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Relación entre Fuerza Centrípeta y Velocidad
Para comprender la relación entre la fuerza centrípeta, consideremos una bola sobre una cuerda que se mueve en círculo, como se muestra a continuación.
La velocidad tangencial \(\vec{v}\) de la bola es siempre en dirección tangente al círculo. Si la magnitud de la velocidad es constante, la bola tiene un movimiento circular uniforme. Aunque la magnitud de la velocidad sea constante, la dirección del vector velocidad cambia constantemente. Esto hace que la bola experimente una aceleración aunque no cambie la magnitud de la velocidad. Si la bola tiene un movimiento circular uniforme, el vector aceleración \(\vec{a}\) es perpendicular al vector velocidad, y por tanto siempre apunta al centro del círculo, como se muestra en la imagen. Esta componente radial de la aceleración del objeto se conoce como aceleración centrípeta, \(\vec{a}_c.\)
Aceleracióncentrípeta: Es la componente radial de la aceleración de un objeto que se mueve circularmente.
Si la bola experimenta un movimiento circular no uniforme en el que la velocidad de la bola no es constante, habrá componentes del vector de aceleración que no apunten al centro del círculo. Estas componentes de aceleración no contribuyen a la aceleración centrípeta.
Para que un objeto se mantenga en un movimiento circular, debe haber una fuerza que actúe sobre él. La fuerza radial neta que actúa sobre un objeto para mantenerlo en un movimiento circular puede denominarse fuerza centrípeta. En nuestro ejemplo, la fuerza centrípeta que actúa sobre la bola para mantenerla en movimiento circular procede de la fuerza de tensión de la cuerda. La fuerza centrípeta apunta siempre en la misma dirección que el vector aceleración y es perpendicular al vector velocidad.
Fuerza centrípeta: Es la fuerza total que actúa radialmente sobre un objeto para mantenerlo en un movimiento circular.
Es bueno señalar que la fuerza centrípeta no es una fuerza real, sino que utilizamos el término fuerza centrípeta para describir la fuerza total que mantiene al objeto en un movimiento circular. Al dibujar un diagrama de cuerpo libre, la fuerza centrípeta no se etiqueta como una fuerza real, sino que se etiquetan las fuerzas reales que proporcionan la fuerza centrípeta. En el ejemplo anterior, la fuerza centrípeta procedía de la fuerza de tensión de la cuerda. La gravedad es otro buen ejemplo de fuerza que mantiene un objeto, como un satélite, en órbita alrededor de la Tierra.
Algunas personas suponen que un objeto en movimiento circular experimenta una "fuerza centrífuga" hacia el exterior que apunta en dirección opuesta al centro del círculo. Esto es incorrecto para un sistema de referencia inercial. Cuando consideremos un sistema de referencia rotacional, no inercial, hablaremos de la fuerza centrífuga con más detalle. A efectos de Física C AP, sólo consideraremos un sistema de referencia inercial, por lo que recomendamos centrarse en comprender la fuerza centrípeta y la aceleración y hacer caso omiso del término "fuerza centrífuga".
Fórmula de la fuerza centrípeta y la velocidad
Veamos más detenidamente las ecuaciones que describen la fuerza centrípeta y la velocidad. Consideremos la bola en una cuerda en dos puntos distintos de un círculo de radio, \(r\). En estos puntos, la bola tiene velocidades correspondientes que llamaremos \(\vec{v}_1\) y \(\vec{v}_2). También llamaremos a la distancia que recorrió la bola \(\Delta x\) y al ángulo \(\Delta \theta\). El tiempo que tardó la bola en viajar de una posición a otra es \(\Delta t\).
Fig. 2 - Una bola sobre una cuerda que se desplaza en movimiento circular uniforme mostrada en dos posiciones.
