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Figura 1: Los airbags utilizan los conceptos de impulso y momento para ayudar a salvar vidas en las colisiones de automóviles.
Impulso angular
Antes de sumergirnos en el impulso angular, debemos tratar un tema relacionado, el momento. Momento es una cantidad vectorial asociada a los objetos en movimiento. Puede ser lineal o angular, dependiendo del movimiento de un sistema. Sin embargo, para este artículo, nos centraremos en el momento angular.
El momentoangular es el producto de la velocidad angular y la inercia rotacional.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición es $$L=I\omega$$ donde \( \omega \) es la velocidad angular medida en \( \mathrm{\frac{rad}{s} \) y \( I \) es la inercia medida en \( \mathrm{kg\},m^2}. \) El momento angular tiene unidades SI de \( \mathrm{kg\frac{m^2}{s} \).
Observa que esta fórmula sólo puede utilizarse cuando el momento de inercia es constante. Si el momento de inercia no es constante, tenemos que ver qué está causando el movimiento de rotación, que sabemos que es el par, el equivalente angular de la fuerza.
El par es la cantidad de fuerza aplicada a un objeto que hace que gire alrededor de un eje.
La ecuación del par puede escribirse de la misma forma que segunda ley de Newton, \ ( F= ma, \) y se expresa como \( \tau=I\alpha, \) donde \( I \) es el momento de inercia y \( \alpha \) es la aceleración angular.
Como el momento angular corresponde al movimiento de rotación, movimiento asociado a objetos que se desplazan en una trayectoria circular alrededor de un eje fijo, el impulso angular también corresponde a este tipo de movimiento.
Definición de impulso angular
El impulso angular, una cantidad vectorial, describe cómo el par, el análogo rotacional de la fuerza, afecta a un sistema con respecto al tiempo.
El impulsoangular se define como el producto del par, ejercido sobre un objeto o sistema rígido, a lo largo de un intervalo de tiempo.
Fórmula del impulso angular
La fórmula matemática correspondiente a la definición de impulso angular es
$$Delta \vec{J_{rot}= \int_{t_o}^{t}\vec{\tau}(t)dt,$$
que puede simplificarse a
$$J=\tau\Delta{t},$$ cuando \( \tau \) no varía con el tiempo.
Observa que \( \tau \) es el par medido en \( \mathrm{Nm} \) y \( t \) es el tiempo medido en \( \mathrm{s}. \)
Unidad SI del impulso angular
La unidad SI del impulso angular es el Newton-segundo, que se abrevia como \( \mathrm{Nm\,s}. \)
Teorema del impulso-momento
El impulso y el momento están relacionados por el teorema del impulso-momento. Este teorema afirma que el impulso aplicado a un objeto es igual al cambio de momento del objeto. Para el movimiento de rotación, esta relación se describe mediante la ecuación \( J=\Delta{L}. \) Sin embargo, debemos recordar que, aunque estén relacionados por este teorema, cada uno representa una cantidad descrita por definiciones y fórmulas distintas. El impulso angular se refiere al cambio en el momento de un objeto, mientras que el momento angular se refiere al producto del momento de inercia y la velocidad angular de un objeto.
Momento, impulso y segunda ley del movimiento de Newton
La segunda ley del movimiento de Newton puede derivarse de la relación impulso-momento. Para completar esta derivación, debemos utilizar las ecuaciones correspondientes al teorema del impulso-momento junto con las fórmulas individuales del momento y el impulso. Derivemos la segunda ley de Newton para el movimiento de rotación partiendo de la ecuación \( J=\Delta{L} \) y reescribiéndola como \( \tau\Delta{t}=I\Delta{\domega} \).
$$\begin{align}J&=\Delta{L}\\\tau\Delta{t}&=\Delta{L}\\\tau\Delta{t}&=I\Delta{\omega}\\\tau&=\frac{I\Delta{\omega}}{\Delta{t}}\\\end{align}$$
Asegúrate de reconocer que \( \frac{\Delta{omega}}{\Delta{t}}) es la definición de aceleración angular, por lo que la ecuación puede escribirse como
que sabemos que es la segunda ley de Newton en forma angular. Como resultado de esta relación, podemos definir el par en términos de momento. El par es la velocidad a la que cambia el momento angular de un objeto con respecto al tiempo.
Importancia del Teorema Impulso-Momento
El teorema impulso-momento es importante porque podemos establecer conexiones entre cómo actúan las fuerzas sobre un objeto y cómo esto afecta al movimiento de un objeto. Algunas aplicaciones de este teorema en la vida real son la determinación de las distancias de frenado y seguimiento seguras de los vehículos y el diseño de equipos contra incendios, como las grandes redes y los colchones hinchables gigantes que utilizan los bomberos. Sin embargo, en el mundo real, como las fuerzas no siempre son constantes, las cosas son más complejas sin este teorema. Por ejemplo, las fuerzas no constantes causadas por las personas y los motores. Como todas las personas y motores están construidos de forma diferente, hay quetener en cuenta varios factores , ya que influyen directamente en la fuerza total. En consecuencia ,determinar cómo influirían varios factores en la fuerza global sería bastante difícil si no fuera por este teorema.
Fallos del teorema del impulso-momento
El teorema del impulso-momento no falla debido al concepto fundamental de conservación del momento. La conservación del momento afirma que el momento se conserva, ya que no puede crearse ni destruirse, sino que sólo cambia como resultado de las fuerzas. Por ejemplo, consideremos una colisión entre dos objetos. Según la conservación del momento, sabemos que las fuerzas que actúan sobre los objetos serán iguales y de sentido opuesto durante un intervalo de tiempo determinado. Se deduce entonces que el impulso de los objetos también será igual en magnitud y opuesto en dirección. Por tanto, aplicando el teorema, se puede concluir que los objetos también deben sufrir cambios de momento iguales y opuestos,
Ejemplos de impulso y momento angulares
Para resolver problemas de impulso y momento, las ecuaciones de impulso angular y momento angular pueden aplicarse a distintos problemas. Como ya hemos definido el impulso angular y el momento angular, vamos a trabajar con algunos ejemplos para comprender mejor el impulso y el momento. Ten en cuenta que antes de resolver un problema, debemos recordar siempre estos sencillos pasos:
- Lee el problema e identifica todas las variables que aparecen en él.
- Determina qué pide el problema y qué fórmulas se necesitan.
- Aplica las fórmulas necesarias y resuelve el problema.
- Haz un dibujo si es necesario para proporcionar una ayuda visual.
Ejemplos
Apliquemos nuestros nuevos conocimientos a algunos ejemplos.
Una masa puntual de \( 17,3\, \mathrm{kg}\) que gira alrededor de un eje, con un radio de \ ( 0,88\,\mathrm{m}, \) tiene una velocidad angular de \ ( 2,3\,\mathrm{\frac{rad}{s}. \) Calcula su momento angular. Sila masa puntual estaba inicialmente en reposo, calcula su impulso angular. Ten en cuenta que el momento de inercia de una masa puntual viene dado por \( I=mr^2.\)
Según el problema, se nos dan las siguientes cantidades
- masa
- velocidad
- radio
Por tanto, aplicando la fórmula del momento angular,\( L=I\omega, \) nuestros cálculos serán los siguientes.
\begin{align}L&=I\omega\\L&=(mr^2)\omega\\L&=(17.3\,\mathrm{kg})(0.88\,\mathrm{m})^2\left(2.3\,\mathrm{\frac{rad}{s}}\right)\\L&=30.81\,\mathrm{kg\,\frac{m^2}{s}}\\\end{align}
Aplicando ahora la fórmula del impulso angular, nuestros cálculos son los siguientes
\begin{align}J&=\Delta{L}\\J&=L-L_o\\J&= 30.81- 0\\J&=30.81\,\mathrm{Ns}\\\end{align}
Observa que un impulso positivo significa que la fuerza neta es en sentido positivo.
Intentemos un ejemplo un poco más difícil.
Una \( 5,6, \mathrm{kg} \) con un radio de \( 0,31,\mathrm{m}, \) está girando con unavelocidad angular de \( 1,8,\mathrm{frac{rad}{s}. \) Calcula su momento angular. Calcula cuánto par se ejerce sobre la bola después de \( 8\,\mathrm{s}. \) Ten en cuenta que el momento de inercia de una esfera sólida, que representa a la bola, viene dado por \( I=\frac{2}{5}mr^2.\)
Figura 3: Una bola que gira alrededor de un eje.
A partir del problema, se nos dan las siguientes cantidades
- masa
- velocidad
- radio
- tiempo
Por tanto, aplicando la fórmula del momento angular,\( L=I\omega, \) nuestros cálculos serán los siguientes.
\begin{align}L&=I\omega\\L&=\left(\frac{2}{5}mr^2\right)\omega\\L&=\left(\frac{2}{5}(5.6\,\mathrm{kg})(0.31\,\mathrm{m})^2\right)\left(1.8\,\mathrm{\frac{rad}{s}}\right)\\L&=0.4\,\mathrm{kg\,\frac{m^2}{s}}\\\end{align}
Aplicando ahora la fórmula del par, nuestros cálculos son los siguientes.
\begin{align}\tau&=\frac{I\Delta{\omega}}{\Delta{t}}=\frac{L}{t}\\\tau&=\frac{0.4\,\mathrm{\frac{kg\,m^2}{s}}}{8\,\mathrm{s}}=0.05\,\mathrm{Nm}.\\\end{align}
Impulso angular - Puntos clave
- El impulso es una magnitud vectorial.
- El impulsoangular se define como el producto del par, ejercido sobre un objeto o sistema rígido, a lo largo de un intervalo de tiempo.
- La fórmula matemática del impulso angular es \( \Delta \vec{J_{rot}= \int_{t_o}^{t}\vec{\tau}(t)dt. \)
- El impulso angular se mide en Newton-segundos.
- El impulsoy el momento están relacionados por el teorema del impulso-momento.
- El momento angular se define como el producto del momento de inercia de un objeto por la velocidad angular.
- El impulso angular es el resultado del momento de inercia.
- El teorema del impulso-momento es importante porque podemos establecer conexiones entre cómo actúan las fuerzas sobre un objeto y cómo esto afecta al movimiento de un objeto.
- El teorema impulso-momento no falla debido al concepto fundamental de conservación del momento.
- El impulso angular y el momento angular no son lo mismo.
Referencias
- Figura 1: Airbags y colisiones (https://www.pexels.com/photo/red-and-yellow-hatchback-axa-crash-tests-163016/) de Pixabay (https://www.pexels.com/@pixabay/) tiene licencia CC0 1.0 Universal (CC0 1.0).
- Figura 2: Masa puntual- StudySmarter Originals
- Figura 3: Bola giratoria- StudySmarter Originals
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