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De hecho, se necesita una gran cantidad de fuerza, como los motores de un avión y la fuerza de sustentación producida por las alas, para seguir empujando un objeto lejos de la Tierra. Sin estas fuerzas, se caería del cielo.
¿Qué es la gravedad?
La gravedad es una fuerza que atrae entre sí a todos los objetos que tienen masa. Como la Tierra tiene masa, atrae hacia sí otros objetos. Lo mismo ocurre con otros objetos, que del mismo modo se atraen hacia sí, incluida la Tierra. Incluso nosotros atraemos la Tierra hacia nosotros con la fuerza de la gravedad.
Pero, ¿por quénoes evidente? ¿Por quénovemos que otros objetos se atraen entre sí, dado que todos tienen masa? Lo veremos a continuación.
La gravedad no es sólo una fuerza, sino un campo de fuerzas
Un campo de fuerza es una región en la que un objeto experimenta una fuerza sin contacto.
Los campos de fuerza provocan una interacción entre objetos y partículas sin que los objetos se toquen. En el caso de la gravedad, esa interacción se produce entre masas. Cualquier objeto experimentará una fuerza de atracción si lo colocas en el campo gravitatorio de otro objeto.
Datos sobre la fuerza gravitatoria
La fuerza gravitatoria es una fuerza sin contacto que siempre es atractiva. Esto significa que puede actuar a distancia y no necesita que los objetos que interactúan se toquen. En general, cuando pensamos en la gravedad actuando sobre un sistema, podemos considerar que la fuerza gravitatoria se ejerce directamente sobre el centro de masa del sistema.
El centro de masa es la posición media ponderada de la distribución de masas de un sistema.
El centro de masa de una esfera con distribución uniforme de masas está en su centro geométrico.
La fuerza gravitatoria se ejerce siempre a lo largo de la línea que une los centros de masa de los objetos que interactúan. Además, la fuerza de gravedad que actúa entre ellos es un par de acción-reacción, que son fuerzas de igual magnitud y direcciones opuestas.
La fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre el Sol tiene la misma magnitud que la fuerza que el Sol ejerce sobre la Tierra, sólo que de dirección opuesta.
Fig. 2 - La fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre el Sol, \(F_{g,\space Tierra,\space Sol}\), tiene la misma magnitud y dirección opuesta que la fuerza que el Sol ejerce sobre la Tierra\(F_{g,\space Tierra,\space Sol}\). Sin embargo, ambas actúan a lo largo de la línea que une sus centros de masa.
La fuerza gravitatoria entre dos objetos con masa puede ser bastante similar a la fuerza electrostática entre dos objetos cargados. Al fin y al cabo, ambas son fuerzas sin contacto que pueden acercar objetos a distancia. Sin embargo, existen muchas diferencias importantes, por lo que estas dos fuerzas no deben confundirse. Analicemos un poco más cómo se comparan.
La representación vectorial de los campos de fuerza
Los campos de fuerza pueden representarse como un sistema de vectores, como en este diagrama, en el que las flechas representan el campo gravitatorio sobre la Tierra.
Figura 1. Líneas del campo gravitatorio. Fuente: Sjlegg, Wikimedia Commons (Dominio público).
Elcampo gravitatorio de la Tierra es radial, lo que significa que las líneas de fuerza se cruzan en el centro de la Tierra.
Como muestra el diagrama, las líneas de campo están más juntas en la superficie de la Tierra. Esto indica que la fuerza gravitatoria es más fuerte aquí. Cuando las líneas se alejan entre sí, la fuerza disminuye.
¿Cómo calculamos la fuerza de la gravedad?
Observa la siguiente ecuación, que representa la ley de gravitación de Newton:
\[F = G \frac{m_1m_2}{r^2}]
- F = magnitud de la fuerza gravitatoria.
- G = constante gravitatoria.
- r = distancia entre los centros de dos masas.
- m1 = masa de uno de los objetos.
- m2 = masa del otro objeto.
Campo gravitatoriodeNewton: cuando dos cuerpos se sitúan en un campo gravitatorio, experimentan una fuerza que es el producto de las dos masas y el cuadrado inverso de la distancia al centro de ambas masas.
