Potencial Eléctrico Debido al Dipolo

Potencial debido a un dipolo en cualquier punto

Antes de calcular el potencial eléctrico debido a un dipolo eléctrico en un punto, es esencial comprender qué es un potencial eléctrico y un dipolo eléctrico individualmente. Empecemos por un dipolo eléctrico.

La medida de la fuerza de un dipolo eléctrico viene dada por el momento dipolar \(\vec{p}\). Es una cantidad vectorial cuya dirección va de la carga negativa a la positiva a lo largo de la longitud del dipolo.

Consideremos dos cargas puntuales \(+q\) y \(-q\) separadas por una cierta distancia, digamos \(2a\).

Fig. 2 - El momento dipolar eléctrico de un dipolo eléctrico apunta desde una carga negativa \(-q\) hacia una carga positiva \(+q\).

La magnitud del momento dipolar eléctrico de un dipolo mostrado en el diagrama es [\left|\\vec{p}\right|=2qa,\] y su unidad SI es el culombímetro \(\left(\mathrm{C\,m}\right)\).

Aprendamos ahora qué es un potencial eléctrico y por qué es importante conocer el potencial eléctrico debido a un dipolo.

Un potencial eléctrico determina la dirección del flujo de carga. Una carga eléctrica positiva siempre acelera desde un potencial alto hacia un potencial bajo. El flujo de carga se detiene en cuanto el gradiente de potencial se hace cero.

Imagina una carga puntual \(+q\) en un punto O. El potencial eléctrico en el punto que está a una distancia de \(r\) del punto O es la cantidad de trabajo que se realiza al desplazarse por unidad de carga positiva para moverla desde el infinito hasta el punto P contra la fuerza electrostática de repulsión:\[V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}.\}

Fig. 3 - El potencial electrostático en el punto P nos dice cuánto trabajo hay que hacer para mover una carga positiva unitaria de \(+1\,\mathrm{C}\) desde el infinito hasta el punto P contra la fuerza electrostática de repulsión debida a la carga puntual \(+q\).

Un punto infinito se considera un punto de referencia en el que el valor del potencial eléctrico es cero. La carga positiva unitaria que se muestra en la figura 3 se desplaza desde un potencial cero hasta algún valor positivo de potencial.

Todo en el mundo real está hecho de materia, y la materia contiene átomos o moléculas que son eléctricamente neutros. Una molécula tiene un núcleo cargado positivamente y electrones cargados negativamente. Si el centro de cargas positivas no coincide con el centro de cargas negativas, la molécula se comporta como una molécula polar, un dipolo eléctrico. El espacio alrededor del cual puede experimentarse el efecto eléctrico de un dipolo se denomina campo dipolar. Cuando se coloca una carga en este espacio, experimenta una fuerza eléctrica.

En la siguiente parte, deduciremos la fórmula del potencial eléctrico debido a un dipolo.

Derivación del potencial eléctrico debido a un dipolo

Imagina dos cargas iguales y distintas \(-q\) y \(+q\) separadas por una distancia \(2a\). El momento dipolar de este dipolo eléctrico es \(\left|\\vec{p}\right|=q2a\). Sea P un punto de observación en el que calcularemos el potencial eléctrico debido a este dipolo eléctrico.

Fig. 4 - La figura muestra un punto de observación P a una distancia de \(r\) del centro de un dipolo, es decir, el punto O, tal que su vector de posición forma un ángulo de \(\theta\) con la longitud del dipolo.

A partir del diagrama anterior,

1. El vector de posición de P desde el centro del dipolo es \(\vec{text{OP}}=\vec{r}\),

2. \(\ángulo \texto{OP}}=\eta),

3. La distancia de P a los extremos del dipolo, es decir, A y B, es \(\text{AP}=r_1\) y \(\text{BP}=r_2\).

El potencial eléctrico en el punto P debido a una carga \(-q\) en el punto A es \[V_1=-\frac{q}{4\pi\epsilon_0r_1}\tag{1}] Análogamente, el potencial eléctrico en el punto P debido a una carga \(+q\) en el punto B es \[V_2=-\frac{q}{4\pi\epsilon_0r_2}.\tag{2}\] Utilizando el principio de superposición, el potencial eléctrico en el punto P debido a las dos cargas en los puntos A y B es \[V=V_1+V_2.\] Sustituyendo los valores de las ecuaciones (1) y (2) en la ecuación anterior, \[\begin{align*}V&=-\frac{q}{4\pi\epsilon_0r_1}+\frac{q}{4\pi\epsilon_0r_2}V&=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}{\left(-\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right)}\\ xml-ph-0000@deepl.internal V&=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}{\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right)}.\tag{3}\end{align*}]

