Teorema del trabajo y la energía

Visión general del Teorema Trabajo-Energía

En la vida cotidiana, estamos acostumbrados a utilizar el término trabajo para referirnos a cualquier cosa que requiera esfuerzo, muscular o mental. La definición en física engloba esto, pero lo que quizá no sepas es que la cantidad de trabajo en física tiene unidades de energía, julios. Empujar un bloque, por ejemplo, provoca un cambio en su desplazamiento y también un cambio en su velocidad. Como cambia la velocidad, el bloque ha cambiado de energía cinética. Recapitulemos lo que se entiende por energía cinética con la siguiente definición.

El cambio en la energía cinética es igual al trabajo realizado sobre el bloque. Esto es muy importante en física, ya que simplifica muchos problemas, incluso aquellos que ya podríamos resolver utilizando las Leyes de Newton.

¿Qué es el trabajo en física?

En física, eltrabajo \ (W\) se define como la energía que un objeto obtiene de una fuerza externa que provoca el desplazamiento de dicho objeto. El trabajo no sólo provoca un cambio en el desplazamiento, sino también un cambio en la velocidad.

La ecuación del trabajo a lo largo de una línea recta es

\[W = F s\tag{1}\]

donde el objeto mueve un desplazamiento \(s\) por acción de una fuerza \(F\) en la misma dirección que el desplazamiento. Como puede verse por esta ecuación, el trabajo aumentará tanto si es la fuerza como el desplazamiento el que aumenta. Tiene unidades de \(\text{fuerza}\times\text{desplazamiento} = 1\text{ N}\cdot\text{m} = 1\text{ J}\).

Fig. 1 - Una caja de masa \(m\) sobre una superficie sin rozamiento experimenta una fuerza \(F\) hacia la derecha.

Supongamos que tenemos una caja inmóvil con masa \(m\) sobreuna superficie sin rozamiento. Si observamos las fuerzas que actúan sobre ella, tenemos el peso \(w\ ) hacia abajo,y la fuerza normal \(n\) hacia arriba. Cuando la empujamos ejerciendo sobre ella una fuerza \(F\) hacia la derecha, la caja empezará a deslizarse hacia la derecha. Esto se debe a que la caja obedecerá a la segunda ley de Newton, y tendrá una aceleración en la dirección de la fuerza neta. Como la aceleración es el ritmo al que cambia la velocidad con el tiempo, la caja empezará a acelerarse. Esto significa también que el trabajo realizado sobre el objeto es positivo, porque la dirección del desplazamiento y de la fuerza neta es la misma.

Fig. 2 - En la imagen, una caja se mueve hacia la derecha. A medida que se mueve, se ejerce sobre ella una fuerza neta en sentido contrario y el objeto se frena.

Sin embargo, si aplicas una fuerza hacia la izquierda mientras la caja se mueve hacia la derecha, la fuerza neta ahora es hacia la izquierda, lo que significa que la aceleración también es hacia la izquierda. Si la velocidad y la aceleración están en sentidos opuestos, ¡el objeto irá más despacio! Además, si te das cuenta de que la dirección de la fuerza neta y el desplazamiento son opuestos, puedes concluir que el trabajo total realizado sobre el objeto es negativo.

¿Qué podríamos decir sobre el trabajo total realizado sobre el bloque si la fuerza se aplicara formando un ángulo con el desplazamiento? En nuestro caso del bloque, el desplazamiento seguirá siendo rectilíneo. El trabajo será positivo, negativo o nulo en función del ángulo entre la fuerza \(\vec F\) y el desplazamiento \(\vec s\). El trabajo es un escalar, y viene dado por el producto vectorial de \(\vec F\) y \(\vec s\).

\[W = \vec F \cdot \vec s = Fs\cos\phi \tag{2}\]

Donde \(\phi\) es el ángulo entre la fuerza \(\vec F\) y el desplazamiento \(\vec s\).

Fig. 3 - Una caja de masa \(m\) que se mueve con velocidad \(v\) experimenta una fuerza vertical.

Si la caja se mueve hacia la derecha y se aplica una fuerza constante verticalmente hacia abajo sobre la caja, la fuerza neta es cero, y el trabajo realizado por esta fuerza es cero. Podemos verlo a partir del producto escalar, como \(\vec F \cdot \vec s = Fs\cos 90^{\circ} = 0\). La aceleración también será cero, por lo que el cambio de velocidad sería nulo. Por tanto, en ausencia de rozamiento, la caja sigue moviéndose a la misma velocidad en la misma dirección.

Esto puede parecer contrario a la intuición, pero recuerda de nuestra primera imagen, la fuerza constante hacia abajo de la imagen anterior dará lugar a una fuerza normal de la misma magnitud pero en sentido contrario. No habrá fuerza descendente neta y, aunque haya un desplazamiento \(s\), el producto \(W = Fs = 0\). Pero si hubiera rozamiento entre la caja y la superficie, la fuerza de rozamiento aumentaría al ser proporcional a la fuerza normal (\(f = \mu N\)). Habría una cantidad de trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en sentido contrario al desplazamiento y el bloque iría más despacio. Esto se debe a que, según la ecuación (2)

\[W_f = \mu N \cos 180^{\circ} = -\mu N = -f\]

Verás ejemplos del teorema trabajo-energía con rozamiento en una sección posterior de este artículo.

Consulta el artículo sobre el trabajo para ver más ejemplos de trabajo, y para los casos en los que hay varias fuerzas actuando sobre un cuerpo.

Derivación del Teorema Trabajo-Energía

Fig. 4 - Sobre un bloque que se mueve con velocidad inicial \(v_1\), actúa una fuerza, \(\vec{F}_\text{net}), sobre un desplazamiento, \(s\), que aumenta su velocidad a \(v_2\).

En la imagen, un bloque con masa \(m\) tiene velocidad inicial \(v_1\) y posición \(x_1\). Una fuerza neta constante \(\vec F\) actúa para aumentar su velocidad hasta \(v_2\). Al aumentar su velocidad de \(v_1\) a \(v_2\) sufre un desplazamiento \(\vec s\). Como la fuerza neta es constante, la aceleración \(a\) es constante y viene dada por la segunda ley de Newton: \(F = ma_x\). Podemos utilizar la ecuación del movimiento con aceleración constante, que relaciona la velocidad final, una velocidad inicial y el desplazamiento.

\[{v_2}^2={v_1}^2+2 a_x s\]

Reordenando para la aceleración

\[a_x = \frac{v_2}^2-{v_1}^2}{2s}]

Introduciendo esto en la Segunda Ley de Newton

\[F = ma_x = m \frac{v_2}^2-{v_1}^2}{2s}]

El trabajo realizado por la fuerza sobre un desplazamiento \(s\) es entonces

\[W = F s = \frac{1}{2}m {v_2}^2 - \frac{1}{2}m {v_1}^2, \]

que no es más que la energía cinética final menos la energía cinética inicial del bloque, o el cambio en la energía cinética de la caja después de ser acelerada.

Esto nos lleva a la siguiente definición:

Ecuación del Teorema Trabajo-Energía

En nuestra definición de trabajo de la primera sección, hemos dicho que el objeto se acelera si el trabajo realizado es positivo y se ralentiza si es negativo. Cuando un objeto tiene velocidad , también tiene energía cinética. Según el teorema trabajo-energía, el trabajo realizado sobre un objeto es igual al cambio de energía cinética. Vamos a investigarlo utilizando nuestra ecuación (3) que hemos deducido en el apartado anterior.

\[W_{text{tot}} = K_2 - K_1 = \Delta K\]

Para que el trabajo sea positivo, \(K_2\) debe ser mayor que \(K_1\), lo que significa que la energía cinética final es mayor que la energía cinética inicial. La energía cinética es proporcional a la velocidad, por lo que la velocidad final es mayor que la inicial. Eso significa que nuestro objeto se acelera.

Ejemplos de fuerza constante del Teorema Trabajo-Energía

A continuación veremos algunos ejemplos de aplicación del teorema trabajo-energía para el caso concreto de que la fuerza considerada tenga un valor constante.

Teorema trabajo-energía sin fricción

Teorema trabajo-energía con rozamiento

Teorema trabajo-energía para una fuerza variable

Anteriormente hemos hablado del trabajo realizado por fuerzas constantes y hemos aplicado el teorema trabajo-energía.

Aquí tratamos el teorema trabajo-energía como aplicable sólo a partículas puntuales, o masas puntuales. Como demostrará la demostración general posterior, el teorema trabajo-energía es aplicable a las fuerzas que varían en magnitud o dirección, ¡o en ambas!

Un ejemplo de lo contrario sería el cuerpo humano, en el que distintas partes del cuerpo se mueven de distintas maneras. A eso lo llamamos un sistema compuesto. La energía cinética total de un sistema compuesto puede cambiar sin que se realice trabajo sobre el sistema, pero la energía cinética total de una partícula puntual sólo cambiará si una fuerza externa realiza trabajo sobre ella.

Para demostrar que el teorema también se aplica a una fuerza variable, consideremos una fuerza que varía con la posición \(x\), \(F_x\). Has conocido el concepto de trabajo como área bajo la curva fuerza-desplazamiento en el artículo Trabajo.

Dividimos el área bajo la curva en columnas estrechas de anchura \(\Delta x_i\) y altura \(F_{i,x}\), como se muestra. El área de éstas viene dada por \(F_{i,x}\Delta x_i\). Como la anchura \(\Delta x_i\) es cada vez menor, obtenemos la siguiente integral para una fuerza variable a lo largo de un desplazamiento rectilíneo desde \(x_1\) hasta \(x_2\),\[W = \int^{x_2}_{x_1} F_x\; dx\tag{4}\].

Podemos aplicar esto a un muelle, que requiere más fuerza para comprimirse o estirarse a medida que aumenta el desplazamiento desde su posición natural. La magnitud de la fuerza para estirar/comprimir un muelle es

\[F_x = kx\]

Donde \(k\) es la constante de fuerza en \(\texto{N/m}\). Por tanto, estirar o comprimir un muelle implica

\[\begin{align}W &= \int^{x_2}_{x_1} k;x\; dx \\t[\textstyle\frac{1}{2}kx^2\right]_{x_1}^{x_2} \\ y = \textstyle\frac{1}{2}k{x_2}^2- \textstyle\frac{1}{2}k{x_1}^2.\end{align}]

El trabajo realizado por la fuerza sobre el muelle es igual al área del triángulo de base \(x_2-x_1\) y altura \(kx_2\).

Trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de una recta

Considera que tienes que mover una masa puntual en la dirección \(x\)-, pero la resistencia al movimiento cambia a lo largo del recorrido, por lo que la fuerza que aplicas varía con la posición. Podríamos tener una fuerza que varía en función de \(x\), es decir, fuerza = \(F(x)\)

Teorema trabajo-energía con fuerza variable - trabajo realizado sobre un muelle

Trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de una línea curva

El teorema trabajo-energía puede generalizarse a una trayectoria curva y una fuerza variable. Si seguimos la trayectoria mostrada en la figura, la dirección de \(\vec F\) en relación con el vector desplazamiento \(\vec s\) en un punto cambiará continuamente. Podemos dividir la trayectoria en desplazamientos cada vez más pequeños \(\delta \vec s\), donde \(\delta \vec s = \delta x\hat{\textbf{i}} + \delta y;{\hat{textbf{j}}).

Fig. 8 - Trayectoria curva dividida en pequeños elementos de desplazamiento debido a la presencia de una fuerza variable.

La integral lineal de \(\vec F\) a lo largo de la trayectoria anterior se aproxima mediante una suma de las contribuciones de cada uno de los pequeños desplazamientos \(s_i\).

Recordemos nuestra definición de trabajo en términos de producto escalar - ecuación (2): \(W = \vec F \cdot \vec s = Fs\cos\phi\) - y nuestra definición integral del trabajo en la ecuación (4).

Al reducir estos desplazamientos a desplazamientos infinitesimales \(d\vec s\) hasta que sean aproximadamente segmentos rectilíneos, tangentes a la trayectoria en un punto, obtenemos la siguiente integral

\[W = \int_{texto}{trayecto} \vec F\; d \vec s = \int^{P_2}_{P_1} F \cos \phi \; ds\tag{5}]

La fuerza es prácticamente constante a lo largo de un segmento infinitesimal \(d\vec s\), pero puede variar en el espacio. El cambio de energía cinética a lo largo de toda la trayectoria es igual al trabajo, es decir, es igual a la integral de (5). Como en nuestros ejemplos anteriores, sólo la fuerza que actúa a lo largo del desplazamiento realiza el trabajo y modifica la energía cinética.

El siguiente ejemplo consiste en calcular una integral de línea vectorial.

Demostración del teorema trabajo-energía

El teorema trabajo-energía es aplicable cuando la fuerza varía con la posición y en la dirección. También es aplicable cuando la trayectoria tiene cualquier forma. En este apartado se presenta una demostración del teorema trabajo-energía en tres dimensiones. Considera una partícula que se desplaza por una trayectoria curva en el espacio desde \((x_1,y_1,z_1)\) hasta \((x_2,y_2,z_2)\). Sobre ella actúa una fuerza neta \[\vec F = F_x\;{\hat{textbf{i}} + F_y;{\hat{textbf{j}} + F_z;{\hat{textbf{k}}].

donde \(F_x = F_x(x)\), \(F_y = F_y(y)\) y \(F_z=F_z(z)\).

La partícula tiene una velocidad inicial

\[\vec v = v_x;{\hat{textbf{i}} + v_y;{\hat{textbf{j}} + v_z;{hat{textbf{k}}].

donde \(v_x = v_x(x)\),y la trayectoria se divide en muchos segmentos infinitesimales \[d\vec s = dx\;{\hat{textbf{i}} + dy;{\hat{textbf{i}} + dy;{\hat{textbf{j}} + dz\hat{textbf{k}} \]

Para la dirección \(x), el componente \(x) del trabajo \(W_x = F_x dx\), y es igual al cambio de energía cinética en la dirección \(x), y lo mismo para las direcciones \(y) y \(z). El trabajo total es la suma de las contribuciones de cada segmento de la trayectoria.

La fuerza varía con la posición, y como ( \text{Fuerza} = \text{masa$}; \times}; $aceleración}), también varía con la velocidad.

Haciendo un cambio de variable y utilizando la regla de la cadena para las derivadas, para la dirección \(x\)-, tenemos:

\[a_x = \frac{dv_x}{dt}=\frac{dv_x}{dx}\frac{dx}{dt}=v_x\frac{dv_x}{dx}\]

Lo mismo para las otras direcciones, \(a_y = v_y\frac{dv_y}{dy}) y \(a_z = v_z\frac{dv_z}{dz}).

Para la dirección \(x\), y tomando \( v_{x_1} = v_x(x_1)\) por ejemplo:

\[\begin{align}W_x &= \int_{x_1}^{x_2} m\;a_x\;dx \ &=m\int_{x_1}^{x_2}v_xfrac{dv_x}{dx};dx&=m\int_{x_1}^{x_2} v_x\dv_x\\&=\textstyle\frac12 m \left[{v_x}^2\right]_{x_1}^{x_2}&=\frac12 m {v_{x_2}^2-\frac12 m {v_{x_1}^2end{align}\].

Obtenemos equivalentes para las direcciones \(y\)- y \(z\)-.

Por tanto,

\[\begin{align}W_\text{tot} = \displaystyle\int_{x_1, y_1, z_1}^{x_2, y_2, z_2} &\vec F \cdot d\vec l \ \ \ \ = \int_{x_1, y_1, z_1}^{x_2, y_2, z_2}&F_x dx +F_y dy + F_z dz \ &= \int_{x_1}^{x_2} F_x dx + \int_{y_1}^{y_2} F_y dy + \int_{z_1}^{z_2} F_z dz \ {frac12 m {v_{x_2}}^2-\frac12 m {v_{x_1}}^2\frac12 m {v_{y_2}^2-\frac12 m {v_{y_1}}^2 \frac12 m {v_{z_2}^2-\frac12 m {v_{z_1}}^2&=K_2-K_1. \end{align}\]

Como aquí utilizamos la segunda ley de Newton para deducir el teorema trabajo-energía, ten en cuenta que esta deducción concreta sólo se aplica en sistemas de referencia inerciales. Pero el teorema trabajo-energía en sí es válido en cualquier sistema de referencia, incluidos los sistemas de referencia no inerciales, en los que los valores de \(W_texto) y \(K_2 - K_1\) pueden variar de un sistema de referencia inercial a otro (debido a que el desplazamiento y la velocidad de un cuerpo son diferentes en los distintos sistemas de referencia). Para tenerlo en cuenta, en los marcos de referencia no inerciales se incluyen pseudofuerzas en la ecuación para dar cuenta de la aceleración extra que parece haber alcanzado cada objeto.