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Fig. 1 - Felix Baumgartner está a punto de iniciar su inmersión espacial. Una vez que se inclina hacia delante, ¡ya no hay vuelta atrás!
Normalmente, la resistencia del aire le frenaría. Pero Felix estaba tan por encima de la Tierra que la resistencia del aire tenía un efecto demasiado pequeño, por lo que estaba en caída libre total. Antes de abrir su paracaídas, Félix había roto la barrera del sonido, así como numerosos récords mundiales. Este artículo tratará sobre lo que hizo que Félix alcanzara la velocidad que alcanzó -laaceleración gravitatoria: su valor, fórmula, unidades y cálculo- y también repasará algunos ejemplos de aceleración gravitatoria.
Valor de aceleración gravitatoria
Se dice que un objeto que sólo experimenta aceleración gravitatoria está en caída libre.
Laaceleración gravitatoria es la aceleración que experimenta un objeto cuando la gravedad es la única fuerza que actúa sobre él.
Independientemente de las masas o composiciones, todos los cuerpos aceleran al mismo ritmo en el vacío. Esto significa que si no hubiera rozamiento con el aire, dos objetos cualesquiera que cayeran desde la misma altura llegarían siempre al suelo simultáneamente. Pero, ¿de qué magnitud es esta aceleración? Pues depende de la magnitud de la fuerza con la que la Tierra nos atrae.
La magnitud de la fuerza que la Tierra ejerce sobre nosotros en un lugar fijo de la superficie viene determinada por el efecto combinado de la gravedad y la fuerza centrífuga causada por la rotación de la Tierra. Pero a las alturas habituales, podemos ignorar las contribuciones de esta última, ya que son insignificantes en comparación con la fuerza gravitatoria. Por tanto, sólo nos centraremos en la fuerza gravitatoria.
La fuerza de gravedad cerca de la superficie de la Tierra puede considerarse aproximadamente constante. Esto se debe a que cambia muy poco para las alturas normales, que son muy pequeñas en comparación con el radio de la Tierra. Esta es la razón por la que a menudo decimos que los objetos en la Tierra caen con una aceleración constante.
Esta aceleración de caída libre varía sobre la superficie de la Tierra, oscilando entre \(9,764\) y \(9,834\,\mathrm{m/s^2}\) según la altitud, la latitud y la longitud. Sin embargo, \(9,80665\mathrm/s^2) es el valor estándar convencional. Las zonas en las que este valor difiere significativamente se conocen comoanomalías gravitatorias.
Fórmula de la aceleración gravitatoria
Según la Ley de la Gravitación de Newton, existe una atracción gravitatoria entre dos masas cualesquiera y está orientada a impulsar a las dos masas una hacia la otra. Cada masa siente la misma magnitud de fuerza. Podemos calcularla utilizando
la siguiente ecuación:
$$F_g = G\frac{m_1 m_2}{r^2}\$$
donde \(m_1 \) y \(m_2 \) son las masas de los cuerpos, \(G\) es la constante gravitatoria igual a \(6,67 veces 10^{-11},\mathrm{frac{m^2}{s^2},kg}) , y \(r\) es la distancia entre los centros de masa de los cuerpos. Como vemos, la fuerza de la gravedad es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional a la distancia al cuadrado entre sus centros de masa. Cuando hablamos de un planeta como la Tierra, que atrae a un objeto regular, a menudo nos referimos a la fuerza gravitatoria como el peso de este objeto.
El peso de un objeto es la fuerza gravitatoria que un objeto astronómico ejerce sobre él.
Habrás visto que a menudo calculamos la magnitud del peso, \( W, \) de un objeto en la Tierra mediante la fórmula
$$W= mg,$$
donde \( m \) es la masa del objeto y \(g\) suele denominarse la aceleración debida a la gravedad en la Tierra. Pero, ¿de dónde procede este valor?
Sabemos que el peso de un cuerpo no es otra cosa que la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre él. Así que comparemos estas fuerzas:
&=m\textcolor W&=m\textcolor{#00b695}{g} \\F_g &= \frac{GM_\text{E} m}{r_\text{E}^2}= m \textcolor{#00b695}{\frac{GM_\text{E}}{r_\text{E}^2} \\ fin{alineado}
Si identificamos \( g\) como \( \frac{GM_\text{E}}{r_\text{E}} \) obtenemos un atajo para calcular la fuerza gravitatoria sobre el objeto -su peso- sencillo como \(w=mg\). Esto es tan útil que definimos una magnitud física para referirnos específicamente a ella: la fuerza del campo gravitatorio.