La constante G es una constante gravitatoria, que tiene un valor muy pequeño:
\G = 6,67430 \cdot 10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2}\].
Calcula la fuerza gravitatoria entre dos esferas de 3 kg que están separadas 2 m.
La masa de ambos objetos es de 3 kg. Por tanto, m1 y m2 son 3kg, mientras que r es 2m, siendo G \(6,67 \cdot 10 ^ {-11} \frac{Nm ^ 2}{kg ^ 2}\). Poniendo todos los valores nos da
\[F = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{3 \cdot 3}{2^2}\].
\[F = 1,5 \cdot 10^{-10}\]
La constante gravitatoria G, que, como hemos dicho, tiene un valor muy pequeño, es la razón por la que los objetosnovuelan y chocan entre sí. También es la razón por la que la Tierra no se siente atraída por nosotros, sino nosotros por ella. Al fin y al cabo, nuestra masa es insignificante comparada con la de la Tierra.
Figura 2. Fuerza F que actúa sobrem2 debido a m1.
La distancia entre los dos objetos influye más que sus masas, porquelaecuación gravitatoria de Newton sigue la ley del cuadrado inverso. Esto significa que si la distancia se duplica, la fuerza es la cuarta parte de la fuerza original.
¿Qué es la fuerza gravitatoria de una masa simple?
La fuerza de una masa simple es su fuerza de campo gravitatorio, que se define como la fuerza por unidad de masa cuando se coloca en un campo gravitatorio.
\[g = \frac{F}{m}\]
- g se mide en unidades de newtons por kilogramo (\(N \cdot kg^{-1}\)).
- F es la fuerza que experimenta la masa m cuando se sitúa en un campo gravitatorio.
Como el campo gravitatorio enlasuperficie terrestre es casi uniforme, podemos suponer que g es constante. Por tanto, g no es más que la aceleración de la masa m en un campo gravitatorio.
Masas puntuales
Las masas puntuales son objetos que se comportan como si toda la masa estuviera concentrada en su centro. Las formas uniformes tienen una masa puntual.
El significado de las masas puntuales es que tienen un campo gravitatorio radial. En ellas, las líneas de campo irradian desde su centro. Para las masas puntuales, nuestra ecuación anterior se convierte en
\[g = \frac{Gm}{r^2}\]
- g = intensidad del campo gravitatorio (N/kg).
- m = masa del objeto (kg).
- G = constante gravitatoria (\(6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2}\)).
- r = distancia al centro (m).
La fuerza del campo gravitatorio de otros planetas
La fuerza gravitatoria depende de la masa del planeta. Marte, por ejemplo, tiene una fuerza de campo gravitatorio de 3,71 N/kg porque sólo tiene la mitad de diámetro que la Tierra. Pero, y aquí viene lo interesante, tu peso también depende de la fuerza gravitatoria g.
Masa y peso
Tu masa es la misma vayas donde vayas en el universo. Lo que difiere es tu peso, que no sólo depende de tu masa, sino también de la gravedad. Así, por ejemplo, si pesas 99,8 kg en la Tierra, sólo pesarías 37,74 kg en Marte.
La Luna tiene una fuerza gravitatoria de 1,62 N/kg. Por eso en la Luna es más fácil volar que caminar. En Marte, caminar resulta un poco más fácil, pero sigue siendo un reto debido a la baja fuerza gravitatoria.
Masa y distancia
Las mareas que se forman en la superficie de la Tierra muestran cómo afectan tanto la masa como la distancia a la fuerza gravitatoria.
Obtenemos mareas enlasuperficie terrestre debido a la atracción gravitatoria de la luna y el sol. Y aunque el sol tiene mucha más masa que la tierra, la distancia entre ambos desempeña un papel importante debido a la proporcionalidad cuadrática inversa. Como la luna está mucho más cerca de la tierra,losocéanos terrestres responden a la luna que gira alrededor de la tierra, lo que provoca las mareas. El sol también influye, pero las mareas producidas por el sol son mucho menores.
