Líneas Equipotenciales

Reglas de las líneas equipotenciales

Dado un conjunto de líneas equipotenciales para un campo, hay una serie de propiedades de ese campo que pueden determinarse analizando las líneas equipotenciales. Por ejemplo, considera la definición del campo eléctrico como el gradiente negativo del potencial

\[E(x)=-\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x}.\]

Como el potencial es constante en todas partes a lo largo de una línea equipotencial, \(\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x}=0\) en todas partes a lo largo de la línea, lo que implica que no hay componente del campo eléctrico a lo largo de una línea equipotencial. Esto sólo puede ser así si las líneas equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico en todos los puntos. Saber esto nos permite construir las líneas de campo si nos dan las líneas equipotenciales y viceversa, como veremos más adelante al examinar más de cerca algunos ejemplos.

Esta relación entre líneas de campo y líneas equipotenciales nos da una definición de las líneas de campo eléctrico en términos de potencial. Las líneas de campo eléctrico se dirigen siempre de modo que sean perpendiculares a las líneas equipotenciales y apunten en la dirección del potencial reductor. También podemos decir algo sobre la magnitud de un campo eléctrico basándonos únicamente en sus líneas equipotenciales. Cada equipotencial indica un valor del potencial en una región, por lo que la separación de las líneas equipotenciales es una representación visual del gradiente del potencial. Cuanto más cerca estén unas de otras las líneas equipotenciales, mayor será el gradiente. Como la magnitud del campo eléctrico es equivalente al gradiente del potencial, vemos que la separación de las líneas equipotenciales indica la fuerza del campo eléctrico en una región.

Utilicemos estas reglas que hemos expuesto, para analizar la línea equipotencial de algunos campos eléctricos clave.

Líneas equipotenciales para una sola carga positiva

El ejemplo fundamental de campo eléctrico es el de una sola carga, en este caso consideraremos una carga positiva. La intensidad de campo eléctrico de un campo que emana de una sola carga \(q\) sigue la Ley de Coulomb\[E(r)=\frac{kQ}{r^2},\]

donde \(k=9\veces10^9,\mathrm{N},\mathrm{m}^2,\mathrm{C}^{-1}\) es una constante fundamental conocida como constante de Coulomb. La ley de Coulomb nos dice que el campo eléctrico alrededor de una carga puntual varía con la distancia radial desde la carga. Las líneas de campo eléctrico de un campo radial, como se ve en la Figura 2, se extienden desde un único punto, y están mucho más juntas a pequeñas distancias de la carga y mucho menos densas a mayor distancia. Esto muestra cómo disminuye la intensidad del campo alejándose de la carga.

Fig. 2 - Una única carga positiva produce líneas de campo que se extienden radialmente hacia fuera desde la carga fuente. Observa que las líneas de campo están más juntas cerca de la carga, ya que el campo es más intenso y está más cerca de la fuente.

Podemos construir las líneas equipotenciales para este campo utilizando las reglas que expusimos en el apartado anterior. Como las líneas equipotenciales deben ser perpendiculares a las líneas de campo en todas partes, deben ser círculos de radio fijo, que aumenta cuanto más nos alejamos de la carga. Esto puede verse como una consecuencia de la simetría radial del campo, los puntos a igual distancia radial de la carga tienen el mismo campo y potencial.

Estas líneas equipotenciales pueden verse en la figura 3.

Fig. 3 - Las líneas equipotenciales, o isolíneas, de un campo eléctrico radial, son círculos concéntricos de radios crecientes. Estos círculos son perpendiculares en todas partes a las líneas de campo.

Esto puede verse matemáticamente integrando el campo eléctrico para hallar\[\begin{align}V&=-\int \frac{kQ}{r^2}\mathrm{d}r\&=\frac{kQ}{r}+C.\end{align}]

donde \(C\) es sólo la elección del potencial de referencia y puede tomarse como cero. Por tanto, el potencial también varía radialmente, y así las líneas equipotenciales son trayectorias de radio fijo desde la carga, como vimos en la figura 3.

