Conservación de la Energía en Fluidos

La ley de la conservación de la energía en los fluidos

La ley de conservación de la energía es una de las leyes fundamentales de la física, que explica la naturaleza de la energía.

En otras palabras, la energía total de un sistema aislado permanece constante. El mismo principio se aplica a la mecánica de fluidos. La conservación de la energía en los fluidos ideales se describe mediante el principio de Bernoulli .

Bernoulli demostró que la energía mecánica total de un líquido o gas que fluye permanece invariable en cualquier punto a lo largo de unalínea de corriente , suponiendo que el fluido en cuestión es incompresible y tiene viscosidad cero.

Derivación de la conservación de la energía en los fluidos

Derivemos la ecuación de Bernoulli, que no es más que la forma matemática más genérica del principio de Bernoulli. Para ello, imagina un sistema de tuberías con dos áreas de sección transversal diferentes a dos alturas distintas, como se visualiza en la Figura 2 a continuación.

Fig. 2 - Un sistema de tuberías utilizado para deducir la ecuación de conservación de la energía en los fluidos.

El teorema trabajo-energía establece que el trabajo realizado \(W\) es igual a la suma del cambio en la energía cinética \(K\) y el cambio en la energía potencial \(U\). Matemáticamente, puede expresarse como

$$\Delta W = \Delta K + \Delta U,$$

donde el signo del trabajo depende de la dirección de la fuerza respecto al desplazamiento, es decir, es positivo cuando apunta en la misma dirección que el flujo, y negativo cuando se opone a él. A partir del diagrama anterior, podemos deducir los signos respectivos y obtener

$$W_1-W_2 = K_2-K_1+U_2-U_1,$$

que puede reordenarse en

$$W_1 + U_1 + K_1 = W_2 + U_2 + K_2.$$

Las ecuaciones de las energías cinética y potencial son las mismas de siempre:

\begin{align} K&=\frac{1}{2}mv \ U&=mgh\end{align}

donde \(m\) es la masa, \(v\) es la velocidad, \(g\) es la aceleración debida a la gravedad, y \(h\) es la altura (en nuestro caso, la altura está representada por \(y\)). El trabajo realizado en este caso puede representarse como una fuerza \(F\) ejercida sobre una distancia \(x\). Sabemos que

$$ P=\frac{F}{A},$$

por lo que el trabajo puede expresarse como

$$ W = Fx = PAx.$$

Todas estas ecuaciones pueden introducirse en la relación trabajo-energía para cada región respectiva de la tubería:

$$ P_1A_1x_1+mgy_1+\frac{1}{2}mv_1^2=P_2A_2x_2+mgy_2+ \frac{1}{2}mv_2^2.$$

Podemos utilizar

$$ \rho=\frac{m}{V}$$

para reexpresar la masa en términos de densidad \(\rho\) y volumen \(V\). Además, podemos reescribir el producto del área de la sección transversal \(A\) y la distancia \(x\) como volumen, considerando que el volumen de un cilindro es

$$V_\text{cilindro}=\pi r^2 \ell = A_\text{base}\ell.$$

Todo esto conduce a la anulación de los términos de volumen

$$ P_1\bcancel{V}+\rho \bcancel{V} gy_1+\frac{1}{2}\rho \bcancel{V} v_1^2=P_2\bcancel{V}+\rho \bcancel{V} gy_2+\frac{1}{2}\rho \bcancel{V} v_2^2$$

y revela la versión final de la ecuación de Bernoulli:

$$ P_1 + \rho g y_1 + \frac{1}{2} \rho v^2_1 = P_2 + \rho g y_2 + \frac{1}{2} \rho v^2_2.$$

Significado de la conservación de la energía en los fluidos

Ahora que hemos obtenido la ecuación necesaria para explicar la conservación de la energía en los fluidos, podemos explicar el significado real de cada término.

Otra forma de expresar la ecuación de Bernoulli es

$$ P + \rho g y + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{constante}.$$

Aquí podemos identificar claramente los tres componentes que contribuyen a la energía total de un sistema, que permanece invariable a lo largo de la línea de corriente. El primer término es simplemente la presión estática del fluido. El segundo término representa la presión hidrostática ejercida por el fluido debido a la gravedad, y el último término da cuenta de la presión dinámica.

Relación entre la conservación de la masa y la conservación de la energía en los fluidos

Hasta ahora, hemos establecido que la energía de un fluido ideal dentro de un sistema cerrado se conserva. El mismo principio se aplica a la masa del fluido que fluye y puede explicarse utilizando la ley de conservación de la masa.

Esta ley puede aplicarse a un sistema de tuberías de diámetros variables, para obtener la ecuación de continuidad. Matemáticamente, puede expresarse como

$$ A_1v_1 = A_2v_2, $$

donde \(A_1\) y \(A_2\) son las áreas transversales de la tubería en dos puntos distintos, correspondientes a la velocidad del fluido en ese punto. En la Figura 3 puedes ver un diagrama que visualiza esta relación.

En otras palabras, significa que para una tubería con dos áreas de sección transversal diferentes, el fluido tendrá mayor velocidad en la sección estrecha, y menor velocidad en la sección más ancha.

Muy a menudo, hay que aplicar ambas leyes de conservación a un sistema para que pueda resolverse. Por ejemplo, si conocemos el área de la sección transversal de una tubería, podemos averiguar la velocidad del fluido, que puede utilizarse para calcular el término de energía cinética en la ecuación de Bernoulli. En el siguiente apartado se resuelve un problema de ejemplo que lo demuestra.

Ejemplos de conservación de la energía en los fluidos

Veamos un problema de ejemplo sobre la conservación de la energía y la masa en los fluidos.