Ejemplos de fuerza gravitatoria
Ha llegado el momento de justificar esas locas afirmaciones que hemos presentado antes. Empecemos discutiendo por qué una Tierra hueca podría presentar falta de gravedad en su interior. Esto es consecuencia de un resultado conocido como el teorema de la cáscara de Newton, que afirma que la fuerza gravitatoria neta ejercida sobre un objeto situado en cualquier lugar dentro de una cáscara esférica y delgada es cero. Este resultado parece sorprendente, porque fuera de la envoltura la fuerza gravitatoria neta puede considerarse el resultado de que toda la masa está situada en el centro de la esfera.
En lugar de una demostración formal que requiera cálculo, proporcionaremos un argumento de simetría. Supongamos que la masa de la Tierra está uniformemente distribuida y que es esférica. Pero nos ayudará pensar en ella como si fuera unanillo de puño de masa.
Fig. 3 - Considera que toda la masa de la Tierra estuviera distribuida uniformemente formando una circunferencia.
Considerando cualquier punto dentro de ella, siempre podemos dividir el anillo en dos regiones trazando un diámetro que pase por el punto y una línea perpendicular a él.
Fig. 4 - Dividimos el anillo en dos regiones.
Centrémonos en la Región 1 de la Fig. 6. Muestra tres trozos de masa en distintos puntos del mismo: a, b, y c. El punto b está en la dirección del diámetro trazado antes, y a y c están a la misma distancia de b. Todos estos trozos del anillo tienen la misma masa. Las fuerzas debidas a estos trozos de masa están representadas por \ (\vec{F}_a, \space \vec{F}_b\), y \(\vec{F}_c\), respectivamente. Puesto que la masa en la posición b, es la más cercana a nuestra masa de prueba dentro del anillo, ésta es mayor que las demás. Como a y b están a la misma distancia de la masa de prueba, \(\vec{F}_a), es igual en magnitud a \(\vec{F}_c) y sus componentes son perpendiculares a la dirección de \(\vec{F}_b) también son iguales, anulándose entre sí.
Fig. 5 - La región 1, produce una fuerza neta en la dirección de \(\vec{F}_b\). Lo mismo ocurre al considerar la parte correspondiente de la envoltura esférica.
Para cualquier punto a la derecha de la masa b, existe un punto correspondiente a la misma distancia a la izquierda, y la suma de sus fuerzas produce el mismo resultado. Por tanto, para todas las fuerzas debidas a los trozos de masa que forman la Región 1, sólo quedarán las componentes en la dirección de \(\vec{F}_b\) . Sumando todas las contribuciones de la región 1, obtenemos una fuerza que actúa en la dirección de \( \vec{F}_b\). Podemos extrapolar esta idea si consideramos la sección correspondiente del armazón. Para cada punto que no sea b, podemos encontrar otro en esta parte del cascarón esférico tal que sus componentes perpendiculares a \(\vec{F}_b\) se anulen. La fuerza gravitatoria resultante de ello, \(\vec{F}_1\) estaría en la misma dirección.
Con el mismo argumento, podemos concluir que la parte de la cáscara correspondiente a la región 2 ejerce una fuerza, \(\vec{F}_2\), en sentido contrario.
Fig. 6 - La región 2 genera una fuerza neta igual y opuesta a la de la región 1.
No sólo eso, \(\vec{F}_2\) es igual en magnitud a \(\vec{F}_1\). Quizás esto sea un poco difícil de creer, dado que hay más masa en la Región 2. Sin embargo, las posiciones de los trozos de masa que forman la Región 2 están en general más alejadas que las de la Región 1. La disminución de la fuerza debida a esta mayor distancia es tal que compensa, haciendo que ambas fuerzas sean iguales en magnitud. Por último, podemos sumar estas fuerzas
\F_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0\].
La fuerza gravitatoria neta en el interior de la delgada envoltura esférica es, en efecto, cero.
Podemos dar un paso más y ver que el grosor no importa en absoluto. Podemos considerar cualquier cáscara gruesa como formada por múltiples capas de cáscaras delgadas, todas ellas con un efecto gravitatorio neto nulo. Entonces, la fuerza gravitatoria neta ejercida por la capa gruesa es la suma de las capas finas: ¡cero!
Fig. 7 - Representación en sección transversal de un modelo de cáscara esférica gruesa de la Tierra. Este cascarón grueso puede considerarse compuesto por múltiples cascarones finos.
