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Fórmula del campo magnético de un hilo conductor de corriente
En primer lugar, definamos la ecuación que nos permite calcular el campo magnético generado por un hilo conductor de corriente. Viene dada como
\[ B = \frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{r},\]
donde \(B\) es la magnitud del campo magnético medida en teslas \(\mathrm{T}\), \(\mu_{0}\) es la permeabilidad del espacio libre dada por un valor de \(4\pi \times 10^{-7} \,\mathrm{\frac{H}{m}\}) donde \(\mathrm{H}\) denota henrys,
\(I\) es la corriente en el cable medida en amperios \(\mathrm{A}\), y \(r\) es la distancia radial al cable medida en metros \(\mathrm{m}\).
Analicemos más esta ecuación; la magnitud del campo magnético generado por un hilo recto conductor de corriente es proporcional a la corriente en el hilo. Así, haciendo pasar una corriente mayor por el hilo, conseguimos un campo magnético más intenso. Por otra parte, la magnitud del campo magnético es inversamente proporcional a la distancia radial del hilo. Por tanto, cuanto más lejos estemos, más débil será el campo magnético.
Fig. 1 - Campo magnético generado por un hilo recto conductor de corriente.
En la figura anterior, el campo magnético se denota mediante los círculos rosas, lo que pone de manifiesto que el campo generado es tangente al hilo conductor de corriente y a los círculos concéntricos cuyo centro es el hilo. Como las líneas de campo son tangentes al hilo, no hay componente del campo magnético hacia el hilo.
Dirección del campo magnético alrededor de un hilo conductor de corriente
Entonces, ¿cómo podemos determinar la dirección del campo magnético generado? Podemos utilizar algo llamado regla de la empuñadura derecha. En la figura siguiente, orientamos la mano derecha con el pulgar hacia arriba y los dedos curvados hacia la palma. En este caso, el pulgar apunta en la dirección de la corriente, mientras que los dedos están curvados en la dirección del campo magnético.
Veamos un ejemplo.
Fig. 3 - La dirección del campo magnético en un hilo conductor de corriente viene determinada por la regla de la pinza derecha.
Este es el alambre que vimos en el apartado anterior; utilizando la regla de agarre de la mano derecha, podemos apuntar con el pulgar en la dirección de la corriente en el alambre, es decir, apuntando hacia la derecha. Al orientar nuestras manos en esta dirección, nuestros dedos se curvan de forma natural en el sentido contrario a las agujas del reloj, que es la dirección resultante del campo magnético, denotada por las flechas de las líneas de campo magnético.
Intensidad del campo magnético de un hilo conductor de corriente
Veamos ahora cómo la intensidad del campo magnético de un hilo conductor de corriente afecta a otros objetos, por ejemplo, a otro hilo.
Intensidad del campo magnético entre dos hilos conductores de corriente
Ahora que ya sabemos cómo calcular el campo magnético generado por la corriente en un hilo, veamos cómo pueden interactuar entre sí estos campos magnéticos. Si has leído nuestro otro artículo sobre el campo magnético de una carga en movimiento, puede que estés familiarizado con el modo en que las cargas en movimiento interactúan con los campos magnéticos a través de la fuerza de Lorentz. Si no, no pasa nada, ¡aquí tienes un repaso rápido!
Cuando las partículas cargadas viajan a través de un campo magnético, experimentan algo llamado fuerza de Lorentz, que viene dada por
\[ \vec{F}_{\text{M}} = q \vec{v} \veces \vec{B},\]
donde \(\vec{F}_{texto{M}}) es la fuerza de Lorentz medida en newtons \(\mathrm{N}}), \(q\) es la carga de la partícula medida en culombios \(\mathrm{C}}), \(\vec{v}\) es la velocidad de la partícula cargada medida en \(\mathrm{frac{m}{s}}), y \(\vec{B}\) es el campo magnético medido en Teslas \(\mathrm{T}\). Además, también podemos representar la magnitud de la fuerza de Lorentz como
\[ ||vec{F}_{texto{M}} = |q\vec{v}| ||sin(\theta)||||vec{B}| ,\].
donde \(\theta\) es el ángulo entre la trayectoria de la partícula cargada y el campo magnético \(B\), y todas las demás cantidades son iguales a las anteriores.
La magnitud de la fuerza de Lorentz sobre un alambre viene dada por
\[ ||vec{F}_{texto{M}} = |I \vec{L}} ||sin(\theta) |||vec{B}} ,\]
donde \(I\) es la corriente que circula por el alambre medida en \(\mathrm{A}\), \(L\) es la longitud del alambre en el campo magnético medida en \(\mathrm{m}\), y todas las demás cantidades son las mismas que antes. La dirección de la fuerza de Lorentz resultante puede determinarse mediante la regla de la mano izquierda.
Derivación de la fuerza de Lorentz sobre un alambre
Esta derivación es una inmersión profunda y no es necesaria en el ámbito del curso.