El ángulo entre los vectores velocidad inicial y final es el mismo que el cambio de ángulo, \(\Delta t\), entre la primera y la segunda posición. Esto significa que podemos dibujar dos triángulos semejantes para el cambio de velocidad, \(\Delta \vec{v},\) y el cambio de distancia, \(\Delta x\). Como los triángulos son triángulos semejantes, la razón de lados semejantes de los triángulos es igual y nos da \frac{||||Delta \vec{v}||}{vec{v}_1}&=\frac{\Delta x}{r}\|||Delta \vec{v}|&=\frac{\Delta x}{r}{vec{v}_1.\final{align*}]Pensemos ahora en la aceleración media. La aceleración se define como el cambio de velocidad dividido por el cambio de tiempo. Así, podemos escribir \frac{\felta \vec{v}}{\felta t}\frac{\felta x}{r \frac{\vec{v}_1}{\Delta t}\&=\frac{\vec{v}_1}{r}{\frac{\Delta x}{\Delta t}.\final{align*}\]Si consideramos cambios muy pequeños en la distancia y el tiempo, podemos tomar el límite a medida que el cambio en el tiempo se aproxima a cero. A medida que el cambio en el tiempo se aproxima a cero, el cambio en la distancia sobre el cambio en el tiempo se aproxima a \(\vec{v}_1.\1) \[\lim_{Delta t \a 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} \a \vec{v}_1.\1]Ahora podemos escribir la aceleración como: \frac{vec{v}_1}{r}{lim_{\delta t}{a 0}{frac{\delta x}{\delta t}\end{align*}]Como hemos tomado el límite a medida que el cambio en el tiempo se aproxima a cero, podemos eliminar los subíndices y considerar la magnitud de la velocidaden cualquier puntodel círculo. Llegamos ahora a la ecuación de la aceleración centrípeta en función de la velocidad: \[a_c=\frac{v^2}{r}.\]
Ecuación de la fuerza centrípeta y la velocidad
La ecuación de la fuerza centrípeta en función de la velocidad se obtiene utilizando la segunda ley de Newton: \[\begin{align*}F_c&=ma_c&=\frac{mv^2}{r}.\end{align*}]Observamos que la fuerza centrípeta es proporcional a la aceleración centrípeta y al cuadrado de la velocidad.
Es importante recordar que la ecuación anterior para la aceleración centrípeta está considerando la aceleración del centro de masa del sistema. Las variables utilizadas anteriormente para la posición, la velocidad y la aceleración son todas cantidades basadas en el centro de masa del objeto.
Gráfica de la fuerza centrípeta frente a la velocidad angular
Hasta ahora, en este artículo sólo hemos hablado de la velocidad lineal de un objeto en movimiento circular. Hablemos ahora un poco de la velocidad angular. Mientras que la velocidad lineal es el cambio de posición sobre el cambio de tiempo, la velocidad angular es el desplazamiento angular sobre el cambio de tiempo, \(\omega=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}.\) Utilizar la velocidad angular a veces es más conveniente que utilizar la velocidad lineal, como cuando un objeto gira sobre un eje. La magnitud de la velocidad lineal es proporcional a la velocidad angular como \(v=r\omega.\) Podemos relacionar la fuerza centrípeta con la velocidad angular sustituyendo esto en nuestra ecuación de antes para obtener: \El gráfico siguiente nos ayuda a visualizar la relación entre la fuerza centrípeta y la velocidad angular, suponiendo que la masa y el radio son constantes. La forma de este gráfico es la misma para la relación entre la fuerza centrípeta y la velocidad lineal.
Fig. 3 - Fuerza centrípeta respecto a la velocidad angular.
Ejemplos de fuerza centrípeta y velocidad
Utilizando las ecuaciones anteriores, podemos hallar la fuerza centrípeta para un objeto en movimiento circular. Hagamos un par de ejemplos para practicar un poco.
Una bola en un péndulo está sujeta a una cuerda de \(10,\mathrm{cm}) que se mueve en un círculo de \(5,\mathrm{cm}) de radio, como se muestra a continuación. La masa de la bola es de \(200\,\mathrm{g}\). Halla la magnitud de la fuerza centrípeta que actúa sobre la bola.
Fig. 4 - La fuerza de la gravedad y la tensión actúan sobre un péndulo.
Las únicas fuerzas que actúan sobre la bola son la gravedad y la fuerza de tensión de la cuerda. Como ya se ha comentado, la aceleración centrípeta apunta hacia el centro del círculo dibujado en la imagen, y por tanto la fuerza centrípeta también debe apuntar en esa dirección. Para calcular la fuerza centrípeta, necesitaríamos hallar la componente x de la fuerza de tensión. ¡Dibujemos algunos triángulos que nos ayuden!
