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Imagínate que tu profesor llega a clase, os da un lápiz y dice que lo midáis. Cada uno de vosotros coge su regla, mide el lápiz y obtiene una medida muy parecida; pero, en algunos casos, algo diferente. Esto se debe a que, por ejemplo, una regla puede ser más precisa que la otra, o alguien ha hecho la medición…
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Jetzt kostenlos anmeldenImagínate que tu profesor llega a clase, os da un lápiz y dice que lo midáis. Cada uno de vosotros coge su regla, mide el lápiz y obtiene una medida muy parecida; pero, en algunos casos, algo diferente. Esto se debe a que, por ejemplo, una regla puede ser más precisa que la otra, o alguien ha hecho la medición tomando referencias distintas. Por tanto, cuando el profesor os pregunte cuánto mide el lápiz, no le podréis dar un valor sin más, sino que tendréis que acompañarlo con el error estimado.
Para estimar el error en una medición, necesitamos conocer el valor esperado o estándar y comparar en qué medida nuestros valores medidos se desvían del valor esperado. Las diferentes formas de estimar los errores en nuestras mediciones son:
La estimación del error también puede utilizar el valor medio de todas las mediciones, si no hay un valor esperado o un valor estándar.
El valor medio (o la media) es la suma de todos los números divididos por el número total de mediciones.
El valor medio se emplea para entender la tendencia central en un set de datos. Para calcular la media, tenemos que sumar todos los valores medidos de \(x\) y dividirlos por el número de valores que hemos tomado.
La fórmula para calcular la media es:
\[\text{Valor medio}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_n}{n}\]
Supongamos que tenemos cinco mediciones, con los valores \(3,4{,} \,3,3{,}\, 3,342{,}\, 3,56\) y \(3,28\).
Si sumamos todos estos valores y los dividimos por el número de mediciones (cinco), obtenemos \(3,3764\).
\[\text{Valor medio}=\dfrac{3,4+3,3+3,342+3,56+3,28}{5}=3,3764\]
Como nuestras mediciones solo tienen dos decimales, podemos redondearlo a \(3,38\).
Cuando realizamos mediciones experimentales, tenemos que considerar los errores causados por los instrumentos de medición, los errores accidentales o aleatorios, los métodos numéricos, etc. Como ves, existen muchas causas de error, por lo que es importante saber estimar cada tipo de error.
En física, un error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente.
Además, los errores se pueden clasificar, no únicamente por su procedencia, sino también por aquello que quieren indicar. En este artículo vamos a distinguir entre la estimación del error absoluto, el error relativo y el error porcentual.
Para estimar el error absoluto, tenemos que calcular la diferencia entre el valor medido \(x_0\) y el valor esperado o estándar \(x_{ref}\):
\[\text{Error absoluto}=|x_0-x_{ref}|\]
Imagina que calculas la longitud de un trozo de madera. Sabes que mide \(2 \,\,\mathrm{m}\) con una precisión muy alta de \(\pm 0,00001\,\,\mathrm{m}\).
La precisión de la longitud es tan alta que se toma como \(2\,\,\mathrm{m}\).
Si el instrumento lee \(2,003\,\,\mathrm{m}\), el error absoluto es \(|2,003\mathrm{m}-2\,\,\mathrm{m}|\) o \(0,003\,\,\mathrm{m}\).
Para estimar el error relativo, tenemos que calcular la diferencia entre el valor medido \(x_0\) y el valor estándar \(x_{ref}\) y dividirla por la magnitud total del valor estándar \(x_{ref}\):
\[\text{Error relativo}=\dfrac{|x_0-x_{ref}|}{|x_{ref}|}\]
Utilizando las cifras del ejemplo anterior, el error relativo de las mediciones es
\[\dfrac{| 2,003\,\,\mathrm{m}-2\,\,\mathrm{m} |}{| 2 \, \, \mathrm{m} |}=0,0015\]
Como puedes ver, el error relativo es muy pequeño y no tiene unidades.
Para estimar el porcentaje de error, tenemos que calcular el error relativo y multiplicarlo por cien. El error porcentual se expresa como valor de error \(\%\) y nos indica el porcentaje de desviación causado por el error:
\[\text{Error porcentual}=\dfrac{|x_0-x_{ref}|}{|x_{ref}|}\cdot 100 \%\]
Utilizando las cifras del ejemplo anterior, el porcentaje de error es del 0,15%.
