Inercia Rotacional

Definición de inercia rotacional

Empezaremos definiendo la inercia.

Normalmente medimos la inercia con la masa, lo cual tiene sentido; ya tienes una comprensión conceptual de la inercia porque sabes que las cosas más pesadas son más difíciles de mover. Por ejemplo, una roca muestra más resistencia al movimiento que un trozo de papel. Pero, ¿qué ocurre si el objeto no se mueve sobre una línea, sino que gira? Entonces, tenemos que hablar deinercia rotacional.

En cierto sentido, la masa es la forma en que "medimos" la inercia. Pero la experiencia nos dice que girar sobre una silla puede ser más fácil o más difícil según cómo nos coloquemos sobre ella. Por tanto, la inercia rotacional está relacionada con la masa y con dónde se distribuye esa masa relativamente al eje de rotación.

Además, aunque antes nos hemos referido a un objeto, un término más adecuado es sistema rígido.

Por ejemplo, podrías empujar un trozo de gelatina, y todo podría permanecer conectado, pero podría doblarse fuera de su sitio en algunos puntos; esto no es un sistema rígido. Mientras que alguien podría empujar una maqueta improvisada del sistema solar de 3º de primaria contra un planeta como Júpiter, y lo único que haría sería girar: su forma no cambiaría, los planetas seguirían todos alineados alrededor del sol, y sólo habría girado un poco.

Fórmulas de inercia rotacional

Expresamos matemáticamente la inercia rotacional teniendo en cuenta la masa y cómo se distribuye esa masa alrededor del eje de rotación para una sola partícula:

$$I=mr^2$$

donde \(I\) es la inercia rotacional, \(m\) es la masa, y \(r\) es la distancia desde el eje al que gira perpendicularmente el objeto.

Fig. 2 - Esta imagen muestra la vista superior y vertical de los parámetros de la fórmula de la inercia rotacional. Observa cómo \(r\) es la distancia desde el eje de rotación.

Suma de inercias rotacionales

La inercia rotacional total de un sistema rígido se halla sumando todas las inercias rotacionales individuales de las partículas que forman el sistema; la expresión matemática

$$I_\text{tot} = \suma I_i = \suma m_i r_i ^2,$$

transmite este concepto donde \(I_\text{tot}\) es la inercia rotacional total, \(I_i\) es cada valor de la inercia rotacional de cada objeto, y \(m_i\) y \(r_i\) son cada valor de la masa y la distancia al eje de rotación de cada objeto.

Inercia rotacional de un sólido

Aplicando integrales, podemos calcular la inercia rotacional de un sólido compuesto por muchas masas diferenciales diferentes \(\mathrm{d}m\).

$$I=\int r^2 \mathrm{d}m$$

es la ecuación que podemos utilizar, con \(\mathrm{d}m\) como cada trocito de masa y \(r\) como la distancia perpendicular de cada \(\mathrm{d}m\) al eje sobre el que gira el sólido.

Inercia rotacional y sistemas rígidos

A medida que la masa se acerca al eje de rotación, nuestro radio \(r\) se hace más pequeño, disminuyendo drásticamente la inercia rotacional porque \(r\) está elevado al cuadrado en nuestra fórmula. Esto significa que un aro con la misma masa y tamaño que un cilindro tendría más inercia rotacional porque una mayor parte de su masa está situada más lejos del eje de rotación o centro de masa.

Uno de los conceptos clave que debes aprender sobre la inercia rotacional es que la inercia rotacional de un sistema rígido en un plano dado es mínima cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa del sistema. Y si conocemos el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masa, podemos hallar el momento de inercia respecto a cualquier otro eje paralelo a él utilizando el siguiente resultado.

Veamos un ejemplo.

Ejemplos de inercia rotacional

Vale, hemos hablado y explicado mucho pero aplicado poco, y sabemos que en física necesitas mucha aplicación. Así que vamos a hacer algunos ejemplos.

Ejemplo 1

En primer lugar, haremos un ejemplo utilizando la fórmula

$$I=mr^2\mathrm{.}$$

¿Qué dificultad habría para hacer girar una bola de inercia de \(5,00,\mathrm{kg}) que está unida por una cuerda de \(0,50,\mathrm{m}) a un poste central? (Supongamos que la cuerda no tiene masa).

Halla la inercia rotacional de la bola de sujeción para ver lo difícil que sería moverla.

Fig. 4 - Podemos hallar la inercia rotacional de la bola en el extremo de la cuerda de la bola de sujeción.

