Todo empezó con un hombre y una manzana que caía...
Aunque no estuvieses estudiando física, es seguro que, de un modo u otro, habrías oído hablar de las leyes de Newton. Pero, como estás aprendiendo física, tenemos que profundizar en estas leyes (la primera ley, segunda, la tercera y la ley de la gravitación de Newton) para que puedas entender qué significa cada una y cómo se representan matemáticamente.
Fig. 1: Retrato de Isaac Newton (1642-1727).
- En este artículo empezaremos hablando y viendo algunos ejemplos de la primera ley de Newton.
- A continuación, estudiaremos la segunda ley de Newton y la tercera ley de Newton.
- También entenderemos la ley de gravitación de Newton.
- Como resumen lo que hemos visto, las fórmulas de las leyes de Newton están recopiladas en una tabla.
- Finalmente, entenderemos un ejemplo de las leyes de Newton: el diagrama de cuerpo libre.
¿Cuál es la primera ley de Newton?
La primera ley del movimiento de Newton recoge las causas del movimiento y la equivalencia fundamental entre los sistemas que (a) no se mueven y (b) se mueven con una velocidad constante. La formulación oficial de la primera ley del movimiento de Newton es:
“Un cuerpo continúa en su estado de reposo o en movimiento uniforme en línea recta a menos que actúe sobre él una fuerza.”
La explicación es sencilla: un objeto tiende a permanecer en su estado si no actúa sobre él ninguna fuerza externa. Si el cuerpo está en reposo, permanecerá así; si se mueve a una determinada velocidad constante y en una determinada dirección, seguirá haciéndolo hasta que una fuerza externa actúe sobre él.
En cualquier objeto que esté en reposo sobre una mesa, el suelo, o cualquier otra superficie, no actúa ninguna fuerza neta sobre él, ya que la fuerza gravitatoria se compensa con la fuerza normal ejercida por la superficie horizontal. En consecuencia, el objeto tiende a permanecer en reposo.
Si lanzamos una canica para que ruede por el suelo, al final dejará de rodar. Sin embargo, si no actuara ninguna fuerza neta sobre ella, la canica seguiría rodando (¡para siempre!) a la velocidad a la que la lanzamos. Pero, en la vida real, tenemos la fuerza de rozamiento, y esta genera una aceleración negativa (deceleración), que acaba deteniendo la canica.
Dado que la fuerza normal y la fuerza gravitatoria se anulan mutuamente, no desempeñan ningún papel al considerar el movimiento en superficies horizontales planas.
Si lanzamos una bola de bolos por una pista de bolos muy larga, rodará hasta que llegue al final y golpee los bolos. Esto ocurre porque la fricción es mucho menor para la bola de bolos que para la canica: la bola de bolos mantiene su velocidad mucho más tiempo, ya que su desaceleración es menor. Una pista de bolos ideal (con rozamiento cero) podría ser arbitrariamente larga, y la bola de bolos seguiría llegando al final, por el hecho de que su velocidad sería constante.
¿Cuál es la segunda ley de Newton?
La segunda ley del movimiento de Newton ofrece una descripción completa de la evolución de un sistema que se aplica a todos los sistemas que no incluyen efectos cuánticos o relativistas. La formulación oficial de la segunda ley del movimiento de Newton es:
“Un cuerpo sobre el que actúa una fuerza se mueve de tal manera que la velocidad de cambio del momento en el tiempo es igual a la fuerza.”
Sin embargo, puede que estés más familiarizado con la siguiente formulación:
“La fuerza total que actúa sobre un cuerpo es igual a su masa por la aceleración que la fuerza genera sobre él.”
Ambas formulaciones suelen ser equivalentes, aunque la oficial es más rigurosa. He aquí la expresión matemática de la segunda ley de Newton:
\[\vec{F}=\dfrac{d\vec{p}}{dt}=\dfrac{d}{dt}(m\cdot \vec{v})\]
Aquí,
- \(\vec{F}\) es la fuerza
- \(\vec{p}\) es el momento lineal (la masa multiplicada por la velocidad)
- \(d/dt)\) indica la derivación con respecto al tiempo (la tasa de cambio temporal).
Consideremos que la masa no cambia en el tiempo. La derivada temporal del momento (es decir, su tasa de cambio) es igual a la masa por la derivada de la velocidad, que es lo que llamamos aceleración. Por tanto, si la masa es constante en el tiempo, la expresión anterior equivale a:
\[\vec{F}=m\dfrac{d\vec{v}}{dt}=m\cdot \vec{a}\]
¡Toma nota! La formulación "la fuerza total es igual a la masa por la aceleración" únicamente es cierta si la masa es constante.
