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Significado de las ecuaciones cinemáticas
Las ecuaciones cinemáticas son un conjunto de tres ecuaciones que describen el movimiento de los objetos sin tener en cuenta las fuerzas que provocan su movimiento. Podemos derivarlas de la segunda ley de Newton considerando el movimiento de proyectiles en presencia de un campo gravitatorio constante. Este conjunto de ecuaciones puede responder a todas las preguntas anteriores y más. Las tres ecuaciones cinemáticas son la ecuación cinemática lineal
\[v_x = v_{x0} + a_xt,\]
la ecuación cinemática cuadrática
\[x = x_0 + v_{x0}t + \frac{1}{2}a_xt^2,\]
y la ecuación cinemática independiente del tiempo
\v_x^2 = v_{x0}^2 + 2a_x(x-x_0).\]
En estas ecuaciones, \(t\) es el tiempo, \ (x\) es la posición, \ (v_x\) es la velocidad y \ (a_x\) es la aceleración. Utilizamos el subíndice \ (_0\) para denotar el valor inicial de la cantidad. Observa que, por convención, las ecuaciones cinemáticas representan el movimiento en la dirección \(x\)-. Sin embargo, son aplicables a cualquier dirección espacial.
Ecuaciones cinemáticas en aceleración constante
Estas ecuaciones sólo se aplican a situaciones en las que tenemos una aceleración constante. Este requisito significa que el índice de cambio de la velocidad es constante. Así, la velocidad parece una línea recta cuando miramos la gráfica de velocidad vs. tiempo. Observa que esto no significa necesariamente que la pendiente sea 0. De hecho, el diagrama siguiente representa una situación de aceleración constante distinta de cero:
Gráfico de velocidad frente a tiempo mostrando una aceleración constante, StudySmarter Originals
¿Puedes adivinar lo que ocurre físicamente basándote en el gráfico anterior? Nuestra velocidad empieza siendo positiva, disminuye hasta cero y pasa a ser negativa.
Uno de los ejemplos más comunes de aceleración constante es la aceleración debida al campo gravitatorio de la Tierra, donde \(a = g = -9,8 \text{m}/\text{s}^2\). El signo menos se debe a la elección de un sistema de referencia en el que la aceleración apunta hacia abajo. Otra suposición que hacemos es que la resistencia del aire es despreciable.
Aplicaciones de las ecuaciones cinemáticas
Las aplicaciones pueden ser variadas y complejas, utilizando una, dos o tres dimensiones, describiendo alguna forma de movimiento de proyectiles. Algunos ejemplos son jugar a la pelota, disparar una flecha o lanzar una pelota desde el Empire State Building. Aquí veremos el caso unidimensional más sencillo y un caso bidimensional más complicado.
Movimiento de proyectil en una dimensión
Considera nuestra pregunta anterior en la que se nos cayeron las llaves. Ignora la resistencia del aire y supone una altura de \(135\;\text{cm}\). Tus llaves caen desde el reposo en tu mano. ¿Cuánto tardan las llaves en caer al suelo?
El primer paso para resolver cualquier problema de física es dibujar un diagrama que incluya toda la información relevante.. En este caso, tenemos un diagrama bastante sencillo. Tenemos una altura \ (135; \text{cm}\ ), una velocidad inicial de \ (0 \text{m}/\text{s}\), y suponemos que la aceleración se debe a la gravedad terrestre.
Diagrama del problema de las llaves caídas, StudySmarter Originals
Ahora podemos aplicar nuestra fórmula. Ya tenemos una velocidad inicial, un desplazamiento y una aceleración. Queremos resolver el tiempo. Para ello, podemos utilizar la ecuación cinemática cuadrática:
\[x = x_0 + v_{x0}t + \frac{1}{2}a_xt^2.\]
Primero la aplicamos a nuestro movimiento en la dirección \ (y), y luego la reordenamos para obtener una ecuación del tiempo en términos de nuestras variables dadas.