La intensidad del campo gravitatorio de un objeto astronómico en un punto se define como el vector de magnitud
$$ ||vec{g}| = \frac{||vec{F}_g|}{m}$$
La dirección de este vector apunta hacia el centro de masa del objeto.
Y ahora te preguntarás, entonces, ¿por qué la llamamos "aceleración debida a la Tierra"? Si el peso es la única fuerza que actúa sobre nuestro objeto, la Ley de Newtown Second nos dice que
\in{aligned} ma &= F\\\ma &= w\\\ ma &= mg\\ a &= g.\end{aligned}
la aceleración del objeto es igual a la magnitud de la fuerza del campo gravitatorio, ¡independientemente de la masa del objeto! Por eso calculamos la aceleración de caída libre o aceleración gravitatoria de la Tierra como
$$ g = \frac{GM_\text{E}}{r_\text{E}^2},$$
puesto que el valor numérico es el mismo, se trata sólo de una diferencia conceptual.
Observa que la aceleración gravitatoria de la Tierra sólo depende de la masa y el radio de la Tierra (puesto que estamos considerando que el objeto está en la superficie terrestre). Sin embargo, aquí hay una salvedad. La Tierra no es perfectamente esférica. Su radio cambia dependiendo de dónde nos encontremos. Debido a la forma de la Tierra, el valor de la aceleración gravitatoria es diferente en los polos que en el ecuador. Mientras que la gravedad en el ecuador es de alrededor de \(9,798,\mathrm{m/s^2}\), se aproxima a \(9,863,\mathrm{m/s^2}\) en los polos.
Unidades de aceleración gravitatoria
A partir de la fórmula del apartado anterior, podemos hallar la unidad de la aceleración gravitatoria. Recuerda que la unidad de la constante gravitatoria \(G\) es \(\mathrm{m^3/s^2\,kg}\), la unidad de masa es \(\mathrm{kg}\), y la unidad de distancia es \(\mathrm{m}\, \mathrm{meters}\). Podemos insertar estas unidades en nuestra ecuación para determinar las unidades de aceleración gravitatoria:
$$\begin{align*} [g] &=left[ \frac{Gm_\text{E} }{r_\text{E}^2}] \frac{\frac{\mathrm{m}^3,\mathrm{kg}}{\mathrm{s^2,kg}}{\mathrm{mathrm}} \derecha] \end{align*}$$
Entonces, podemos tachar los \(\mathrm{kg}) y los metros al cuadrado de arriba y de abajo:
$$[g]=\left[\mathrm{m/s^2}\right]\\\mathrm{.}$$
Así pues, la unidad de aceleración gravitatoria es \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}), ¡lo cual tiene sentido! Al fin y al cabo, ¡es una aceleración!
Observa que las unidades para la fuerza del campo gravitatorio, \( \vec{g}, \) son \( \mathrm{\frac{N}{kg}}. \) De nuevo, la diferencia es sólo conceptual. Y al fin y al cabo, \( 1\,\mathrm{frac{N}{kg}} =1\,\mathrm{frac{m}{s^2}}. \)
Cálculo de la aceleración gravitatoria
Ya hemos explicado cómo calcular la aceleración debida a la gravedad en la Tierra. Pero la misma idea se aplica a cualquier otro planeta o cuerpo astronómico. Podemos calcular su aceleración gravitatoria mediante la fórmula general
$$ g=\frac{GM}{R^2}.$$
En esta fórmula, \( M \) y \( R \) son la masa y el radio del objeto astronómico, respectivamente. Y podemos saber que la dirección de esta aceleración será siempre hacia el centro de masa del objeto astronómico.
Ahora, es el momento de aplicar algo de lo que sabemos a ejemplos del mundo real.
Calcula la aceleración gravitatoria debida a la gravedad en la Luna que tiene una masa de \(7,35 veces 10^{22} \,\mathrm{kg}) y un radio de \(1,74 veces 10^6 \,\mathrm{kg}).
Solución
Insertemos los valores dados en nuestra fórmula de la aceleración gravitatoria:
$$\begin{align*} g&= \frac{GM}{R^2}\\[6pt]g&=\frac{\left(6.67\times 10^{-11}\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2\,kg}}\right)\left(7.35 veces 10^{22},\mathrm{kg})}(1,74 veces 10^6 \mathrm{m})^2}. \\[6pt] g&=1.62\,\mathrm{m/s^2.} \fin{align*}$$
Calcula la aceleración debida a la gravedad a) en la superficie de la Tierra y b) \(r= 3500\,\mathrm{km}\) por encima de la superficie de la Tierra. La masa de la Tierra es \(5,97 veces 10^{24} \,\mathrm{kg}) y su radio es \(R_\text{E}=6,38 veces 10^6 \(\mathrm{kg}).