La esencia de la segunda ley del movimiento de Newton es que, tras considerar todas las fuerzas y su dirección, el efecto total captado por la aceleración sigue la misma dirección que la fuerza total, y el factor de proporcionalidad es la masa del objeto. Esta masa se llama masa inercial.
Fig. 2: El billar es un buen ejemplo para comprender las fuerzas que actúan sobre los cuerpos.
Supongamos que tenemos cuatro bolas y una superficie perfectamente horizontal. Las cuatro bolas tienen masas de \(5\,\mathrm{kg},10\,\mathrm{kg}, 15\,\mathrm{kg}\) y \(15\,\mathrm{kg}\), respectivamente. Imagina que ejercemos una fuerza de \(150\,\mathrm{N}\) durante \(2\) segundos para la primera bola, la segunda y la cuarta, y \(4\) segundos para la tercera.
Aplicando la segunda ley del movimiento de Newton, obtenemos los siguientes datos:
| Masa (kg) | Tiempo (s) | Aceleración (m/s2) \(a=F/m\) | Velocidad (m/s) \(v=a\cdot t\) | Momento (kg·m/s) \(p=m\cdot v\) |
Bola 1 | \(5\) | \(2\) | \(150/5=30\) | \(30\cdot 2=60\) | \(5\cdot 60=300\) |
Bola 2 | \(10\) | \(2\) | \(150/10=15\) | \(15\cdot 2=30\) | \(10\cdot 30=300\) |
Bola 3 | \(15\) | \(4\) | \(150/15=10\) | \(10\cdot 4=40\) | \(15\cdot 40=600\) |
Bola 4 | \(15\) | \(2\) | \(150/15=10\) | \(10\cdot 2=20\) | \(15\cdot 20=300\) |
Tabla 1 . Listado de las propiedades cinemáticas de las distintas bolas del ejemplo.
Al comparar el momento final de las bolas, vemos que las bolas 1, 2 y 4 tienen el mismo momento, porque se aplicó la misma fuerza durante el mismo tiempo. Para la bola 3 el momento es el doble, porque se aplicó la misma fuerza durante el doble de tiempo.
¿Qué es la tercera ley de Newton?
La tercera ley del movimiento de Newton recoge el principio de conservación, que es fundamental en la naturaleza. Sentó las bases de todos los teoremas de conservación basados en simetrías desarrollados en el siglo XX. La formulación oficial de la tercera ley del movimiento de Newton es:
“Si dos cuerpos ejercen fuerzas entre sí, estas fuerzas son iguales en magnitud y opuestas en dirección.”
Esta formulación de la tercera ley de Newton es bastante sencilla, y la mejor forma de entenderla es mediante algunos ejemplos. Sin embargo, también es importante tener en cuenta el momento. Gracias a la segunda ley del movimiento de Newton, sabemos que una fuerza equivale a la tasa de cambio del impulso de un cuerpo. Si, según la tercera ley del movimiento de Newton, las fuerzas recíprocas son de igual magnitud y tienen direcciones opuestas, lo mismo ocurre con los momentos. Esto es lo que conocemos como conservación del momento.
Consulta nuestra explicación sobre el Momento.
Imagina que estás sentado en un monopatín sobre un suelo perfectamente horizontal, mientras sostienes una pelota de baloncesto. Si lanzas la pelota de baloncesto hacia delante, serás empujado hacia atrás. Esto ocurre porque estás ejerciendo una fuerza sobre la pelota de baloncesto. Por tanto, según la tercera ley del movimiento de Newton, la pelota de baloncesto ejerce la misma fuerza sobre ti en sentido contrario. Y como la fuerza es igual a la masa por la aceleración \(\vec{F}=m\cdot \vec{a}\), la aceleración de la pelota de baloncesto es mayor que la tuya, porque tu masa es mayor.
Los cohetes son ejemplos perfectos de la tercera ley del movimiento de Newton. No pueden utilizar el rozamiento para moverse en el espacio, por lo que necesitan una fuerza opuesta que los empuje hacia delante. Expulsan partículas de gas —debido a la combustión—, las dejan atrás y la suma de sus momentos se traduce en impulso para el cohete.
¿Qué es la ley de gravitación de Newton?