Líneas equipotenciales de un dipolo

Un dipolo eléctrico se refiere a un sistema de dos cargas opuestas separadas por cierta distancia. Por ejemplo, un simple átomo de hidrógeno es un dipolo eléctrico formado por un electrón cargado negativamente que orbita alrededor de un protón cargado positivamente. La fuerza entre un dipolo se define de nuevo mediante la Ley de Coulomb como\[F=\frac{kq_1q_2}{r^2}.\]

Sin embargo, también podemos considerar el efecto de este dipolo sobre una tercera carga de prueba estableciendo las líneas de campo alrededor de un dipolo. Observa que el campo eléctrico es una cantidad aditiva. Esto significa que el campo eléctrico total de un dipolo viene dado por la suma de los campos eléctricos de cada carga. Utilizando lo que sabemos sobre las cargas simples del apartado anterior, el campo eléctrico alrededor de un dipolo es

Fig. 4 - Dos cargas \(q_1,q_2\) se combinan para formar un dipolo eléctrico. La fuerza entre ellas viene determinada por la distancia \(r\), mientras que el campo eléctrico que las rodea viene determinado por ambas \(r_1,r_2\).

\[E(r_1,r_2)=\frac{kq_1}{r_1^2}+\frac{kq_2}{r_2^2}.\]

Donde \(r_1\) es la distancia a \(q_1\) y \(r_2\) es la distancia a \(q_2). Si consideramos el sencillo ejemplo de dos cargas de igual magnitud \(q\) pero signos opuestos, como el átomo de hidrógeno, entonces esto se simplifica a\[E(r_1,r_2)=kq\left(\frac{1}{r_1^2}-\frac{1}{r_2^2}right). \]

Este campo eléctrico produce las líneas de campo que se muestran en la figura 5.

Fig. 5 - Las líneas de campo eléctrico alrededor de un dipolo se muestran en negro, mientras que las líneas equipotenciales se muestran en verde.

Observa cómo las líneas de campo eléctrico ya no son radialmente simétricas, sino que forman un bucle cerrado, de modo que cada línea de campo comienza en la carga positiva y termina en la carga negativa. De este modo, la carga positiva es una fuente de líneas de campo, y la carga negativa es un sumidero.

Las líneas equipotenciales del dipolo también pueden verse en la figura 5, mostradas en verde. Esta vez, son trayectorias elípticas alrededor de cada carga, que ya no son circulares debido a la influencia de la otra carga. También hay una línea equipotencial de cargas nulas a lo largo de la línea \(r_1=r_2\), como se deduce del hecho de que el potencial sigue la ecuación\[V(r_1,r_2)=kq\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}right).\].

Líneas equipotenciales de placas paralelas

Para el último ejemplo de campo eléctrico, veremos las líneas equipotenciales entre placas paralelas. El campo entre placas paralelas es muy distinto del de una carga simple o dipolo, ya que se trata de un Campo Eléctrico Uniforme .

El hecho de que la intensidad del campo eléctrico sea constante en todas partes se representa mediante líneas de campo paralelas entre sí y espaciadas uniformemente. La razón de esta uniformidad puede verse en la figura 6. Si consideramos que las placas paralelas están formadas por una hilera de cargas puntuales individuales, se deduce que cualquier componente vertical de las líneas de campo, es decir, que apunte paralelamente a la superficie de la placa, quedará anulada por las líneas de campo de las cargas puntuales vecinas. Por tanto, lo único que queda es un conjunto de líneas de campo paralelas y uniformemente espaciadas, que van de la placa positiva a la otra.

Fig. 6 - El campo eléctrico entre placas paralelas está formado por líneas de campo paralelas espaciadas uniformemente, como puede verse considerando las placas como una columna de cargas puntuales.

Las líneas equipotenciales en un campo uniforme son especialmente sencillas de hallar, ya que, dado que deben ser perpendiculares a las líneas de campo, se deduce que también son un conjunto de líneas mutuamente paralelas equivalentes a las líneas de campo pero giradas en \(90^{circ}\). Como la intensidad del campo eléctrico es constante, también lo es el gradiente del potencial, por lo que la separación de las líneas equipotenciales es constante. Utilizando estas propiedades, podemos construir fácilmente las líneas equipotenciales, como se muestra en la figura 7.

Fig. 7 - Las líneas equipotenciales en un campo uniforme son líneas paralelas espaciadas uniformemente, muy parecidas a las líneas de campo, pero simplemente giradas \(90^{circ}\},\}{mathrm{deg}\}).