La línea o recta de mejor ajuste se usa cuando se trazan datos en los que una variable depende de otra. Por su naturaleza, una variable cambia de valor, y podemos medir los cambios trazándolos en un gráfico frente a otra variable —como el tiempo—. La relación entre dos variables suele ser lineal.
La línea de mejor ajuste será la línea que más se acerque a todos los valores trazados.
Algunos valores pueden estar lejos de la línea de mejor ajuste; estos se denominan valores atípicos. Sin embargo, la recta de mejor ajuste no es un método útil para todos los datos, por lo que debemos saber cómo y cuándo emplearla.
Para obtener la recta de mejor ajuste, tenemos que trazar los puntos como en el ejemplo siguiente:
Aquí, muchos de nuestros puntos están dispersos. Sin embargo, a pesar de esta dispersión de datos, parecen seguir una progresión lineal. La línea que más se acerca a todos esos puntos es la línea de mejor ajuste.
Para poder utilizar la recta de mejor ajuste, los datos deben seguir algunas pautas:
Como ya hemos dicho, a veces, en un gráfico hay valores fuera del rango normal; estos se denominan valores atípicos. Si los valores atípicos son menos numerosos que los puntos de datos que siguen la línea, estos pueden ignorarse. Sin embargo, los valores atípicos suelen estar relacionados con errores en las mediciones. En la imagen siguiente, el punto rojo es un valor atípico.
Para dibujar la línea de mejor ajuste, tenemos que trazar una línea que pase por los puntos de nuestras mediciones. Si la línea se cruza con el eje \(y\), antes que con el eje \(x\), el valor de \(y\) será nuestro valor mínimo al medir.
La inclinación o pendiente de la recta es la relación directa entre \(x\) y \(y\): cuanto mayor sea la pendiente, más vertical será:
En un diagrama o gráfico con barras de error, puede haber muchas líneas que pasen entre las barras. Podemos calcular la incertidumbre de los datos utilizando las barras de error y las líneas que pasan entre ellas. Mira el siguiente ejemplo de tres líneas que pasan entre valores con barras de error:
Para calcular la incertidumbre en un gráfico, necesitas conocer los valores de incertidumbre en este:
Veamos un ejemplo de esto, utilizando datos de temperatura frente al tiempo:
Calcula la incertidumbre de los datos en el gráfico siguiente.
El gráfico se usa para aproximar la incertidumbre y calcularla a partir del mismo.
Tiempo (\(\mathrm{s}\)) | 20 | 40 | 60 | 80 |
Temperatura en Celsius | \(84,5 \pm 1\) | \( 87\pm 0,9\) | \(90,1\pm 0,7\) | \(94,9 \pm 1\) |
Tabla 1: Tiempo vs. temperatura.
Para calcular la incertidumbre, tienes que trazar la línea con la mayor pendiente (en rojo) y la línea con la menor pendiente (en verde).
Para ello, hay que considerar las pendientes más y menos pronunciadas de una línea que pase entre los puntos, teniendo en cuenta las barras de error. Este método te dará solo un resultado aproximado, dependiendo de las líneas que elijas.
Calcula la pendiente de la línea roja, como se indica a continuación, tomando los puntos de \(t=80\) y \(t=60\).
\[\dfrac{(94,9+1)^{\circ}C-(90,1+0,7)^{\circ}C}{(80-60)}=0,255 \, ^{\circ}C\]
Ahora, calcula la pendiente de la línea verde, tomando los puntos de \(t=80\) y \(t=20\).
\[\dfrac{(94,9-1)^{\circ}C-(84,5+1)^{\circ}C}{(80-20)}=0,14 \, ^{\circ}C\]
A continuación, restas la pendiente de la verde (\(m_2\)) de la pendiente de la roja (\(m_1\)) y divides por 2.
\[\text{Incertidumbre}=\dfrac{0,255^{\circ}C-0,14^{\circ}C}{2}=0,0575^{\circ}C\]
Como nuestras mediciones de temperatura solo tienen dos dígitos significativos después del punto decimal, redondeamos el resultado a \(0,06\) Celsius.
El valor medio, o la media, es la suma de todos los números divididos por el total de números.
Podemos aproximar la relación entre los valores medidos empleando una función lineal. Esta aproximación se puede hacer simplemente dibujando una línea, que debe ser la línea de mejor ajuste que pasa más cerca de todos los valores.
El error absoluto es la diferencia entre el valor medido x0 y el valor esperado o estándar xref.
El error es la diferencia entre el valor verdadero y el que se obtuvo experimentalmente.
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