Imagínate que tu profesor llega a clase, os da un lápiz y dice que lo midáis. Cada uno de vosotros coge su regla, mide el lápiz y obtiene una medida muy parecida; pero, en algunos casos, algo diferente. Esto se debe a que, por ejemplo, una regla puede ser más precisa que la otra, o alguien ha hecho la medición tomando referencias distintas. Por tanto, cuando el profesor os pregunte cuánto mide el lápiz, no le podréis dar un valor sin más, sino que tendréis que acompañarlo con el error estimado.
Para estimar el error en una medición, necesitamos conocer el valor esperado o estándar y comparar en qué medida nuestros valores medidos se desvían del valor esperado. Las diferentes formas de estimar los errores en nuestras mediciones son:
- Error absoluto.
- Error relativo.
- Error porcentual
La estimación del error también puede utilizar el valor medio de todas las mediciones, si no hay un valor esperado o un valor estándar.
El valor medio
El valor medio (o la media) es la suma de todos los números divididos por el número total de mediciones.
El valor medio se emplea para entender la tendencia central en un set de datos. Para calcular la media, tenemos que sumar todos los valores medidos de \(x\) y dividirlos por el número de valores que hemos tomado.
La fórmula para calcular la media es:
\[\text{Valor medio}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_n}{n}\]
Supongamos que tenemos cinco mediciones, con los valores \(3,4{,} \,3,3{,}\, 3,342{,}\, 3,56\) y \(3,28\).
Si sumamos todos estos valores y los dividimos por el número de mediciones (cinco), obtenemos \(3,3764\).
\[\text{Valor medio}=\dfrac{3,4+3,3+3,342+3,56+3,28}{5}=3,3764\]
Como nuestras mediciones solo tienen dos decimales, podemos redondearlo a \(3,38\).
Teoría de errores
Cuando realizamos mediciones experimentales, tenemos que considerar los errores causados por los instrumentos de medición, los errores accidentales o aleatorios, los métodos numéricos, etc. Como ves, existen muchas causas de error, por lo que es importante saber estimar cada tipo de error.
En física, un error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente.
Además, los errores se pueden clasificar, no únicamente por su procedencia, sino también por aquello que quieren indicar. En este artículo vamos a distinguir entre la estimación del error absoluto, el error relativo y el error porcentual.
Estimación del error absoluto
Para estimar el error absoluto, tenemos que calcular la diferencia entre el valor medido \(x_0\) y el valor esperado o estándar \(x_{ref}\):
\[\text{Error absoluto}=|x_0-x_{ref}|\]
Imagina que calculas la longitud de un trozo de madera. Sabes que mide \(2 \,\,\mathrm{m}\) con una precisión muy alta de \(\pm 0,00001\,\,\mathrm{m}\).
La precisión de la longitud es tan alta que se toma como \(2\,\,\mathrm{m}\).
Si el instrumento lee \(2,003\,\,\mathrm{m}\), el error absoluto es \(|2,003\mathrm{m}-2\,\,\mathrm{m}|\) o \(0,003\,\,\mathrm{m}\).
Estimación del error relativo
Para estimar el error relativo, tenemos que calcular la diferencia entre el valor medido \(x_0\) y el valor estándar \(x_{ref}\) y dividirla por la magnitud total del valor estándar \(x_{ref}\):
\[\text{Error relativo}=\dfrac{|x_0-x_{ref}|}{|x_{ref}|}\]
Utilizando las cifras del ejemplo anterior, el error relativo de las mediciones es
\[\dfrac{| 2,003\,\,\mathrm{m}-2\,\,\mathrm{m} |}{| 2 \, \, \mathrm{m} |}=0,0015\]
Como puedes ver, el error relativo es muy pequeño y no tiene unidades.
Estimación del error porcentual
Para estimar el porcentaje de error, tenemos que calcular el error relativo y multiplicarlo por cien. El error porcentual se expresa como valor de error \(\%\) y nos indica el porcentaje de desviación causado por el error:
\[\text{Error porcentual}=\dfrac{|x_0-x_{ref}|}{|x_{ref}|}\cdot 100 \%\]
Utilizando las cifras del ejemplo anterior, el porcentaje de error es del 0,15%.
¿Qué es la línea de mejor ajuste?
Aquí, muchos de nuestros puntos están dispersos. Sin embargo, a pesar de esta dispersión de datos, parecen seguir una progresión lineal. La línea que más se acerca a todos esos puntos es la línea de mejor ajuste.
¿Cuándo utilizar la línea de mejor ajuste?
Para poder utilizar la recta de mejor ajuste, los datos deben seguir algunas pautas:
- La relación entre las mediciones y los datos debe ser lineal.
- La dispersión de los valores puede ser grande, pero la tendencia debe ser clara.
- La recta debe pasar cerca de todos los valores.
Valores atípicos de los datos
Como ya hemos dicho, a veces, en un gráfico hay valores fuera del rango normal; estos se denominan valores atípicos. Si los valores atípicos son menos numerosos que los puntos de datos que siguen la línea, estos pueden ignorarse. Sin embargo, los valores atípicos suelen estar relacionados con errores en las mediciones. En la imagen siguiente, el punto rojo es un valor atípico.
Trazado de la línea de mejor ajuste
Para dibujar la línea de mejor ajuste, tenemos que trazar una línea que pase por los puntos de nuestras mediciones. Si la línea se cruza con el eje \(y\), antes que con el eje \(x\), el valor de \(y\) será nuestro valor mínimo al medir.
La inclinación o pendiente de la recta es la relación directa entre \(x\) y \(y\): cuanto mayor sea la pendiente, más vertical será:
- Una pendiente grande significa que los datos cambian muy rápido al aumentar \(x\).
- Una pendiente suave indica un cambio muy lento de los datos.
Cálculo de la incertidumbre en un gráfico
En un diagrama o gráfico con barras de error, puede haber muchas líneas que pasen entre las barras. Podemos calcular la incertidumbre de los datos utilizando las barras de error y las líneas que pasan entre ellas. Mira el siguiente ejemplo de tres líneas que pasan entre valores con barras de error:
¿Cómo calcular la incertidumbre en un gráfico?
Para calcular la incertidumbre en un gráfico, necesitas conocer los valores de incertidumbre en este:
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