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Estimación de errores

Imagínate que tu profesor llega a clase, os da un lápiz y dice que lo midáis. Cada uno de vosotros coge su regla, mide el lápiz y obtiene una medida muy parecida; pero, en algunos casos, algo diferente. Esto se debe a que, por ejemplo, una regla puede ser más precisa que la otra, o alguien ha hecho la medición tomando referencias distintas. Por tanto, cuando el profesor os pregunte cuánto mide el lápiz, no le podréis dar un valor sin más, sino que tendréis que acompañarlo con el error estimado.

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Imagínate que tu profesor llega a clase, os da un lápiz y dice que lo midáis. Cada uno de vosotros coge su regla, mide el lápiz y obtiene una medida muy parecida; pero, en algunos casos, algo diferente. Esto se debe a que, por ejemplo, una regla puede ser más precisa que la otra, o alguien ha hecho la medición tomando referencias distintas. Por tanto, cuando el profesor os pregunte cuánto mide el lápiz, no le podréis dar un valor sin más, sino que tendréis que acompañarlo con el error estimado.

Para estimar el error en una medición, necesitamos conocer el valor esperado o estándar y comparar en qué medida nuestros valores medidos se desvían del valor esperado. Las diferentes formas de estimar los errores en nuestras mediciones son:

  • Error absoluto.
  • Error relativo.
  • Error porcentual

La estimación del error también puede utilizar el valor medio de todas las mediciones, si no hay un valor esperado o un valor estándar.

El valor medio

El valor medio (o la media) es la suma de todos los números divididos por el número total de mediciones.

El valor medio se emplea para entender la tendencia central en un set de datos. Para calcular la media, tenemos que sumar todos los valores medidos de \(x\) y dividirlos por el número de valores que hemos tomado.

La fórmula para calcular la media es:

\[\text{Valor medio}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_n}{n}\]

Supongamos que tenemos cinco mediciones, con los valores \(3,4{,} \,3,3{,}\, 3,342{,}\, 3,56\) y \(3,28\).

Si sumamos todos estos valores y los dividimos por el número de mediciones (cinco), obtenemos \(3,3764\).

\[\text{Valor medio}=\dfrac{3,4+3,3+3,342+3,56+3,28}{5}=3,3764\]

Como nuestras mediciones solo tienen dos decimales, podemos redondearlo a \(3,38\).

Teoría de errores

Cuando realizamos mediciones experimentales, tenemos que considerar los errores causados por los instrumentos de medición, los errores accidentales o aleatorios, los métodos numéricos, etc. Como ves, existen muchas causas de error, por lo que es importante saber estimar cada tipo de error.

En física, un error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente.

Además, los errores se pueden clasificar, no únicamente por su procedencia, sino también por aquello que quieren indicar. En este artículo vamos a distinguir entre la estimación del error absoluto, el error relativo y el error porcentual.

Estimación del error absoluto

Para estimar el error absoluto, tenemos que calcular la diferencia entre el valor medido \(x_0\) y el valor esperado o estándar \(x_{ref}\):

\[\text{Error absoluto}=|x_0-x_{ref}|\]

Imagina que calculas la longitud de un trozo de madera. Sabes que mide \(2 \,\,\mathrm{m}\) con una precisión muy alta de \(\pm 0,00001\,\,\mathrm{m}\).

La precisión de la longitud es tan alta que se toma como \(2\,\,\mathrm{m}\).

Si el instrumento lee \(2,003\,\,\mathrm{m}\), el error absoluto es \(|2,003\mathrm{m}-2\,\,\mathrm{m}|\) o \(0,003\,\,\mathrm{m}\).

Estimación del error relativo

Para estimar el error relativo, tenemos que calcular la diferencia entre el valor medido \(x_0\) y el valor estándar \(x_{ref}\) y dividirla por la magnitud total del valor estándar \(x_{ref}\):

\[\text{Error relativo}=\dfrac{|x_0-x_{ref}|}{|x_{ref}|}\]

Utilizando las cifras del ejemplo anterior, el error relativo de las mediciones es

\[\dfrac{| 2,003\,\,\mathrm{m}-2\,\,\mathrm{m} |}{| 2 \, \, \mathrm{m} |}=0,0015\]

Como puedes ver, el error relativo es muy pequeño y no tiene unidades.

