Puedes coger una pelota, un estuche, una botella o algo más ligero —como podría ser una pluma— y lanzarlo hacia arriba. Independientemente de lo que lances, el objeto acabará cayendo. Incluso, si no lo coges en el aire, acabará en el suelo con una cierta aceleración.
Tal y como veremos en este artículo, esto se debe a la fuerza de atracción que la tierra ejerce en estos objetos. Esta es la llamada fuerza gravitatoria, que provoca que los objetos caigan con esta aceleración.
- En este artículo primero hablaremos de la relación de las leyes de Newton y la gravedad.
- A continuación, estudiaremos la fuerza de la gravedad y las unidades de la gravedad.
- Una vez entendidos estos conceptos, veremos qué es la aceleración de la gravedad y su fórmula.
- Finalmente, aprenderemos cómo es la aceleración debida a la gravedad debajo de la superficie de la Tierra y la interpretación geométrica de la aceleración debida a la gravedad.
Newton y la gravedad
Las investigaciones de Isaac Newton —matemático y físico inglés reconocido por las leyes del movimiento y la ley de gravitación universal— mostraron que la fuerza que mantiene a los objetos en la tierra es la misma fuerza que mantiene a los planetas orbitando alrededor del sol.
La ley de la gravitación universal describe que la fuerza de atracción gravitacional que sienten dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros.
Esta ley ayudó a los científicos a entender el movimiento planetario y el movimiento de un cuerpo en caída libre.
Las leyes del movimiento, también conocidas como leyes de Newton, describen el movimiento de los cuerpos y de las fuerzas que actúan sobre ellos. Estas leyes son la base de la física clásica:
- Primera ley: ley de inercia
- Segunda ley: ley fundamental de la dinámica
- Tercera ley: principio de causa y efecto.
Fuerza de la gravedad
La fuerza que ejerce la Tierra sobre un objeto se llama fuerza gravitatoria (\(F\)).
Todos los objetos son atraídos por la Tierra, y la dirección de esa fuerza es hacia el centro de la Tierra.
Fig. 1: Un objeto bajo la influencia gravitatoria de la Tierra.
Por la segunda ley del movimiento de Newton, sabemos que \(F=m\cdot a\). Donde:
- \(F\) es la fuerza que genera el movimiento.
- \(m\) es la masa del objeto bajo estudio.
- \(a\) es la aceleración de este objeto.
Dada la forma matemática de la ley de gravitación de Newton, podemos escribir que la fuerza gravitatoria es equivalente a \(F=m\cdot g\). Donde \(g\) es como se denota habitualmente la aceleración de la gravedad.
Esta aceleración se puede expresar en términos de parámetros como el radio y la masa del objeto masivo que genera el campo gravitacional. La fuerza a la que se ve sometido el objeto es el peso del objeto bajo la influencia de la gravedad de la Tierra. Al depender de \(g\), el peso de cualquier objeto depende de su ubicación geográfica; aunque se suele aproximar por un valor constante cercano a la superficie, la aceleración de la gravedad depende de la distancia al cuerpo masivo.
Por ejemplo, aunque la diferencia es pequeña comparada con el peso total, el peso de un objeto con una determinada masa será mayor a nivel del mar que su peso en la cima de una montaña. Esto se da porque la aceleración de la gravedad \(g\) es ligeramente menor al encontrarse la cima más lejos del centro de la Tierra.
Es importante remarcar que la fuerza es siempre una cantidad vectorial; pero, en los casos en los que consideramos cuerpos esféricos o situaciones cercanas a las superficies de los cuerpos que generan el campo gravitacional, la dirección de la fuerza está completamente determinada y podemos preocuparnos solo de la magnitud, no de la dirección.
Unidades de la gravedad
La aceleración de la gravedad se refiere a la aceleración de los objetos en caída libre cerca de la superficie de la Tierra. El Sistema Internacional de Unidades mide la aceleración de la gravedad \(g\) en metros por segundo al cuadrado \(\mathrm{m/s^2}\) o, en su equivalente, newtons por kilogramo \(\mathrm{N/kg}\).
A partir de una serie de experimentos, se ha encontrado que el valor aproximado de la gravedad en la Tierra es de \(9,81\,\mathrm{m/s^2}\).
¿Qué es la aceleración de la gravedad?