En primer lugar, reescribamos la corriente en términos de carga, que viene dada como
\[ I = \frac{q}{t},\]
donde \(q\) es la carga total de los electrones medida en culombios \(\mathrm{C}\), \(I\) es la corriente medida en amperios \(\mathrm{A}\), y \(t\) es el tiempo total que tardan en viajar las cargas medido en segundos \(\mathrm{s}\).
Además, podemos reescribir la velocidad \(v\) de las partículas cargadas como
\[ ||vec{v}| = \frac{L}{t},\\]
donde \(L\) es la distancia recorrida por las partículas medida en \(\mathrm{m}\), y \(t\) es el tiempo transcurrido medido en \(\mathrm{s}\). Podemos sustituir la velocidad \(v\) en nuestra magnitud de la fuerza de Lorentz para hallar que
\[\begin{align} |vec{F}_{texto{M}} &= |vec{B}|q |vec{v}| |sin(\theta)|||vec{F}_{texto{M}} &= |vec{B}| q \frac{L}{t} |sin(\theta)|. \fin{align}\}]
Yendo aún más lejos, podemos sustituir el tiempo \(t\) de nuestra expresión de la corriente para hallar
\[ \begin{align} |frac {L} {\frac {q} {I} |sin(\theta)| &= |\vec{F}_{text{M}}| q |left(\frac {L} {\frac {q} {I} |right) ||sin(\theta)| &= |\vec{F}_{\text{M}}| I L ||sin(\theta)|, |end{align}].
que es la expresión que establecimos antes.
Regla de la mano derecha para hallar el campo magnético de un hilo conductor de corriente
Consideremos ahora dos hilos que discurren paralelos entre sí, como en la figura siguiente.
Fig. 4 - Dos hilos paralelos que ejercen una fuerza el uno sobre el otro.
Considera la fuerza \(F_1\) que actúa sobre el hilo de la derecha que lleva corriente \(I_2\). El campo magnético generado por el hilo de la izquierda actúa hacia abajo sobre el hilo de la derecha, mientras que la corriente se dirige hacia la página. Si utilizamos nuestra regla de la mano izquierda y orientamos el primer dedo hacia abajo, mientras que el segundo dedo apunta hacia la página, nos encontramos con que la fuerza resultante \(F_1\) (dada por la dirección del pulgar) apunta hacia la izquierda.
Realizando un proceso similar con el hilo de la izquierda, esta vez en lugar de que el campo magnético del hilo de la derecha actúe hacia arriba, nos encontramos con que la fuerza resultante de Lorentz \(F_2\) apunta hacia la derecha. Por tanto, podemos concluir que dos hilos que transportan corrientes en la misma dirección experimentarán una fuerza de atracción el uno hacia el otro.
¿Puedes encontrar la dirección de la fuerza si las corrientes circulan en sentidos opuestos? ¡Mira nuestras fichas de este artículo para ponerte a prueba!
Fórmula de la fuerza magnética entre dos hilos conductores de corriente
Considera de nuevo la situación anterior, en la que los dos hilos transportan corrientes en el mismo sentido. Utilizando la magnitud de la ecuación de la fuerza de Lorentz, podemos sustituir nuestra expresión para el campo magnético del hilo 1, para hallar la fuerza sobre el hilo 2 como
\F &= BI_2 L F &= BI_2 L\sin(\theta) \ F &= \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I_1}{r} I_2 L \sin(90^{\circ}) \\ F &= \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_1 I_2}{r} L . \fin \]
Aquí la primera línea de nuestra derivación indica la fuerza sobre el segundo hilo, por eso hemos sustituido el término \(I\) por \(I_2\). A continuación, sustituimos la expresión del campo magnético del primer hilo, lo que da lugar a la inclusión del término \(I_1\).
Eliminando el término trigonométrico, ya que va a uno, podemos reordenar para hallar la fuerza por unidad de longitud en el segundo alambre como
\[ \frac{F}{L} = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_1 I_2}{r} , \]
donde \(\frac{F}{L}) es la fuerza por unidad de metro medida en newtons por metro \(\mathrm{N}{m}), \(r\) es la distancia radial desde el segundo hilo, y todos los demás términos son iguales a las ecuaciones anteriores.
Campo magnético debido a un bucle circular conductor de corriente
Veamos ahora un caso específico de la forma de un hilo conductor de corriente; en el caso de que el hilo forme una espira, nuestra fórmula para la intensidad del campo magnético alrededor del hilo cambia ligeramente. En este caso, nuestra ecuación pasa a ser
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2R} ,\\]
donde \(B\) es la magnitud de la intensidad del campo magnético en el centro de la espira medida en teslas \(\mathrm{T}\), \(R\) es el radio de la espira de corriente, y todas las demás cantidades siguen siendo las mismas que en nuestra ecuación anterior.
Así, podemos ver que la fórmula se parece mucho a la ecuación general del campo magnético alrededor de un hilo, pero hay que memorizar algunas pequeñas diferencias. Por ejemplo, ya no tenemos el factor \(2\pi\) en el denominador, puesto que la forma del campo magnético circundante ya no es en anillos circulares. Además, el radio \(R\) ya no es una variable, sino una constante.