\y &= v_{y0}t + \frac{1}{2}a_yt^2 \ 0 &= \frac{1}{2}a_yt^2 + v_{y0}t - y.\end{align}\]
Podemos reconocer la última recta como un caso de ecuación cuadrática. Aplica la fórmula cuadrática para resolver \(t\). Recuerda que las raíces de la fórmula cuadrática son
\[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4Ac}}{2A}]
donde \ (A\), \ (b\) y \ (c\)son nuestros coeficientes. Observa que aquí escribimos \( A\) en mayúscula para no confundir el coeficiente cuadrático con la aceleración. A continuación, podemos introducir nuestros coeficientes:
\[\begin{align}t_{1,2} &= \frac{-(v_{y0}} \pm \sqrt{(v_{y0})^2 - 4\left(\frac{1}{2}a_y\\right)(-y)}} {2{left(\frac{1}{2}a_y\right)}} &= \frac{-v_{y0} \pm \sqrt{v_{y0}^2 + 2a_yy}{a_y}[fin].
Ahora podemos introducir nuestros valores numéricos:
\t_{1,2} = \frac {-(0 \text{m}/\text{s}) \pm \sqrt{(0 \text{m}/\text{s})^2 + 2\cdot (9,8 \text{m}/\text{s}^2)(1,35 \text{m})}}{9,8 \text{m}/\text{s}^2}.\}
Simplificando lo anterior obtenemos
\t_{1,2} &= \pm \frac{{cuadrado} {26,46 \text{m}^2/text{s}^2} {9,8 \text{m}/text{s}^2} &= \pm \frac{5.14 ¾;¼text{m}/\text{s}} {9,8 ¾;¼text{m}/\text{s}^2} &= ¾pm 0,52 ¾;¼text{s}.\end{align}\]
Observa que tenemos dos soluciones: \(t_1 = -0,52 \;\text{s}) y \(t_2 = 0,52 \;\text{s}). Sin embargo, sólo una de ellas tiene sentido físico, así que descartamos el tiempo negativo y nos quedamos con nuestra respuesta.
\[\boxed{t = 0,52 \; \text{s}.}]
Nuestras llaves tardan \(0,52\) segundos en golpear el suelo. Como última comprobación, asegúrate siempre de que la respuesta tiene sentido físico. Si hubiéramos obtenido una solución de una hora, sabríamos que algo va mal. Sin embargo, medio segundo tiene sentido físico. Así que, de entrada, sabemos que no hemos hecho nada drásticamente mal.
Considera cuidadosamente qué ecuaciones cinemáticas aplicar en función de los valores que te da el problema.
Movimiento de proyectiles en dos dimensiones
A continuación, consideraremos un problema más difícil. Supongamos que, en lugar de dejar caer las llaves, se las lanzas a un amigo. Está de pie, a una distancia de 4 m, y lanzas las llaves con un ángulo de 30°. ¿A qué velocidad tienes que lanzar las llaves para que lleguen a tu amigo?
Como siempre, el primer paso es dibujar un diagrama con toda la información relevante.
Diagrama para problema de movimiento de proyectil bidimensional, StudySmarter Originals
Éste es un problema más difícil, así que vamos a dividirlo en problemas más sencillos. Lo primero es darnos cuenta de que estamos tratando tanto con una dirección \ (x\) como con una dirección \ (y\), y estas dos son independientes entre sí, de modo que podemos tratarlas por separado.
Consideremos primero la dirección \ (y\)-. Ten en cuenta que tendremos que descomponer nuestra velocidad inicial en sus componentes. Para la componente \( y), utilizamos la trigonometría para obtener
\v_{y0} = v_y\sin(\theta).\}
Consideremos ahora las llaves ascendentes. En su punto álgido, cambian de dirección, por lo que tenemos una velocidad final de
\v_{y} = 0 \text{m}/\text{s}.
Ahora aplicamos esta información a las ecuaciones cinemáticas.