La aceleración producida en cualquier cuerpo en caída libre por a la fuerza de gravedad de otro objeto —como un planeta— se conoce como aceleración debida a la gravedad.
En un objeto simétrico, la fuerza gravitatoria actúa en dirección del centro del objeto. El valor de \(g\) es casi constante cerca de la superficie de la Tierra; pero, a medida que nos alejamos de ella, la fuerza de la gravedad disminuye, debido al aumento de la altura sobre la superficie.
Fig. 2: Un objeto con masa \(m\), bajo la influencia de un cuerpo mayor-como un planeta-, con masa \(M\).
Fórmula de la aceleración de la gravedad
Basándonos en datos experimentales, se ha observado que la aceleración debida a la gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del objeto al centro de masa del objeto mayor; tal y como propuso Newton al enunciar su célebre ley:
\[g\propto \dfrac{1}{r^2}\]
Aquí, \(r\) es la distancia del objeto al centro de la Tierra.
La aceleración debida a la gravedad no solo es inversamente proporcional a \(r^2\), sino también directamente proporcional a la masa del cuerpo atraído —en este caso, la Tierra—.
Por ejemplo, la aceleración debida a la gravedad en la Tierra es diferente de la aceleración debida a la gravedad en la Luna, pues las masas son distintas.
Por lo tanto, tenemos otra proporcionalidad: \(g\propto M\)
Suponemos que la masa del objeto es significativamente menor con respecto a la masa del planeta o cuerpo al que es atraído. Algebraicamente, esto se escribe como \(m<<M\). Aquí, \(m\) es la masa del objeto más ligero y \(M\) es la del objeto pesado.
Al combinar estas dos relaciones, obtenemos: \(g\propto\dfrac{M}{r^2}\)
Para eliminar la proporcionalidad y obtener la igualdad, hay que introducir una constante de proporcionalidad, que se conoce como la constante gravitatoria universal, denotada por \(G\):
\[g=\dfrac{GM}{r^2}\]
Basándonos en datos experimentales, se ha encontrado que el valor de la constante de gravitación universal es \(G=6,674\cdot 10^{-11}\,\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}\).
Supongamos que el objeto no está en la superficie de la Tierra, sino a una altura \(h\) de la superficie. En ese caso, su distancia al centro de masa de la Tierra será \(r=R+h\). Aquí, \(R\) es el radio de la Tierra.
Al sustituir \(r\) en la ecuación anterior, obtenemos: \(g=\dfrac{MG}{(R+h)^2}\).
Por lo tanto, podemos ver que a medida que \(h\) aumenta, la fuerza de la gravedad disminuye.
Aceleración debida a la gravedad por debajo de la superficie de la Tierra
La aceleración debida a la gravedad no sigue la relación cuadrática cuando el objeto está por debajo de la superficie de la Tierra. De hecho, la aceleración y la distancia dependen linealmente entre sí, para \(r<R\) (por debajo de la superficie de la Tierra).
Por eso si un objeto se encuentra a una distancia \(r\) del centro de la Tierra, la masa de la Tierra responsable de la aceleración debida a la gravedad en ese punto será:
\[m=\dfrac{M\cdot r^3}{R^3}\]
Esto se puede deducir fácilmente utilizando la fórmula del volumen de una esfera. Hemos supuesto que la Tierra es una esfera; pero, en realidad, el radio de la Tierra está en su mínimo en los polos y en su máximo en el ecuador. La diferencia es bastante pequeña, por lo que partimos de la base de que la Tierra es una esfera para simplificar los cálculos.
La aceleración debida a la gravedad sigue la proporcionalidad explicada anteriormente: \(g\propto \dfrac{m}{r^2}\)
Sustituyendo por \(m\), obtenemos:
\[\begin{align} g&=\dfrac{GMr}{R^3} \\ \\ g &\propto r \end{align} \]
Ahora podemos ver que como \(G\), \(M\) y \(R\) son constantes para un objeto o planeta dado, la aceleración depende linealmente de \(r\) . Por lo tanto, a medida que \(r\) se acerca a \(R\) , la aceleración debida a la gravedad aumenta —según la relación lineal anterior—, tras lo cual disminuye —según la ecuación que obtuvimos antes—. En la práctica, la mayoría de los problemas del mundo real estudian el movimiento de objetos que están alejados de la superficie de la Tierra.