Estimación del error porcentual

Para estimar el porcentaje de error, tenemos que calcular el error relativo y multiplicarlo por cien. El error porcentual se expresa como valor de error \(\%\) y nos indica el porcentaje de desviación causado por el error:

\[\text{Error porcentual}=\dfrac{|x_0-x_{ref}|}{|x_{ref}|}\cdot 100 \%\]

Utilizando las cifras del ejemplo anterior, el porcentaje de error es del 0,15%.

¿Qué es la línea de mejor ajuste?

La línea o recta de mejor ajuste se usa cuando se trazan datos en los que una variable depende de otra. Por su naturaleza, una variable cambia de valor, y podemos medir los cambios trazándolos en un gráfico frente a otra variable —como el tiempo—. La relación entre dos variables suele ser lineal.

La línea de mejor ajuste será la línea que más se acerque a todos los valores trazados.

Algunos valores pueden estar lejos de la línea de mejor ajuste; estos se denominan valores atípicos. Sin embargo, la recta de mejor ajuste no es un método útil para todos los datos, por lo que debemos saber cómo y cuándo emplearla.

Obtención de la línea de mejor ajuste

Para obtener la recta de mejor ajuste, tenemos que trazar los puntos como en el ejemplo siguiente:

Aquí, muchos de nuestros puntos están dispersos. Sin embargo, a pesar de esta dispersión de datos, parecen seguir una progresión lineal. La línea que más se acerca a todos esos puntos es la línea de mejor ajuste.

¿Cuándo utilizar la línea de mejor ajuste?

Para poder utilizar la recta de mejor ajuste, los datos deben seguir algunas pautas:

  1. La relación entre las mediciones y los datos debe ser lineal.
  2. La dispersión de los valores puede ser grande, pero la tendencia debe ser clara.
  3. La recta debe pasar cerca de todos los valores.

Valores atípicos de los datos

Como ya hemos dicho, a veces, en un gráfico hay valores fuera del rango normal; estos se denominan valores atípicos. Si los valores atípicos son menos numerosos que los puntos de datos que siguen la línea, estos pueden ignorarse. Sin embargo, los valores atípicos suelen estar relacionados con errores en las mediciones. En la imagen siguiente, el punto rojo es un valor atípico.

Trazado de la línea de mejor ajuste

Para dibujar la línea de mejor ajuste, tenemos que trazar una línea que pase por los puntos de nuestras mediciones. Si la línea se cruza con el eje \(y\), antes que con el eje \(x\), el valor de \(y\) será nuestro valor mínimo al medir.

La inclinación o pendiente de la recta es la relación directa entre \(x\) y \(y\): cuanto mayor sea la pendiente, más vertical será:

  • Una pendiente grande significa que los datos cambian muy rápido al aumentar \(x\).
  • Una pendiente suave indica un cambio muy lento de los datos.

Cálculo de la incertidumbre en un gráfico

En un diagrama o gráfico con barras de error, puede haber muchas líneas que pasen entre las barras. Podemos calcular la incertidumbre de los datos utilizando las barras de error y las líneas que pasan entre ellas. Mira el siguiente ejemplo de tres líneas que pasan entre valores con barras de error:

¿Cómo calcular la incertidumbre en un gráfico?