Fig. 5 - Componentes de la fuerza de tracción de un péndulo.
Nuestro primer triángulo muestra que la bola forma un ángulo \(\theta\) con respecto a la normal. La hipotenusa del triángulo viene dada por la longitud de la cuerda; de momento la llamaremos \(L\). El radio del círculo, \(R\), también define un lado del triángulo. Podemos formar nuestro segundo triángulo a partir de las fuerzas que actúan sobre la pelota. Tenemos el mismo ángulo \(\theta\) con respecto a la normal, la fuerza de tensión \(\vec{T}\) es la hipotenusa y la fuerza de gravedad \(\vec{F}_g\) es el lado adyacente. Nuestro último triángulo divide la fuerza de tensión en sus componentes \(x\) y \(y\). Utilizando la trigonometría, obtenemos estas ecuaciones \[\begin{align*}\mathrm{sin}\theta&=\frac{R}{L}\\\\\mathrm{cos}\theta&=\frac{F_g}{T}\\\\\mathrm{sin}\theta&=\frac{T_x}{T}.\end{align*}]Ahora hemos abandonado la notación vectorial, ya que estamos considerando la magnitud de los vectores. Como buscamos la fuerza centrípeta, tenemos que resolver la componente x de la fuerza de tracción, ya que es la componente que apunta al centro del círculo. Resolviendo para \(T_x\) en términos de variables conocidas nos da: \[\begin{align*}\theta&=\mathrm{sin}^{-1}\Big(\frac{R}{L}\Big)\\\\T&=\frac{F_g}{\mathrm{cos}\theta}\\&=\frac{mg}{\mathrm{cos}\theta}\\\\T_x&=T\mathrm{sin}\theta\\&=\Big(\frac{mg}{\mathrm{cos}\theta}\Big)\mathrm{sin}\theta\\&=mg\mathrm{tan}\theta.\end{align*}]Sustituyendo los valores dados en el problema, obtenemos: \[\begin{align*}T_x&=(0.2\,\mathrm{kg})\big(9.8\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\big)\mathrm{tan}\Big(\mathrm{sin}^{-1}\Big(\frac{0.05\,\mathrm{m}}{0.1,\mathrm{m}}Big)\big)\frac=1,132,\mathrm{N}.\final{align*}]Por tanto, la magnitud de la fuerza centrípeta es \(1,132,\mathrm{N}).
Un coche \(1000,\mathrm{kg}) va por una curva de radio \(20,\mathrm{m}) con una velocidad de \(15,\mathrm{frac{m}{s}). ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento necesario para producir una fuerza centrípeta suficiente?
Anteriormente aprendimos que la magnitud de la fuerza centrípeta puede hallarse mediante \(F_c=m\frac{v^2}{R}.\) La fuerza que suministra el centrípeto en este problema viene dada por el rozamiento \(F_c=\mu F_n\), donde \(\mu) es el coeficiente de rozamiento y \(F_n\) es la fuerza normal. Como ya se ha dicho, la fuerza normal es igual a la fuerza de la gravedad, de modo que \(F_n=mg\). Sustituyendo esto en nuestra ecuación de la fuerza centrípeta obtenemos\[\begin{align*}F_c&=\mu F_n\\\frac{mv^2}{R}&=\mu mg\\ \mu&=\frac{v^2}{gR}\\&=\frac{\big(15\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\big)^2}{\big(9.8\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\big)(20\,\mathrm{m})}\\&=1.15.\end{align*}\]
Fuerza centrípeta y velocidad - Puntos clave
- La fuerza centrípeta es la fuerza total que actúa radialmente sobre un objeto para mantenerlo en un movimiento circular.
- La aceleración centrípeta es la componente radial de la aceleración de un objeto que se mueve circularmente.
- Tanto la fuerza centrípeta como la aceleración centrípeta son proporcionales a la velocidad al cuadrado.
- El vector fuerza centrípeta y el vector aceleración centrípeta apuntan siempre al centro del círculo.
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