (3\,\mathrm{s}-0\,\mathrm{s})^2=\\&=9\pi\,\mathrm{rad}\end{align}\]
Esto nos da la cantidad de desplazamiento que se produjo durante el periodo de tiempo, así que para hallar el desplazamiento actual tenemos que añadir el desplazamiento angular inicial de \(\frac{pi}{2},\mathrm{rad}\). Por tanto, el desplazamiento angular del ventilador a los 3 segundos es \(9,5\pi,\mathrm{rad}\). Sin embargo, como sólo hay \(2\pi,\mathrm{rad}\) en una rotación completa, este desplazamiento puede simplificarse a \(1,5\,\mathrm{rad}\), equivalente a un ángulo de \(270^\circ\).
Aceleración angular - Puntos clave
- La aceleración angularα es el equivalente rotacional de la aceleración lineal. Mientras que la aceleración lineal describe el índice de cambio de la velocidad lineal, la aceleración angular es el índice de cambio de la velocidad angular \(\omega\).
- La aceleración angularse define en unidades SI de radianes por segundo al cuadrado (\(\mathrm{rad/s^2}\)).
- Para hallar la aceleración angular de un objeto, dividimos el cambio en la velocidad angular por el cambio en el tiempo. Esto da un cambio medio de la velocidad angular por segundo, que es la aceleración angular.
- La convención establece que una aceleración angular positiva aumenta la velocidad de rotación en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras que una aceleración angular negativa actúa aumentando la rotación en el sentido de las agujas del reloj.
- Al estudiar el movimiento circular, la unidad estándar para tratar los ángulos es el radián. Un giro completo de \(360^\c\) contiene \(2\pi\) radianes, lo que significa que un radián equivale a \(57,3\) grados.
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