Para calcular la incertidumbre en un gráfico, necesitas conocer los valores de incertidumbre en este:

  • Calcula dos líneas de mejor ajuste.
  • La primera línea (la verde en la imagen de arriba) va desde el valor más alto de la primera barra de error hasta el valor más bajo de la última barra de error.
  • La segunda línea (roja) va desde el valor más bajo de la primera barra de error hasta el valor más alto de la última barra de error.
  • Calcula la pendiente \(m\) de las rectas utilizando la fórmula siguiente: \[m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
  • Para la primera línea, \(y_2\) es el valor del punto menos su incertidumbre; mientras que \(y_1\) es el valor del punto más su incertidumbre. Los valores \(x_2\) y \(x_1\) son los valores del eje x.
  • Para la segunda línea, \(y_2\) es el valor del punto más su incertidumbre, mientras que \(y_1\) es el valor del punto menos su incertidumbre. Los valores \(x_2\) y \(x_1\) son los valores del eje x.
  • Se suman ambos resultados y se dividen por dos: \[\text{Incertidumbre}=\dfrac{m_{\text{rojo}}-m_{\text{verde}}}{2}\].

Veamos un ejemplo de esto, utilizando datos de temperatura frente al tiempo:

Calcula la incertidumbre de los datos en el gráfico siguiente.

El gráfico se usa para aproximar la incertidumbre y calcularla a partir del mismo.

Tiempo (\(\mathrm{s}\))20406080
Temperatura en Celsius\(84,5 \pm 1\)\( 87\pm 0,9\)\(90,1\pm 0,7\)\(94,9 \pm 1\)

Tabla 1: Tiempo vs. temperatura.

Para calcular la incertidumbre, tienes que trazar la línea con la mayor pendiente (en rojo) y la línea con la menor pendiente (en verde).

Para ello, hay que considerar las pendientes más y menos pronunciadas de una línea que pase entre los puntos, teniendo en cuenta las barras de error. Este método te dará solo un resultado aproximado, dependiendo de las líneas que elijas.

Calcula la pendiente de la línea roja, como se indica a continuación, tomando los puntos de \(t=80\) y \(t=60\).

\[\dfrac{(94,9+1)^{\circ}C-(90,1+0,7)^{\circ}C}{(80-60)}=0,255 \, ^{\circ}C\]

Ahora, calcula la pendiente de la línea verde, tomando los puntos de \(t=80\) y \(t=20\).

\[\dfrac{(94,9-1)^{\circ}C-(84,5+1)^{\circ}C}{(80-20)}=0,14 \, ^{\circ}C\]

A continuación, restas la pendiente de la verde (\(m_2\)) de la pendiente de la roja (\(m_1\)) y divides por 2.

\[\text{Incertidumbre}=\dfrac{0,255^{\circ}C-0,14^{\circ}C}{2}=0,0575^{\circ}C\]

Como nuestras mediciones de temperatura solo tienen dos dígitos significativos después del punto decimal, redondeamos el resultado a \(0,06\) Celsius.

Estimación de errores - Puntos clave

  • Se pueden estimar los errores de un valor medido comparándolo con un valor estándar o de referencia.
  • El error puede estimarse como un error absoluto, un error porcentual o un error relativo.
  • El error absoluto mide la diferencia total entre el valor que se espera de una medición (\(x_0\)) y el valor obtenido (\(x_{ref}\), igual a la diferencia de valor absoluto de ambos \(| x_0-x_{ref}|\).
  • Los errores relativos y porcentuales miden la fracción de la diferencia entre el valor esperado y el valor medido.
  • Podemos aproximar la relación entre los valores medidos utilizando una función lineal. Esta aproximación se puede hacer simplemente dibujando una línea, que debe ser la línea que pasa más cerca de todos los valores (la línea de mejor ajuste).

Preguntas frecuentes sobre Estimación de errores

El valor medio, o la media, es la suma de todos los números divididos por el total de números.

Podemos aproximar la relación entre los valores medidos empleando una función lineal. Esta aproximación se puede hacer simplemente dibujando una línea, que debe ser la línea de mejor ajuste que pasa más cerca de todos los valores.

El error absoluto es la diferencia entre el valor medido xy el valor esperado o estándar xref.

El error es la diferencia entre el valor verdadero y el que se obtuvo experimentalmente.

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Se puede calcular la incertidumbre a partir de los datos de un gráfico. ¿Verdadero o falso?

Podemos estimar los errores por su valor absoluto. ¿Cuáles son los otros dos métodos?

¿Cómo podemos calcular el porcentaje de error a partir del error relativo?

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