\v_y &= v_{y0} + a_yt_r &= v_0\sin(\theta) + a_yt_r \v_0 &= \frac{-a_yt_r}{\sin(\theta)}. \fin].
Hemos puesto el subíndice \(t\) con un \(r\) para recordar que sólo se trata del tiempo que tarda en llegar arriba mientras está subiendo. Para hallar nuestro tiempo total en el aire, tenemos que duplicarlo, de modo que
\[\inicio{align}t &= 2t_r \t_r &= \frac{1}{2}t. \inicio{align}]
Sustituyendo esto, tenemos una ecuación para nuestra velocidad inicial en términos de \(t\):
\v_0 = frac {a_yt} {2sin(\theta)}.
Veamos si podemos hallar \ (t\) utilizando la dirección \ (x\). En la dirección \( x\), no hay fuerzas que actúen sobre nuestro objeto. La gravedad sólo actúa en la dirección \ (y). Esto significa que nuestra aceleración es \ (0 \text{m}/\text{s}^2\). Por tanto,
|v_x &= v_{x0} + a_xt &= v_{x0}.\pend{aligned}]
Como nuestra velocidad en la dirección \ (x\)-no cambia, podemos suprimir el subíndice de la velocidad inicial. Introducimos esta información y vemos si podemos resolver para \(t\).
\[\begin{aligned}x &= x_0 + v_{x0}t + \frac{1}{2}a_xt^2 \t &= 0 + v_xt + 0 \t &= v_xt.\end{aligned}\]
Utilizando de nuevo la trigonometría, obtenemos que la componente \(x\)-de nuestra velocidad es
\v_x = v_0\cos(\theta),\}
lo que nos permite resolver para (t\) en términos de (v_0):
\[\begin{aligned}x &= v_xt &= v_0\cos(\theta)t \t &= \frac{x}{v_0\cos(\theta)}.\end{aligned}\].
A continuación, volvemos atrás e introducimos esto en nuestra ecuación de velocidad:
\v_0 &= \frac{a_yt}{2\sin(\theta)} &= \frac{a_y}{2\sin(\theta)}\cdot \frac{x}{v_0\cos(\theta)}.\finalineado].
Observa que tenemos \(v_0\) en ambos lados, así que podemos multiplicarlo por el lado izquierdo y sacar la raíz cuadrada:
\v_0 &= \frac{a_yx}{2\sin(\theta)\cos(\theta)}\ v_0 &= \pm \sqrt{\frac{a_yx}{2\sin(\theta)\cos(\theta)}}.\final]].
Esta es nuestra ecuación, en términos de variables conocidas, para la velocidad inicial con la que tenemos que lanzar nuestras llaves para que lleguen a nuestro amigo. Observa que la aceleración debida a la gravedad es negativa según nuestra elección de coordenadas, por lo que el valor bajo la raíz cuadrada no causará ningún problema. Por último, introducimos nuestros números.
\v_0 &= \pm \sqrt{{a_yx}{2\sin(\theta)\cos(\theta)} &= \pm \sqrt{\frac}-(-9,8 \text{m}/text{s}^2)\cdot 4 \text{m}{2\sin(30^circ)\cos(30^\circ)}}. \\ &= \pm \frac{39,2;\text{m}^2/\text{s}^2}{2\cdot 0,5 \cdot 0,87}}. \\ &= \pm \sqrt{45,5 \;\text{m}^2/\text{s}^2} \\ 6,7 μm/texto{s}.end{aligned}\}]
Aquí podemos descartar el valor negativo, pues sabemos que no tiene sentido físico en esta situación. Por tanto, nuestro valor final es
\[\boxed{v_0 = 6,7\;\text{m}/\text{s}}.
Tenemos que lanzar nuestras llaves a \(6,7;\text{m}/\text{s}) para que lleguen a nuestro amigo.
Ejemplo independiente del tiempo
Como último ejemplo. Consideremos un problema que requiere la ecuación cinemática independiente del tiempo. Supongamos que estás esquiando colina abajo con un ángulo de inclinación de \(30^\circ\). Empiezas en reposo en la cima, y aceleras a un ritmo de \(0,5;\text{m}/\text{s}^2\). Si tu velocidad final es \(9\;\text{m}/\text{s}), ¿qué altura tiene la colina?Como de costumbre, primero hacemos un dibujo.
Configuración del problema Esquiador en una pendiente para la ecuación cinemática independiente del tiempo, StudySmarter Originals
A continuación, tenemos toda la información necesaria para aplicar nuestra fórmula, así que vamos a introducir los números.
$$\begin{aligned} v_x^2 &= v_{x0}^2+2a_x(x-x_0) \ (9\;\text{m}/\text{s})^2 &= (0\;\text{m}/\text{s})^2 + 2\cdot 0.(x-x_0) x-x_0 &= \frac{(9\;\text{m}/\text{s})^2}{2\cdot 0,5;\text{m}/\text{s}^2}. \\ x-x_0 &= \frac{81;\text{m}^2/\text{s}^2}{2\cdot 0,5;\text{m}/\text{s}^2} \\ x-x_0 &= 81\;\text{m}\end{aligned}$$
Observa que esta distancia es la distancia que hemos recorrido a lo largo de la colina, pero estamos buscando la altura de la colina, así que tenemos que utilizar un poco de trigonometría para obtener nuestra respuesta final.
$$\begin{aligned} \sin(30^\circ) &= \frac{h}{81\};\text{m}} \\ h &= 81;\text{m}\cdot\sin(30^\circ) h &= 40,5;\text{m}\end{aligned}$$
Así, nuestra altura final de la colina es
$$\boxed{h=40,5;\text{m}}$$
Derivación de las ecuaciones cinemáticas
A continuación explicamos brevemente cómo deducir cada una de las tres ecuaciones cinemáticas.
Derivación de la ecuación cinemática lineal
Podemos deducir las ecuaciones cinemáticas a partir de la segunda ley de Newton. Sin embargo, hacerlo requiere resolver ecuaciones diferenciales. Otro método consiste en derivarlas algebraicamente utilizando nuestro conocimiento del mundo que nos rodea para desarrollar un punto de partida. Para ello, observamos que la aceleración es el cambio de velocidad sobre el cambio de tiempo, por lo que
\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\]
donde \(\Delta v = v - v_0\), y denotamos nuestro marco temporal por \(t\). Así pues, tenemos
\[a = \frac{v - v_0}{t}.\]
Ahora, para terminar de derivar nuestra primera ecuación cinemática, consideramos la dirección \ (x\)-, y reordenamos nuestros términos:
\a_x &= \frac{v_x - v_{x0}}{t} \\ a_xt &= v_x - v_{x0}. \end{align}\]
Por tanto, llegamos a la ecuación cinemática lineal.
\v_x = v_{x0} + a_xt.}]
Derivación de la ecuación cinemática cuadrática
Observa que, análogamente, tenemos que la velocidad media es el cambio de posición sobre el cambio de tiempo.
\[v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\]
donde \ (\Delta x = x - x_0\). También podemos expresar la velocidad media como la media de la velocidad inicial y final. Introducimos esto en nuestra ecuación y resolvemos para \(v_x\):
\v_{{texto{avg}} &= \frac{x - x_0}{t} \\ v_x + v_{x0}{2} &= \frac{x - x_0}{t} \\ v_x &= \frac{2(x - x_0)}{t} - v_{x0}. \end{align}\]
Podemos introducir esto en la ecuación cinemática lineal:
|[\begin{align} v_x &= v_{x0} + a_xt \frac{2(x-x_0)}{t} - v_{x0} &= v_{x0} + a_xt \frac{2(x-x_0)}{t} &= 2v_{x0} + a_xt \\ x - x_0 &= v_{x0}t + \frac{1}{2}a_xt^2.\end{align}\]
Finalmente, reordenando, obtenemos la ecuación cinemática cuadrática.
\[\boxed{x = x_0 + v_{x0}t + \frac{1}{2}a_xt^2.}]
Derivación de la ecuación cinemática independiente del tiempo
Por último, podemos obtener nuestra tercera ecuación resolviendo la primera ecuación para \ (t\) e introduciéndola en la segunda ecuación.