Este resultado puede ayudarnos a comprender lo que ocurre al excavar un túnel. Al excavar, el efecto gravitatorio neto será la suma del efecto gravitatorio de la cáscara esférica gruesa que dejamos atrás -que es cero- y el de la porción esférica de la Tierra que aún tenemos delante. Por tanto, sólo sentimos una fuerza gravitatoria debida a la sección esférica que tenemos delante.
Fig. 8 - Al excavar un túnel a través de la Tierra, sólo la masa de la esfera que tenemos delante contribuye a la fuerza gravitatoria neta que sentimos.
Podemos calcular el efecto gravitatorio de esta porción esférica considerando que la Tierra tiene una distribución uniforme de la masa (en realidad la Tierra es mucho más densa cerca de su centro, por lo que esto es sólo una aproximación). Podemos definir una densidad de masa constante, \ (\rho\), como
\[\rho = \frac{M_E}{V_E}\]
dondeME yVE son la masa y el volumen de la Tierra, respectivamente. Utilizando esta densidad podemos expresar la masa de la porción esférica, M, utilizando la fórmula del volumen de una esfera:
\M = \rho V = \rho \frac{4 \pi R^3}{3}\].
En la ecuación anterior, R, es el radio de la porción que tenemos delante (la distancia al centro de la Tierra). Por tanto, la fuerza gravitatoria debida a esta porción esférica de la Tierra sobre una masa de prueba m es
\[F_g = \frac{GMm}{R^2} = \frac{G}{R^2} \frac{4 \pi \rho R^3}{3} m = \frac{4 \pi G m \rho}{3}R\].
Sorprendentemente, la fuerza gravitatoria ya no depende del cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Una vez dentro de la Tierra, la fuerza gravitatoria depende linealmente de la distancia a su centro. Esto no significa que la Ley de Gravitación de Newton no sea válida allí. Calculamos la fuerza de la misma manera. Sin embargo, a medida que disminuimos la distancia, la masa efectiva disminuye proporcionalmente a un factor de R3.
Así pues, efectivamente, la fuerza gravitatoria es proporcional a R. El siguiente gráfico muestra la fuerza gravitatoria que experimentaría una persona 70kg en función de la distancia al centro de la Tierra.
Fig. 9 - Una vez dentro de la Tierra, la fuerza gravitatoria disminuye linealmente a medida que disminuye la distancia al centro de la Tierra.
Sin duda interesante. Pero aún no está claro cómo puede esta fuerza provocar las oscilaciones mencionadas al principio. Podemos resolver este misterio comparando la forma de la ecuación anterior con la de una fuerza sobre un muelle. La magnitud de la fuerza de un muelle Fs es
\[F_s = kx\]
donde k es una constante relacionada con la rigidez del muelle y x es la distancia desde la posición de equilibrio. Mientras que la ecuación de la fuerza gravitatoria sobre una masa de prueba, m, dentro de la Tierra es
\[F_g = \frac{4 \pi G m \rho}{3} R\]
Observa que si la masa está uniformemente distribuida, \(\frac{4 \pi G m \rho}{3}\) también es una constante, que podemos representar comokg. Entonces, ambas ecuaciones tienen idéntica forma.
\[\begin{align} F_s = kx \\ F_g = k_g R \end{align}\]
Además, R, es la distancia al centro de la Tierra. Una vez que cavamos lo suficiente para llegar a R = 0 la fuerza gravitatoria es 0. Y si seguimos cavando, la distancia empieza a aumentar de nuevo. Como todo el tiempo esta fuerza está tirando de nosotros hacia el centro de la Tierra, R desempeña exactamente el mismo papel que x en la ecuación del muelle: R es la distancia desde un punto de equilibrio.
Por eso, si construyéramos un túnel a lo largo del diámetro de la Tierra y cayéramos en él, oscilaríamos alrededor del centro de la Tierra igual que lo haría una masa unida a un muelle. Ahora que sabes que ambas ecuaciones de fuerza tienen exactamente la misma forma, es de esperar que te resulte más fácil creer que el movimiento que producen es el mismo.
Hagamos un ejemplo más.
