Estimación de errores

Imagínate que tu profesor llega a clase, os da un lápiz y dice que lo midáis. Cada uno de vosotros coge su regla, mide el lápiz y obtiene una medida muy parecida; pero, en algunos casos, algo diferente. Esto se debe a que, por ejemplo, una regla puede ser más precisa que la otra, o alguien ha hecho la medición tomando referencias distintas. Por tanto, cuando el profesor os pregunte cuánto mide el lápiz, no le podréis dar un valor sin más, sino que tendréis que acompañarlo con el error estimado.

Para estimar el error en una medición, necesitamos conocer el valor esperado o estándar y comparar en qué medida nuestros valores medidos se desvían del valor esperado. Las diferentes formas de estimar los errores en nuestras mediciones son:

• Error absoluto.
• Error relativo.
• Error porcentual

El valor medio

El valor medio se emplea para entender la tendencia central en un set de datos. Para calcular la media, tenemos que sumar todos los valores medidos de \(x\) y dividirlos por el número de valores que hemos tomado.

La fórmula para calcular la media es:

\[\text{Valor medio}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_n}{n}\]

Teoría de errores

Cuando realizamos mediciones experimentales, tenemos que considerar los errores causados por los instrumentos de medición, los errores accidentales o aleatorios, los métodos numéricos, etc. Como ves, existen muchas causas de error, por lo que es importante saber estimar cada tipo de error.

Además, los errores se pueden clasificar, no únicamente por su procedencia, sino también por aquello que quieren indicar. En este artículo vamos a distinguir entre la estimación del error absoluto, el error relativo y el error porcentual.

Estimación del error absoluto

Para estimar el error absoluto, tenemos que calcular la diferencia entre el valor medido \(x_0\) y el valor esperado o estándar \(x_{ref}\):

\[\text{Error absoluto}=|x_0-x_{ref}|\]

Estimación del error relativo

Para estimar el error relativo, tenemos que calcular la diferencia entre el valor medido \(x_0\) y el valor estándar \(x_{ref}\) y dividirla por la magnitud total del valor estándar \(x_{ref}\):

\[\text{Error relativo}=\dfrac{|x_0-x_{ref}|}{|x_{ref}|}\]

Estimación del error porcentual

Para estimar el porcentaje de error, tenemos que calcular el error relativo y multiplicarlo por cien. El error porcentual se expresa como valor de error \(\%\) y nos indica el porcentaje de desviación causado por el error:

\[\text{Error porcentual}=\dfrac{|x_0-x_{ref}|}{|x_{ref}|}\cdot 100 \%\]

¿Qué es la línea de mejor ajuste?

La línea o recta de mejor ajuste se usa cuando se trazan datos en los que una variable depende de otra. Por su naturaleza, una variable cambia de valor, y podemos medir los cambios trazándolos en un gráfico frente a otra variable —como el tiempo—. La relación entre dos variables suele ser lineal.

Algunos valores pueden estar lejos de la línea de mejor ajuste; estos se denominan valores atípicos. Sin embargo, la recta de mejor ajuste no es un método útil para todos los datos, por lo que debemos saber cómo y cuándo emplearla.

Obtención de la línea de mejor ajuste

Para obtener la recta de mejor ajuste, tenemos que trazar los puntos como en el ejemplo siguiente:

¿Cuándo utilizar la línea de mejor ajuste?

Para poder utilizar la recta de mejor ajuste, los datos deben seguir algunas pautas:

1. La relación entre las mediciones y los datos debe ser lineal.
2. La dispersión de los valores puede ser grande, pero la tendencia debe ser clara.
3. La recta debe pasar cerca de todos los valores.

Valores atípicos de los datos

Como ya hemos dicho, a veces, en un gráfico hay valores fuera del rango normal; estos se denominan valores atípicos. Si los valores atípicos son menos numerosos que los puntos de datos que siguen la línea, estos pueden ignorarse. Sin embargo, los valores atípicos suelen estar relacionados con errores en las mediciones. En la imagen siguiente, el punto rojo es un valor atípico.

Trazado de la línea de mejor ajuste

Para dibujar la línea de mejor ajuste, tenemos que trazar una línea que pase por los puntos de nuestras mediciones. Si la línea se cruza con el eje \(y\), antes que con el eje \(x\), el valor de \(y\) será nuestro valor mínimo al medir.

La inclinación o pendiente de la recta es la relación directa entre \(x\) y \(y\): cuanto mayor sea la pendiente, más vertical será:

• Una pendiente grande significa que los datos cambian muy rápido al aumentar \(x\).
• Una pendiente suave indica un cambio muy lento de los datos.

Cálculo de la incertidumbre en un gráfico

En un diagrama o gráfico con barras de error, puede haber muchas líneas que pasen entre las barras. Podemos calcular la incertidumbre de los datos utilizando las barras de error y las líneas que pasan entre ellas. Mira el siguiente ejemplo de tres líneas que pasan entre valores con barras de error:

¿Cómo calcular la incertidumbre en un gráfico?

Para calcular la incertidumbre en un gráfico, necesitas conocer los valores de incertidumbre en este:

• Calcula dos líneas de mejor ajuste.
• La primera línea (la verde en la imagen de arriba) va desde el valor más alto de la primera barra de error hasta el valor más bajo de la última barra de error.
• La segunda línea (roja) va desde el valor más bajo de la primera barra de error hasta el valor más alto de la última barra de error.
• Calcula la pendiente \(m\) de las rectas utilizando la fórmula siguiente: \[m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
• Para la primera línea, \(y_2\) es el valor del punto menos su incertidumbre; mientras que \(y_1\) es el valor del punto más su incertidumbre. Los valores \(x_2\) y \(x_1\) son los valores del eje x.
• Para la segunda línea, \(y_2\) es el valor del punto más su incertidumbre, mientras que \(y_1\) es el valor del punto menos su incertidumbre. Los valores \(x_2\) y \(x_1\) son los valores del eje x.
• Se suman ambos resultados y se dividen por dos: \[\text{Incertidumbre}=\dfrac{m_{\text{rojo}}-m_{\text{verde}}}{2}\].

Veamos un ejemplo de esto, utilizando datos de temperatura frente al tiempo: