Fuerzas Conservativas y Energía Potencial

Significado de la energía potencial

Antes de profundizar en los detalles de la energía potencial, empecemos hablando de la energía en general.

Recordemos que el trabajo es igual a la fuerza multiplicada por el desplazamiento. Escrito como una integral, tiene este aspecto

$$W=\int_{x_\mathrm{i}}^{x_\mathrm{f}} F(x) dx\mathrm{.}$$

Aquí vemos que el trabajo puede calcularse multiplicando la fuerza \(F(x)\) por el desplazamiento en incrementos de \(\mathrm{d} x\) sobre la distancia total que tenemos que recorrer (desde \(x_mathrm{i}) hasta \(x_mathrm{f})). Esto significa que un objeto, o un sistema, tiene más energía cuanto más fuerza puede ejercer sobre un determinado desplazamiento.

Podemos describir matemáticamente este teorema como

$$W=\Delta KE$$

donde \(W\) es el trabajo realizado y \(\Delta KE\) es el cambio en la energía cinética. Recuerda que la energía cinética es igual a

$$KE = \frac{1}{2}\mv^2\mathrm{,}$$

por tanto, podemos reescribir nuestra ecuación de trabajo sustituyendo la ecuación anterior por nuestra energía cinética. Nuestra nueva ecuación sería

$$W=\frac{1}{2}\\mv_\mathrm{f}^2-\frac{1}{2}mv_\mathrm{i}^2\mathrm{.}$$

Esto es importante porque nos ayudará a comprender la relación entre energía potencial, energía cinética y trabajo.

Definición de energía potencial

Para que podamos avanzar realmente en el artículo Energía potencial y fuerzas conservativas, probablemente deberíamos definir la energía potencial.

Por ejemplo, un lápiz sentado en el suelo no tendría energía potencial. Sin embargo, si yo cogiera ese lápiz y lo levantara un metro del suelo, tendría energía potencial. Pero, ¿por qué? ¿Qué ha cambiado?

Ahora que el lápiz está suspendido en el aire, la fuerza de la gravedad quiere actuar sobre él, y en el momento en que lo suelte, ese lápiz se vendrá abajo. Por tanto, cuando elevo el lápiz por encima del suelo, le doy la posibilidad de realizar un trabajo. Antes no podía hacer nada; estaba ahí sentado. Pero ahora, tiene la capacidad, si se suelta, de desencadenar trabajo transfiriendo energía potencial en energía cinética. ¿Recuerdas el teorema trabajo-energía? Cuando el lápiz caiga al suelo, tendrá una velocidad, lo que le da energía cinética, que debido al teorema trabajo-energía, le permite realizar trabajo.

Fig. 2 - En la parte superior de la rampa, toda la energía que tiene la bola es potencial. Una vez que llega a la parte inferior de la rampa, toda la energía de la bola se ha convertido de energía potencial en energía cinética.

Fórmula de la energía potencial

Vale, ya sé lo que es la energía potencial, pero ¿cómo la cuantifico? Para eso está la fórmula de la energía potencial. Con la fórmula

$$\Delta U_\mathrm{g} = mg\Delta h\mathrm{,}$$

podemos determinar cuánta energía potencial gravitatoria tiene un objeto.

Observa algunas cosas.

• La energía potencial se representa con \(U\) mayúscula.
• El pequeño subíndice \(\mathrm{g}\) significa que esta fórmula es sólo para la energía potencial gravitatoria.
• \(m\) es la masa, \(g\) es la constante gravitatoria, y \(\Delta h\) es el cambio de altura (en el ejemplo del lápiz, sería \(1,\mathrm{meter}\) porque el lápiz estaba \(1,\mathrm{meter}\) lejos del suelo).

Fuerza conservadora y energía potencial

No podríamos hablar de energía potencial sin hablar de fuerzas conservativas. No te preocupes; a la física no le importa la política. No vamos a ponernos a despotricar sobre la segunda enmienda ni nada parecido. Sin embargo, mantendremos el tema un poco patriótico y hablaremos de la independencia, bueno, de la independencia del camino al menos. (Sí, ya sé que probablemente tus ojos no se recuperarán de tanto rodar por culpa de esos terribles juegos de palabras).

¿Qué es una fuerza conservadora?

En pocas palabras, las fuerzas conservadoras son fuerzas independientes del camino. Esto significa que no nos importa el medio de la historia. Si yo fuera un jefe estricto y quisiera que trabajaras a las 9:00 en punto, no me importaría cómo llegaras, sólo que llegaras. No me importaría si cogieras el autobús, el coche, el tren o el avión: siempre que estuvieras allí a las 9:00 a.m. Así es como funcionan las fuerzas conservadoras.

Fig. 3 - Fíjate en que el camino tomado no importa; de cualquier forma, estamos llegando de \(E=0\) a \(E=mgh\).

También es esencial tener en cuenta otro tipo de fuerza: las fuerzas disipativas.

Por lo tanto, son diferentes de las fuerzas conservativas en ese aspecto. Ejemplos de fuerzas conservativas son la fricción, las fuerzas resistivas o las fuerzas externas al sistema.

Relación entre fuerza conservativa y energía potencial

La energía potencial permite realizar trabajo independientemente de la trayectoria. Por tanto, puedes pensarlo así: la energía potencial "prepara" el escenario perfecto para las fuerzas conservativas, dándoles algo así como un alley-oop.

Comprendiendo la relación entre las fuerzas conservativas y la energía potencial, podemos deducir una fórmula para un sistema objeto-Tierra:

$$U_\mathrm{g} = \frac{-Gm_1 m_2}{r}\mathrm{.}$$

Observa aquí las similitudes entre esta ecuación y la ecuación de la energía potencial anterior.

Aplicación de la fuerza conservativa y la energía potencial

Al comprender la relación entre las fuerzas conservativas y la energía potencial, los matemáticos y los físicos idearon esta elegante relación matemática:

$$\Delta U = -\int_a^b \vec F_{\mathrm{cf}} \cdot \mathrm{d} \vec r\mathrm{.}$$

Podríamos meternos de lleno en la madriguera del conejo y profundizar en la derivación de esta fórmula, pero te ahorraré el lío matemático. Esto significa que la energía potencial es igual a la integral de la fuerza conservativa multiplicada por el desplazamiento. ¿Te suena familiar? ¡Suena parecido a nuestra fórmula del trabajo! Es casi como si el trabajo y la energía potencial estuvieran relacionados... espera, ¿acasola energía no es sólo la capacidad de realizar trabajo?

Si diferenciaras esa integral para calcular la fuerza con respecto a la energía potencial, la fórmula

$$F_x = \frac{-\mathrm{d}U(x)}{\mathrm{d}x}\$$

.

Ejemplos de fuerza conservativa y energía potencial

Un muelle ideal es un ejemplo de fuerza conservativa, cuya fuerza está representada por la ecuación

$$\vec F_\mathrm{s} = -k\Delta \vec x\mathrm{.}$$

La fuerza con el guión bajo \(s\) significa la fuerza del muelle, \(k\) es la constante del muelle, y \(x\) es el desplazamiento del muelle.

La fórmula

$$U_\mathrm{s} = \frac{1}{2} k \Delta x^2$$

se utiliza para calcular la energía potencial de un muelle.

Hemos recorrido un largo camino desde el principio de este artículo. Te acaban de sobrecargar de información; ahora es el momento del embrague. Estamos en el green y es hora de meter la bola en el hoyo. Estos son los conceptos más esenciales que deberás recordar.