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Fuerzas de los muelles: Definición, fórmula y ejemplos
Un muelle tiene una masa despreciable y ejerce una fuerza, al estirarse o comprimirse, que es proporcional al desplazamiento desde su longitud relajada. Cuando agarras un objeto sujeto a un muelle, tiras de él una distancia desde su posición de equilibrio, y lo sueltas, la fuerza restauradora tirará del objeto de vuelta al equilibrio. Para un sistema muelle-masa sobre una mesa horizontal, la única fuerza que actúa sobre la masa en la dirección del desplazamiento es la fuerza restauradora ejercida por el muelle. Utilizando la Segunda Ley de Newton, podemos establecer una ecuación para el movimiento del objeto. La dirección de la fuerza restauradora será siempre opuesta y antiparalela al desplazamiento del objeto. La fuerza restauradora que actúa sobre el sistema muelle-masa depende de la constante del muelle y del desplazamiento del objeto desde la posición de equilibrio.
Fig. 1 - Representación de un sistema muelle-masa, en el que la masa oscila alrededor de una posición de equilibrio.
$$\vec{F_{\text{net}}}=m\vec a$$
A lo largo de la dirección de desplazamiento \(\widehat x\):
$$-kx=m\frac {operador d^2x} {operador dt^2}$$
$$\frac {nombre del operador d^2x} {nombre del operador dt^2}=-\frac km x$$
Donde \(m\) es la masa del objeto en el extremo del muelle en kilogramos \((\mathrm{kg})\), \(a_x\) es la aceleración del objeto en el \(\text{eje x}\) en metros por segundo al cuadrado \((\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2})\), \(k\) es la constante del muelle que mide la rigidez del muelle en newtons por metro \((\frac{\mathrm N}{\mathrm m})\), y \(x\) es el desplazamiento en metros \((\mathrm m)\).
Esta relación también se conoce como Ley de Hooke, y puede demostrarse estableciendo un sistema de muelles con masas colgantes. Cada vez que añades una masa, mides la extensión del muelle. Si se repite el procedimiento, se observará que la extensión del muelle es proporcional a la fuerza restauradora, en este caso, el peso de las masas colgantes.
La expresión anterior se parece mucho a la ecuación diferencial del movimiento armónico simple, por lo que el sistema muelle-masa es un oscilador armónico, cuya frecuencia angular puede expresarse en la siguiente ecuación
$$\omega^2=\frac km$$
$$\omega=\sqrt{\frac km}$$
Un muelle de \(12;\mathrm{cm}) tiene una constante de muelle de \(400;{\textstyle\frac{\mathrm N}{\mathrm m}}). ¿Cuánta fuerza se necesita para estirar el muelle hasta una longitud de \(14;\mathrm{cm})?
El desplazamiento tiene una magnitud de
$$x=14\;\mathrm{cm}\;-\;12\;\mathrm{cm}=2\;\mathrm{cm}=0.02\;\mathrm m$$
La fuerza del muelle tiene una magnitud de
$$F_s=kx=(400\;{\textstyle\frac{\mathrm N}{\mathrm m}})(0,02\mathrm m)=8\mathrm N$$
Se dice que un sistema muelle-masa está en equilibrio si no hay ninguna fuerza neta que actúe sobre el objeto. Esto puede ocurrir cuando la magnitud y la dirección de las fuerzas que actúan sobre el objeto están perfectamente equilibradas, o simplemente porque no actúa ninguna fuerza sobre el objeto. No todas las fuerzas intentan devolver el objeto al equilibrio, pero las fuerzas que lo hacen se denominan fuerzas restauradoras, y la fuerza del muelle es una de ellas.
Una fuerza restauradora es una fuerza que actúa contra el desplazamiento para intentar devolver el equilibrio al sistema. Este tipo de fuerza es la responsable de generar oscilaciones y es necesaria para que un objeto esté en movimiento armónico simple. Además, la fuerza restauradora es la que provoca el cambio de aceleración de un objeto en movimiento armónico simple. A medida que aumenta el desplazamiento, aumenta la energía elástica almacenada y aumenta la fuerza restauradora.
En el diagrama siguiente, vemos un ciclo completo que comienza cuando la masa se suelta del punto \(\text{A}\ ). Las fuerzas del muelle hacen que la masa pase por la posición de equilibrio hasta llegar a \(\text{A}\ ), para volver a pasar por la posición de equilibrio y llegar al punto \( \text{A}\) y completar un ciclo completo.
Fig. 2 - Ciclo de oscilación completo de un sistema muelle-masa.
Combinación de muelles
Un conjunto de muelles puede actuar como un único muelle, con una constante de muelle equivalente que llamaremos \ (k_{\text{eq}}). Los muelles pueden estar dispuestos en serie o en paralelo. Las expresiones para \ (k_{\text{eq}}) variarán según el tipo de disposición. En serie, la inversa de la constante equivalente del muelle será igual a la suma de la inversa de las constantes individuales de los muelles. Es importante observar que en una disposición en serie, la constante elástica equivalente será menor que la constante elástica individual más pequeña del conjunto.
$$\frac1{k_{eq\;series}}=\sum_n\frac1{k_n}$$
Fig. 3 - Dos muelles en serie.