Fig 2. - En la imagen, para el caso \(A\), el objeto está en la superficie de la Tierra. Para el caso \(B\), estamos por encima de la superficie a unos \(3500\mathrm{km}\).
Solución
a) Cuando estemos en la superficie de la Tierra, tomaremos la distancia como el radio de la Tierra. Insertemos los valores en nuestra ecuación:
$$\begin{align*} g&=\frac{GM_\text{E} R_texto{E}^2} \\izquierda(6,67veces 10^-11}(6,38veces 10^6)(5,97veces 10^24)(6,38veces 10^6). \\g= 9,78 m/s^2. \\ fin{align*}$$
b) Cuando nos encontremos a \(3500,\mathrm{km}) por encima de la superficie de la Tierra, deberemos sumar este valor al radio de la Tierra, ya que la distancia total aumenta. Pero antes, no olvidemos convertir \(\mathrm{km}\) en \(\mathrm{m}\):
$$ r=3,5\ veces 10^6 \Nmathrm{m} + 6,38 veces 10^6 \Nmathrm{m} = 9,88 veces 10^6 \Nmathrm{m} $$
Ahora ya podemos sustituir y simplificar.
$$\begin{align*}g&=\frac{Gm_\text{E}}{r^2} \\izquierda(6,67 veces 10^{-11} μmathrm{\frac{m^3} {s^2,kg} {derecha)(5,97 veces 10^24 μmathrm{kg})}{(9,88 veces 10^6 μmathrm{m})^2}. \\[6pt] g&=4.08\,\mathrm{m/s^2.}\end{align*}$$
Como vemos, cuando la distancia es tan grande que es significativa en comparación con el radio de la Tierra, la aceleración debida a la gravedad ya no puede considerarse constante, pues disminuye notablemente.
Ejemplos de aceleración gravitatoria
En el ejemplo anterior, vimos que a medida que aumenta la altitud, disminuye el valor de la gravedad. Si observamos el gráfico siguiente, veremos cómo cambia exactamente. Observa que no se trata de una relación lineal. Esto es lo que se espera de nuestra ecuación, ya que la gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
Fig. 3 - Éste es un gráfico de la aceleración gravitatoria frente a la altitud. A medida que aumenta la altitud, disminuye el valor de la gravedad.
La aceleración gravitatoria tiene valores diferentes para los distintos planetas debido a sus diferentes masas y tamaños. En la siguiente tabla, podemos ver la aceleración gravitatoria en las superficies de diferentes cuerpos astronómicos.
| Cuerpo | Aceleración gravitatoria \(\mathrm{m/s^2}\) |
| Sol | \(274.1\) |
| Mercurio | \(3.703\) |
| Venus | \(8.872\) |
| Marte | \(3.72\) |
| Júpiter | \(25.9\) |
| Urano | \(9.01\) |
Aceleración gravitatoria - Puntos clave
- La aceleracióngravitatoria es la aceleración que experimenta un objeto cuando la gravedad es la única fuerza que actúa sobre él.
- La fuerza de la gravedad es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional a la distancia al cuadrado entre sus centros de masa$$F_g = G\frac{m_1 m_2}{r^2}.$$
- El peso de un objeto es la fuerza gravitatoria que un objeto astronómico ejerce sobre él.
- Si la fuerza de gravedad entre el centro de masa de dos sistemas tiene un cambio despreciable a medida que cambia la posición relativa entre ambos sistemas, la fuerza gravitatoria puede considerarse constante.
- El valor estándar convencional de la aceleración gravitatoria en la Tierra es \(9,80665\,\mathrm{m/s^2}.\)
- A medida que aumenta la altitud, disminuye la gravedad. Este efecto es perceptible para alturas que no son despreciables en comparación con el radio de la Tierra.
- Un objeto que sólo experimenta la aceleración gravitatoria se dice que está en caída libre.
- Todos los objetos caen a la misma velocidad cuando están en caída libre.
- Cuando el peso es la única fuerza que actúa sobre un objeto, su aceleración es igual a la magnitud de la intensidad del campo gravitatorio, pero en \( \mathrm{\frac{m}{s}.\})
Referencias
- Fig. 1 -Salto espacial (https://www.flickr.com/photos/massimotiga/8090904418) de Massimo Tiga Pellicciardi (https://www.flickr.com/photos/massimotiga/) está bajo licencia CC BY 2.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/2.0/)
- Fig. 2 - Ejemplo de aceleración gravitatoria de la Tierra, StudySmarter Originals
- Fig. 3 - Cambios de la aceleración gravitatoria con la altitud, StudySmarter Originals
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