Esta ecuación da el valor del potencial eléctrico debido a un dipolo. En la siguiente parte, obtendremos la fórmula del potencial eléctrico debido a un dipolo, que puede utilizarse en el caso axial (cuando el punto de observación está en la línea paralela a la longitud del dipolo) y ecuatorial (cuando la observación está en la línea perpendicular a la longitud del dipolo).

Fórmula del potencial eléctrico debido a un dipolo

Ahora hemos establecido nuestra ecuación para el potencial eléctrico de un dipolo como

\V = frac{p} {4 \pi \epsilon_0 r^2} {cos{left(\theta\right)},\tag{9]

donde \(p\) es el momento dipolar eléctrico medido en \(\mathrm{C \, m}\), \(V\) es el potencial eléctrico medido en unidades de voltios \(\mathrm{V}\), \(\epsilon_0\) es la permitividad del espacio libre con un valor de \( 8.85 \times 10^{-12} \mathrm{\frac{F}{m}}), y \(\theta) es el ángulo entre el punto y el dipolo medido en \(\mathrm{rads}\).

Potencial eléctrico debido a un dipolo en una línea axial

Imagina un punto de observación P sobre la recta, que pasa por ambos extremos del dipolo.

Fig. 5 - Punto de observación P sobre la recta que pasa por ambos extremos de un dipolo tal que el ángulo entre el vector de posición de P desde el centro del dipolo y la longitud del dipolo es \(0^\circ\).

Como el ángulo entre OP y AB es \(0^\\circ\), por tanto, el potencial eléctrico debido a un dipolo en el punto P, en este caso, es \[\begin{align*}V_{\mathrm{axial}}&=\frac{p}{4\pi\epsilon_0r^2}\cos{0^\circ}\\ xml-ph-0000@deepl.internal V_{\mathrm{axial}}&=\frac{p}{4\pi\epsilon_0r^2} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\] or \[V_{\mathrm{axial}}=\frac{q2a}{4\pi\epsilon_0r^2}.\] Esta ecuación anterior da un potencial eléctrico debido a un dipolo en la línea axial.

La ecuación muestra que

1. el potencial eléctrico debido a un dipolo es máximo en la línea axial,

2. el potencial eléctrico varía inversamente con el cuadrado de la distancia de un punto de observación al centro del dipolo,

3. el potencial eléctrico varía directamente con la longitud del dipolo,

4. el potencial eléctrico varía directamente con la intensidad de la carga a ambos lados del dipolo.

Potencial eléctrico debido a un dipolo en una línea ecuatorial

Imagina que un punto de observación P está en la línea perpendicular a la longitud del dipolo.

Fig. 6 - Punto de observación P en la línea perpendicular a la longitud de un dipolo eléctrico tal que el ángulo entre su vector de posición desde el centro del dipolo y la longitud del dipolo es \(90^\circ\)

Según la figura anterior, el ángulo entre OP y AB es \(90^\circ\). Por tanto, el potencial eléctrico debido a un dipolo en el punto P, en este caso, es [\begin{align*}V_{mathrm{eq}&=\frac{p}{4\pi\epsilon_0r^2}\cos{90^\circ}\V_{mathrm{eq}&=0\end{align*}]. La ecuación anterior muestra que el potencial eléctrico debido a un dipolo en una línea ecuatorial es cero. Esto es lógico porque la distancia a cualquiera de las cargas es la misma en esta línea, por lo que el punto experimenta tensiones iguales pero opuestas debidas a estas cargas.