Recuerda nuestra ecuación de inercia de rotación,

$$I=mr^2\mathrm{,}$$

y utilízala para introducir los valores

$$m=5.00\,\mathrm{kg}$$

y

r &= 0,50$,\mathrm \\ I &= 5.00,\mathrm{kg}(0.50,\mathrm{m})^2 \final{align*}$$

dándonos una respuesta de

$$I=1.25\,\mathrm{kg\,m^2.}$$

Por tanto, la bola tendría $(1,25\,\mathrm{kg\,m^2})$$dificultad para girar. Puede que te resulte extraño oírlo, porque nunca hablamos de que las cosas sean difíciles de mover con ese tipo de unidad. Pero, en realidad, así es como funcionan la inercia rotacional y la masa. Ambas nos dan una medida de cuánto se resiste algo al movimiento. Por lo tanto, no es inexacto decir que un peñasco es \(500\,\mathrm{kg}\) difícil de mover o que una bola de atar es \(1,25\,\mathrm{kg}\,m^2}) difícil de girar.

Ejemplo 2

Ahora, utilicemos nuestros conocimientos sobre la inercia rotacional y las sumas para resolver el siguiente problema.

Inercia rotacional de un disco

Podemos calcular la inercia rotacional de un disco utilizando nuestra ecuación de inercia rotacional normal, pero con un \(\frac{1}{2}\\\) delante.

$$I_\text{disk}=\frac{1}{2}\\mr^2.$$

Aplicaciones de la inercia rotacional

¿Cómo se relacionan todas nuestras fórmulas? ¿Cómo podemos utilizar nuestros conocimientos para demostrar realmente algo? La siguiente profundización tiene una derivación que responderá a estas preguntas. Probablemente esté fuera del alcance de tu curso de Física C: Mecánica AP.

Se puede obtener la fórmula de la inercia rotacional de un disco aplicando integrales. Recordemos la ecuación

$$I=\int r^2 \mathrm{d}m\mathrm{,}$$

que describe la inercia rotacional de un sólido compuesto por muchos elementos diminutos diferentes de masa \(\mathrm{d}m\).

Si tratamos nuestro disco como muchos anillos infinitamente finos diferentes, podemos sumar la inercia rotacional de todos esos anillos para obtener la inercia rotacional total del disco. Recuerda que podemos sumar elementos infinitamente pequeños mediante integrales.

Suponiendo que la masa esté distribuida uniformemente, podemos hallar la densidad superficial dividiendo la masa entre el área \(\frac{M}{A}\). Cada uno de nuestros diminutos anillos tendría una longitud de \(2\pi r\) y una anchura de \(\mathrm{d}r\), por tanto \(\mathrm{d}A = 2\pi r \mathrm{d}r\).

Sabemos que el cambio de la masa con respecto a la superficie \(\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}A}) es \(\frac{M}{A}\}) y también sabemos que \(A=\pi R^2,\) donde \(R\) es el radio de todo el disco. Entonces podemos utilizar estas relaciones

$$\frac{M}{\textcolor{#00b695}{A}}\\=\frac{\mathrm{d}m}{\textcolor{#56369f}{\mathrm{d}A}}\\$$

$$\frac{{M}{textcolor{#00b695}{{pi R^2}} = \frac{{mathrm{d}m}{textcolor{#56369f}{2\pi r \mathrm{d}r}}\$$

aislando \(\mathrm{d}m\):

$$\begin{aligned}\mathrm{d}m &= \frac{2M\pi r \mathrm{d}r}{\pi R^2}[8pt] \mathrm{d}m &= \frac{2M r \mathrm{d}r}{ R^2} \end{aligned}$$

Ahora que conocemos \(\mathrm{d}m\), podemos introducirlo en nuestra ecuación integral

$$I=int r^2 \mathrm{d}m$$

para obtener

$$I=\int r^2\frac{2M r \mathrm{d}r}{ R^2}\mathrm{.}$$

Integramos desde \(0\) hasta \(R\),

$$I=\frac{2M}{R^2}\int_0^R r^3 \mathrm{d}r\mathrm{,}$$

porque queremos ir desde el centro del disco \(r=0\) hasta el mismo borde, o sea, el radio de todo el disco \(r=R\). Tras integrar y evaluar en el correspondiente \( r-\text{valores} \) obtenemos:

$$I=\frac{2M}{R^2}\frac{R^4}{4}\\ - 0,$$

Si simplificamos la expresión anterior, obtenemos la ecuación de la inercia rotacional de un disco:

$$I=\frac{1}{2}\\MR^2\mathrm{.}$$

La derivación anterior muestra la utilidad de la inercia rotacional y sus diversas fórmulas. ¡Ahora ya estás preparado para enfrentarte al mundo! Ya estás preparado para enfrentarte a la inercia rotacional y a cosas como el par y el movimiento angular. Si alguna vez te metes en una competición de giros de sillas de oficina, ya sabes cómo ganar, sólo tienes que poner tu masa más cerca del eje de rotación, ¡así que mete esos brazos y piernas!