Interpretación geométrica de la aceleración debida a la gravedad
Fig. 3: La gráfica de \(g\) en función de \(r\), que es lineal hasta \(r = R\) y tiene una curva parabólica para \(r > R\).
La aceleración debida a la gravedad tiene una relación lineal con \(r\) hasta la superficie de la Tierra, después de lo cual se describe por la relación cuadrática que definimos antes.
Esto puede verse geométricamente con la ayuda del gráfico anterior: a medida que \(r\) aumenta, \(g\) crece hasta alcanzar su valor máximo, cuando \(r=R=\text{Radio de la Tierra}\). Por otra parte, a medida que nos alejamos de la superficie de la Tierra, el valor de \(g\) disminuye, según la relación:\[g\propto \dfrac{1}{r^2}\]
También observamos que el valor de la aceleración debida a la gravedad es \(0\) en el centro de la Tierra y casi \(0\) a una gran distancia de la superficie terrestre. Para demostrar la aplicación de este concepto, consideremos el siguiente ejemplo:
La Estación Espacial Internacional, que opera a una altitud de \(35\cdot 10^{4}\) metros de la superficie de la Tierra, tiene previsto construir un objeto cuyo peso es de \(4,22\cdot 10^6\,\mathrm{N}\) en la superficie de la Tierra. ¿Cuál será el peso del mismo objeto, una vez que llegue a la órbita de la Tierra?
Ten en cuenta que \(g=9,81\,\mathrm{m/s^2}\), el radio de la Tierra \(R=6,37\cdot 10^6\,\mathrm{m}\) y la masa de la Tierra \(M=5,97\cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}\).
Aplica la ecuación correspondiente, sustituye los valores proporcionados y resuelve el valor desconocido.
A veces, una ecuación no es suficiente, en cuyo caso debes resolver dos ecuaciones, ya que los datos dados pueden no ser suficientes para ser sustituidos directamente.
\[\begin{align} F&=m\cdot g \\ g&=\dfrac{MG}{r^2} \end{align} \]
En la superficie de la Tierra, sabemos que
\[\begin{align} F&=m\cdot g\longrightarrow m=\dfrac{F}{g} \\ m&=\dfrac{4,22\cdot 10^6\,\mathrm{N}}{9,81\,\mathrm{m/s^2}}=4,30\cdot 10^5\,\mathrm{kg} \end{align} \]
Ahora que hemos determinado la masa del objeto, tenemos que utilizar la fórmula de la aceleración debida a la gravedad para definir \(g\) en el lugar de la órbita:
\[\begin{align} g&=\dfrac{MG}{r^2} \\ \\ g&=\dfrac{(5,97\cdot 10^{24}\,\mathrm{kg})\cdot (6,674\cdot 10^{-11}\,\mathrm{N\cdot m^2/kg^2})}{(6,37\cdot 10^6\,\mathrm{m}+35\cdot 10^4\,\mathrm{m})^2}=8,82\,\mathrm{m/s^2} \end{align}\]
Y, así, hemos determinado la aceleración debida a la gravedad en el lugar de la órbita.
Pero, hay que tener en cuenta que![]()
es la distancia al centro de la Tierra, lo que obliga a modificar nuestra ecuación a:
\[r=\text{Radio de la Tierra + Distancia de la }\mathrm{\acute{o}}\text{rbita a la superficie de la Tierra}=R+h\]
Ahora, insertamos nuestros valores calculados para \(g\) y \(m\) en la fórmula inicial del peso:
\[\begin{align} F&=m\cdot g \\ F&=(4,31\cdot 10^5\,\mathrm{kg})\cdot (8,82\,\mathrm{m/s^2})=3,80\cdot 10^6\,\mathrm{N} \end{align}\]
No olvides especificar las unidades de la cantidad que estás calculando y convierte siempre los datos proporcionados en unidades similares (preferiblemente unidades del SI).
Aceleración de la gravedad - Puntos clave
- La dirección de la aceleración debida a la gravedad es siempre hacia el centro de masa del objeto que genera el campo gravitatorio.
- La aceleración debida a la gravedad es independiente de la masa del propio objeto y únicamente es función de su distancia al centro de masa del objeto mayor.
- La fuerza de la gravedad es máxima en la superficie del objeto que genera el campo gravitatorio.
- La aceleración debida a la gravedad disminuye gradualmente a medida que nos alejamos de la superficie de la Tierra (o de cualquier objeto en general).
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