Ejemplo de fuerza magnética sobre hilos conductores de corriente
Por último, veamos una pregunta de ejemplo.
Tenemos un hilo de longitud \(1,5,\mathrm{m}), que transporta una corriente de \(2,7,\mathrm{mA}) en dirección ascendente.
- ¿Cuál es la magnitud del campo magnético generado por el hilo a una distancia radial de \(6,7,\mathrm{cm}\)?
Ahora tenemos otro hilo de longitud \(1,2,\mathrm{m}), que transporta una corriente \(9,7,\mathrm{mA}) en dirección descendente. Está situado a una distancia radial de \(6,7,\mathrm{cm}) del primer hilo.
- ¿Cuál es la dirección de la fuerza de Lorentz que actúa sobre el segundo hilo?
- ¿Cuál es la magnitud de esta fuerza?
El siguiente diagrama muestra el planteamiento de la pregunta.
Fig. 5 - Dos hilos que transportan corrientes en sentidos opuestos.
1. Para calcular la magnitud del campo magnético, utilicemos nuestra ecuación para el campo magnético de una corriente que circula por un hilo. Sustituyendo los números de la pregunta encontramos
\[ B = \frac{4\pi \veces 10^{-7} \,\mathrm{\frac{H}{m}} = 2 veces 6,7 veces 10^2}, = 8,1 veces 10^9}, = 8,1 veces 10^2}, = 8,1 veces 10^9}, = 8,1 veces 10^2}, = 8,1 veces 10^9}, = 8,1 veces 10^9}, = 8,1 veces 10^9}, = 8,1 veces 10^9}, = 8,1 veces 10^9}, = 8,1 veces 10^9}, = 8,1 veces 10^9}, = 8,1 veces 10^9}. ,\]
donde hemos utilizado el hecho de que \( 1 \, \mathrm{H} = 1 \, \mathrm{\frac{ kg \, m^2}{s^2 \, A^2}}) y \( 1\, \mathrm{T} = 1 \, \mathrm{\frac{ kg}{s^2 \, A}}).
2. Para hallar la dirección de la fuerza de Lorentz sobre el segundo hilo, podemos utilizar tanto la regla de la mano derecha como la regla de la mano izquierda. En primer lugar, tenemos que determinar la dirección del campo magnético procedente del hilo uno. Si apuntamos con el pulgar derecho en la dirección de la corriente, veremos que el campo se mueve en el sentido de las agujas del reloj.
Posteriormente, teniendo en cuenta la orientación de los dos hilos, se deduce que la dirección del campo magnético actúa hacia abajo, sobre el hilo 2. Por lo tanto, si apuntamos con nuestro primer dedo hacia abajo y con el segundo en la dirección de la corriente, veremos que la fuerza de Lorentz resultante está hacia la derecha.
Si determináramos la dirección de la fuerza de Lorentz sobre el hilo 1, veríamos que la fuerza resultante estaría a la izquierda. Por tanto, cuando dos hilos paralelos entre sí tienen corrientes en sentidos opuestos, experimentan una fuerza de repulsión.
3. Por último, tenemos que calcular la magnitud de la fuerza que actúa sobre el segundo hilo. Utilizando nuestra ecuación anterior, podemos sustituir nuestros números para hallar
\F &= 8,1 F &= 8,1 veces 10^{-9}}. \μ, μmathrm{T} \veces 9,7 veces 10^3 \mathrm{A} \1,2 veces \veces seno izquierda (fracción 2 derecha) &= 9,4 veces 10^{-11} |mathrm{N}, \end{align}\}]
donde hemos utilizado el hecho de que \( 1 \, \mathrm{N} = 1 \, \mathrm{\frac{kg \, m}{s^2}}) y \(\theta = \frac{\pi}{2} \, \mathrm{rads}}) porque la dirección del campo magnético y la del hilo son perpendiculares.
Campo magnético de un alambre conductor de corriente - Puntos clave
- Una corriente que circula por un alambre genera un campo magnético a su alrededor.
- El campo magnético tiene forma de círculos concéntricos con centro en el hilo.
- La magnitud del campo magnético viene dada por \( B = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{r} \).
- La dirección del campo magnético puede determinarse mediante la regla de la pinza derecha.
- Dos hilos conductores de corriente, colocados uno junto al otro, ejercerán entre sí una fuerza de Lorentz, dada por \(F = BIL \sin(\theta)\).
- Si las corrientes van en la misma dirección, experimentan una fuerza de atracción.
- Si las corrientes van en sentido contrario, experimentan una fuerza de repulsión.
Referencias
- Fig. 1 - Campo magnético que sale de un cable conductor de corriente, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - Regla de agarre de la mano derecha, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Dirección del campo magnético debido al hilo conductor de corriente, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Dos hilos paralelos que ejercen una fuerza entre sí, StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Dos hilos paralelos que transportan corrientes en direcciones opuestas, StudySmarter Originals.
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