Consideremos una persona de 70 kg que excava un túnel. Si excavan \ (1.000 \cdot 10^5 m\) atravesando el diámetro de la Tierra. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza gravitatoria que sentiría? (Suponiendo que la masa de la Tierra se distribuye uniformemente).
Solución
El radio de la Tierra es \(r_E=6,371 \cdot 10^6m\), después de excavar \ (1.000 \cdot 10^5m\) la distancia desde el centro de la Tierra sería:
\[R =6,371 \cdot 10^6m-1,000 \cdot 10^5m=6,271 \cdot 10^6m\].
Hemos definido la densidad de la Tierra, pero no la hemos calculado explícitamente, así que vamos a hacerlo
\[\begin{align} \rho &= \frac{M_E}{V_E} \\ ¾ &= ¾frac {M_E} {¾frac {4} {3} \pi (R_E)^3} |3} &= \frac {5,972 \cdot 10^{24} kg}{\frac{4}{3} \pi (6,371 \cdot 10^6 m)^3} \\ &= 5513 \frac{kg}{m^3} \end{align}\}]
Ahora estamos preparados para utilizar la fórmula que encontramos para la fuerza gravitatoria en el interior de la Tierra.
\F_g F_g &= \frac{4 \pi Gm \rho}{3}R \frac{4 \pi (6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2})(70,0 kg)(5513 \frac{kg}{m^3})}{3} (6,271 \cdot 10^6 m) \frac{4 \pi 10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2})(70,0 kg)(5513 \frac{kg}{m^3})}{3} (6,271 \cdot 10^6 m) \frac{4 \cdot 10^6 m) \frac= 676 N \end{align}].
Tras excavar 100 km, la persona siente una fuerza gravitatoria de 676 N.
Similitudes y diferencias entre las fuerzas electromagnética y gravitatoria
Existe simetría entre la ecuación de la fuerza gravitatoria \ (F_g\), y la de la fuerza electrostática \ (F_e\).
\[F_g = G \frac{m_1m_2}{r^2}\]
\[F_e = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2}]
No te preocupes por el significado de estas expresiones. Por ahora, sólo queremos señalar el parecido entre ellas.
Puesto que ambas interacciones son fuerzas sin contacto, podemos modelizarlas, utilizando campos vectoriales . Esto significa que podemos pensar que el efecto de estas fuerzas impregna todo el espacio, teniendo una intensidad diferente en cada punto. Por tanto, definimos un campo vectorial especificando la fuerza que ejercería un objeto sobre un objeto de prueba en cada punto.
Una de las diferencias clave es que la gravedad es una interacción entre objetos con masa, pero las fuerzas electromagnéticas son interacciones asociadas a objetos con cargas eléctricas, normalmente en movimiento. Otra diferencia es que la fuerza gravitatoria sólo es atractiva, pero las fuerzas electromagnéticas pueden ser tanto atractivas como repulsivas.
Es importante destacar que la fuerza gravitatoria es mucho más débil que la fuerza electrostática. Piensa en esto. Podemos utilizar un pequeño imán para levantar otro y realizar un trabajo contra la fuerza de la gravedad. Sin embargo, ¡la fuerza magnética entre los pequeños imanes es suficiente para vencer la fuerza gravitatoria de todo el planeta!
Esperemos que esto aclare las diferencias. Pero aún tenemos mucho que discutir, así que no nos desviemos demasiado del tema de hoy y continuemos completando los detalles que hay detrás de la fórmula presentada anteriormente.
Campos gravitatorios - Puntos clave
- La gravedad consiste en que las masas se atraen entre sí.
- Un campo gravitatorio es un campo de fuerza en el que un objeto experimenta una fuerza.
- Sólo las grandes masas, como el Sol, la Luna y otros planetas, tienen una fuerza gravitatoria significativa.
- Laley de la gravitación de Newton es
\F = G \cdot \frac{m_1m_2}{r^2}].
La ley de la gravitación es una ley del cuadrado inverso, que dice que la fuerza gravitatoria disminuye cuando aumenta la distancia entre los objetos.
La intensidad del campo gravitatorio es la fuerza por unidad de masa que actúa sobre un objeto situado en un campo gravitatorio.
En un campo radial, el campo gravitatorio puede representarse como
\[g = \frac{Gm}{r^2}\]
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