fuerza restauradora

Ejemplos: Muelles y péndulos

Cuando agarras un objeto sujeto a un muelle, tiras de él una distancia desde su posición de equilibrio, y lo sueltas, la fuerza restauradora tirará del objeto de vuelta al equilibrio. Para un sistema muelle-masa en una mesa horizontal, la única fuerza que actúa sobre la masa en la dirección del desplazamiento es la fuerza restauradora ejercida por el muelle.

Utilizando la Segunda Ley de Newton podemos establecer una ecuación para el movimiento del objeto. Es importante señalar que en este artículo no utilizaremos la forma vectorial de la segunda ley, ya que en este caso sólo estudiamos la magnitud de la fuerza restauradora en una dimensión. La dirección de la fuerza restauradora siempre será antiparalela al desplazamiento del objeto. Esto puede demostrarse experimentalmente y es una característica de Ley de Hooke. La fuerza restauradora que actúa sobre el sistema muelle-masa depende de la constante del muelle y del desplazamiento del objeto desde la posición de equilibrio.

La expresión de la fuerza es

$$F_x=ma_x.$$

Sustituyendo la fuerza del muelle por \(F_x\) y la \(a_x\) por la segunda derivada respecto al tiempo obtenemos

$$-kx=m\frac{operador d^2x}{operador dt^2}.$$

Reordenando para la segunda derivada se obtiene la ecuación

$$\frac{operador d^2x}{operador dt^2}=-\frac kmx,$$

donde \(m\) es la masa del objeto en el extremo del muelle en kilogramos \((\mathrm{kg})\), \(a_x\) es la aceleración del objeto en el \(\text{eje x}\) en metros por segundo al cuadrado \((\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2})\), \(k\) es la constante del muelle que mide la rigidez del muelle en newtons por metro \((\frac{\mathrm N}{\mathrm m})\), y \(x\) es el desplazamiento en metros \((\mathrm m)\).

La expresión anterior se parece mucho a la ecuación diferencial del movimiento armónico simple, por lo que el sistema muelle-masa es un oscilador armónico, en el que su frecuencia angular puede expresarse en la siguiente ecuación

$$\omega^2=\frac km,$$ o explícitamente como

$$\omega=\sqrt{\frac km}.$$

El segundo ejemplo que vamos a tratar es el caso de un péndulo simple. Un péndulo simple consiste en una masa que oscila alrededor de una posición de equilibrio mientras cuelga de una varilla. La fuerza restauradora la ejerce la gravedad.

Como podemos ver en la imagen anterior, la fuerza restauradora es la componente de la fuerza de la gravedad que es antiparalela al desplazamiento del péndulo. Esta ecuación se obtiene utilizando relaciones trigonométricas y la geometría del sistema.

$$sin\ izquierda(\eta\ derecha)=\frac{{mathrm{opuesta}}{mathrm{hipotenusa}}=\frac{F_{antiparalela}}{-mg}$$

$$F_{antiparalelo}=F_{restauración}=-mg\sin\izquierda(\theta\derecha)$$

Donde \(m\) es la masa del péndulo en kilogramos, \((\mathrm{kg})\), \(\mathrm g\) es la aceleración debida a la gravedad en metros por segundo al cuadrado, \((\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2})\), y \(\theta\) es el ángulo entre la posición de equilibrio y la posición de desplazamiento en grados o radianes, \((^\circ\\mathrm{o};\mathrm{rad})\).

Para que un objeto se considere un oscilador armónico, la fuerza restauradora debe ser proporcional al desplazamiento. En este caso, es proporcional a la fuerza de gravedad y al seno del ángulo de desplazamiento \(\theta\). Sin embargo, hay algunos casos en los que se considera que el movimiento de un péndulo simple se mueve en movimiento armónico simple. Cuando el ángulo de desplazamiento es muy pequeño, el seno del ángulo de desplazamiento puede aproximarse al propio ángulo, tal que \(\sin\izquierda(\theta\derecha)\aprox\theta\). En este caso, la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento.

Ahora podemos examinar la ecuación diferencial utilizada para describir el movimiento de un péndulo simple para un ángulo de desplazamiento pequeño. En primer lugar,debemos introducir el concepto de longitud de arco para resolver la ecuación diferencial.

De nuevo, comenzamos el planteamiento con la Segunda Ley de Newton, que viene dada por

$$F=ma.$$ Sustituyendo la fuerza restauradora y la segunda derivada del desplazamiento respecto al tiempo obtenemos

$$-mg\sin\left(\theta\right)=m\frac{\operatorname d^2s}{dt^2},$$ donde \[\sin\left(\theta\right)\approx\theta,\]

\d^2s}{dt^2}=-g-theta,\} y donde \(s=L\theta.\)

La longitud del péndulo es constante, por lo que sólo cambiará con el tiempo el ángulo de desplazamiento. La ecuación se convierte entonces en

$$L\frac{\operador d^2\theta}{dt^2}=-g\theta.$$

Reordenando para la aceleración obtenemos

d^2\theta}{dt^2}=-\frac gL\theta.$$

La expresión anterior se parece mucho a la ecuación diferencial del movimiento armónico simple, por lo que el péndulo simple con un ángulo de desplazamiento pequeño es un oscilador armónico, en el que su frecuencia angular se expresa como

$$\omega^2=\frac gL,$$

o explícitamente como

$$\omega=\sqrt{\frac gL}.$$