Resuelve para \(t\),
|[\inicio{alineado}v_x &= v_{x0} + a_xt + a_xt t &= \frac{v_x - v_{x0}}{a_x},\end{aligned}\]
e introdúcelo en la ecuación cinemática cuadrática:
\x &= x_0 + v_{x0}t + \frac{1}{2}a_xt^2 \frac{1}{2}a_x} izquierda(\frac{v_x - v_{x0} {a_x} derecha) + \frac{1}{2}a_x} izquierda(\frac{v_x - v_{x0} {a_x} derecha)^2.\finalineado].
El siguiente paso es sacar el factor común de la expresión y simplificar las fracciones:
\x - x_0 &= \left(\frac{v_x - v_{x0}}{a_x}\right)\left(v_{x0}}{a_x}}(derecha). + \frac{1}{2}a_x_izquierda(\frac{v_x - v_{x0}}{a_x}}derecha)\frac) \frac &= \frac(\frac{v_x - v_{x0}}{a_x}derecha)\frac(\frac{2v_{x0}}{2} + \frac{v_x - v_{x0}}{2}derecha) \frac &&= \left(\frac{v_x - v_{x0}}{a_x}}derecha)\left(\frac{2v_{x0} + v_x - v_{x0}}{2}}derecha) &= \left(\frac{v_x - v_{x0}}{a_x}}derecha)\left(\frac{v_{x0} + v_x}{2}}derecha).\end{aligned}\]
Multiplica los factores del lado derecho y observa que los términos no cuadráticos de la velocidad se anulan:
\x - x_0 &= \left(\frac{v_x^2 + v_xv_{x0} - v_{x0}v_x - v_{x0}^2}{2a_x}\right) ¾= \frac{v_x^2 - v_{x0}^2}{2a_x}. \end{aligned}\]
por lo que
\2a_x(x-x_0) = v_x^2 - v_{x0}^2.\}
Reordenando esta última línea se obtiene la ecuación cinemática independiente del tiempo:
\v_x^2 = v_{x0}^2 + 2a_x(x-x_0).
Esto completa la derivación de las ecuaciones cinemáticas.
Ecuaciones cinemáticas angulares
En cinemática rotacional, existe un análogo a las ecuaciones cinemáticas que hemos comentado. Estas ecuaciones tienen una forma idéntica, salvo que el desplazamiento, \(x\), se sustituye por el ángulo, \(\theta\), la velocidad, \(v\), se sustituye por la velocidad angular, \(\omega\), y la aceleración, \(a\), se sustituye por la aceleración angular, \(\alpha\). Así, la ecuación cinemática angular lineal es
\[\omega = \omega_0+\alpha t.\]
La ecuación cinemática angular cuadrática es
\[\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2,\]
y, por último, la ecuación cinemática angular independiente del tiempo es
\[\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha (\theta - \theta_0).\]
Ecuaciones cinemáticas - Puntos clave
- Hay tres ecuaciones cinemáticas.
- Las ecuaciones cinemáticas pueden aplicarse al movimiento en problemas unidimensionales y bidimensionales o tridimensionales.
- Las ecuaciones cinemáticas se utilizan para describir el movimiento de un objeto sometido a una aceleración constante.
- Las ecuaciones cinemáticas se derivan de la segunda ley del movimiento de Newton, aunque también pueden derivarse experimentalmente.
- Existe un conjunto de ecuaciones cinemáticas rotacionales análogo a las ecuaciones cinemáticas lineales.
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