Un conjunto de 2 muelles en serie tienen constantes de muelle de \ ( 1{textstyle\frac{\mathrm N}{mathrm m}} ) y \ (2{textstyle\frac{\mathrm N}{mathrm m}}). ¿Cuál es el valor de la constante elástica equivalente?
$$\frac1{k_{eq\;serie}}=\frac1{1\frac{\mathrm N}{\mathrm m}}+\frac1{2\frac{\mathrm N}{\mathrm m}}$$
$$\frac1{k_{eq\;series}}=\frac32{\textstyle\frac{\mathrm m}{\mathrm N}}$$
$$k_{eq_;serie}=\frac23{\textstyle\frac{\mathrm N}{mathrm m}}$$
En paralelo, la constante elástica equivalente será igual a la suma de las constantes elásticas individuales.
$$k_{eq\;paralelo}=\suma_nk_n$$
Fig. 4 - Dos muelles en paralelo.
Un conjunto de 2 muelles en paralelo tiene unas constantes de muelle de \ ( 1{textstyle\frac{\mathrm N }{mathrm m}}) y \ (2{textstyle\frac{\mathrm N}{mathrm m}}). ¿Cuál es el valor de la constante elástica equivalente?
$$k_{eq;paral}=1;{\textstyle\frac{\mathrm N}{mathrm m}}+2;{\textstyle\frac{\mathrm N}{mathrm m}}=3;{\textstyle\frac{\mathrm N}{mathrm m}}$$.
Gráfico Fuerza vs. Desplazamiento
Podemos representar gráficamente la fuerza en función de la posición y determinar elárea bajo la curva. Realizando este cálculo obtendremos el trabajo realizado sobre el sistema por la fuerza del muelle y la diferencia de energía potencial almacenada en el muelle debido a su desplazamiento. Como, en este caso, el trabajo realizado por la fuerza del muelle sólo depende de las posiciones inicial y final, y no de la trayectoria entre ellas, podemos deducir el cambio de energía potencial a partir de esta fuerza. Este tipo de fuerzas se denominan fuerzas conservativas.
Utilizando el cálculo, podemos determinar el cambio de energía potencial.
$$\begin{array}{rcl}{triángulo U&=&-\int_i^f{\overset\rightharpoonup F}{cons} {{cdot\overset\rightharpoonup{dx},{\i}{triángulo U&=&--int_i^f\left|\overset\rightharpoonup F}{\mathrm{cons}\right|\left|\overset\rightharpoonup{dx}\right|\cos\left(180^circ\cright),\\\\\i triángulo U&=&-\int_i^f\left(kx\right)\left(\mathrm dx\right)\cos\left(180^\circ\right),\\\triangle U&=&\frac12kx_{\mathrm f}^2-\frac12kx_{\mathrm i}^2.\fin{array}$$
Fig. 5 - Gráfico Fuerza vs Desplazamiento, la constante del muelle es la pendiente y la energía potencial es el área bajo la curva.
Fuerza del muelle - Puntos clave
- Un muelle tiene una masa despreciable y ejerce una fuerza, cuando se estira o comprime, que es proporcional al desplazamiento desde su longitud relajada. Cuando agarras un objeto sujeto a un muelle, tiras de él una distancia desde su posición de equilibrio y lo sueltas, la fuerza restauradora tirará del objeto de vuelta al equilibrio.
- Lamagnitud de la fuerza del muelle se describe mediante la Ley de Hooke, \(kx=m\frac{\operatorname d^2x}{\operatorname dt^2}\).
- Ladirección de la fuerza restauradora siempre será opuesta y antiparalela al desplazamiento del objeto.
- Un conjunto de muelles puede actuar como un único muelle, con una constante de muelle equivalente, que llamaremos \ (k_eq\).
- En serie, la inversa de la constante de muelle equivalente será igual a la suma de la inversa de las constantes de muelle individuales, \(\frac1{k_{eq\;serie}}=\suma_n\frac1{k_n}).
- En paralelo, la constante de resorte equivalente será igual a la suma de las constantes de resorte individuales \(k_{eq\;paralelo}=\sum_nk_n\).
Referencias
- Fig. 1 - Representación de un sistema muelle-masa, en el que la masa oscila alrededor de una posición de equilibrio, StudySmarter Originals
- Fig. 2 - Ciclo completo de oscilación de un sistema muelle-masa, StudySmarter Originals
- Fig. 3 - Dos muelles en serie, StudySmarter Originals
- Fig. 4 - Dos muelles en paralelo, StudySmarter Originals
- Fig. 5 - Gráfica de fuerza frente a desplazamiento, la constante del muelle es la pendiente y la energía potencial es el área bajo la curva, StudySmarter Originals
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