Además de las tres leyes del movimiento, Newton formuló la primera ley de la atracción gravitatoria. Su ecuación es:
\[\vec{F}_g=G\cdot \dfrac{M\cdot m}{r^2}\vec{e}_r\]
donde,
- \(G\) es la constante universal de gravitación (con un valor aproximado de \(6,67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{m^3/(kg\cdot s^2)}\))
- \(M\) es una de las masas que se atraen (generalmente la de mayor valor) y \(m\) la otra
- \(r\) es la distancia radial que separa las masas
- El vector \(\vec{e}_r\) es el vector unitario que une las masas.
¿Cuál es la conexión entre esta ley, la segunda y la tercera ley de Newton?
Empezaremos con la tercera ley del movimiento de Newton, que iguala las fuerzas que los cuerpos ejercen unos sobre otros, lo que es una expresión de la conservación del momento. La formulación de la gravedad anterior cumple este requisito, ya que ambas masas desempeñan papeles equivalentes en la ecuación. Intercambiar las masas \(M\) y \(m\) equivale a la misma fuerza, ya que la distancia \(r\) es la misma. Sin embargo, debemos recordar que el vector \(\vec{e}_r\) es el vector unitario que apunta de una de las masas a la otra. Si intercambiamos sus papeles, el vector sigue siendo el mismo, excepto por un signo menos neto que corresponde a la dirección opuesta.
Consideremos ahora la segunda ley del movimiento de Newton. Si suponemos que la fuerza ejercida sobre el cuerpo de masa \(m\) es constante, obtenemos la siguiente equivalencia:
\[m\cdot \vec{a}=G\cdot \dfrac{M\cdot m}{r^2}\vec{e}_r\]
Podemos cancelar la masa \(m\) en ambos lados y ver que la aceleración del cuerpo depende de la masa del otro cuerpo y de la distancia entre ellos. Por eso, la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra es constante, y todos los objetos deberían caer al mismo ritmo. La razón por la que esto no ocurre en la realidad es por la fricción del aire, lo que significa que tenemos que tener en cuenta la aerodinámica de los objetos.
Dividir por la masa, al considerar las leyes del movimiento como las de Newton, parece sencillo. Sin embargo, la masa que mide la interacción gravitatoria no tiene (en teoría) por qué ser la misma que la que mide las propiedades inerciales de un cuerpo. El principio que establece que estas cantidades son iguales es uno de los axiomas básicos de la física, el principio de equivalencia.
Fig. 3: La tecnología espacial es uno de los mayores campos de aplicaciones desarrolladas gracias a la comprensión de las leyes del movimiento y la gravitación.
Fórmulas de las leyes de Newton
Veamos una pequeña tabla en modo de resumen con las fórmulas que utilizamos en las diferentes leyes de Newton:
| Ley de Newton | Fórmula | Explicación |
| Primera ley de Newton | \(\sum_i F_i=0\rightarrow \dfrac{dv}{dt}=0\). | Esta ley nos dice que si la suma de las fuerzas actuando sobre un objeto es igual a \(0\) (ya sea bien porque las fuerzas se contrarrestan o porque no hay ninguna fuerza actuando), el objeto se moverá a velocidad constante, es decir, no modificará su velocidad hasta que una fuerza externa le haga modificarla. |
| Segunda ley de Newton | \(F=m\cdot a\). | Esta ley nos dice que la suma de fuerzas actuando sobre un objeto es directamente proporcional a su aceleración y a su masa. |
| Tercera ley de Newton | \(F_{1\rightarrow 2}=F_{2\rightarrow 1}\). | Esta ley establece que toda fuerza sobre un cuerpo tiene una fuerza reactiva de igual magnitud pero sentido contrario. |
| Ley de la Gravitación universal | \(F_G=G\dfrac{M\cdot m}{r^2}\) | Esta ley establece la fuerza de atracción entre dos cuerpos en el espacio en función de sus masas respectivas y la distancia que les separa. |
Tabla 2: Fórmulas de las leyes de Newton
Ejemplo de la ley de Newton
Un ejemplo de las leyes de Newton-probablemente el más común-es el diagrama de cuerpo libre.
Un diagrama de cuerpo libre es un esquema en el que solamente aparece el objeto en cuestión y las fuerzas que actúan sobre él.
Fig. 4. Ejemplo de diagrama de cuerpo libre.
El objeto, o cuerpo, suele mostrarse como una caja o un punto. Las fuerzas se muestran como flechas finas que se alejan del centro de la caja o del punto. El énfasis está en las fuerzas, por lo que deben dibujarse con precisión y a escala. Es importante etiquetar cada flecha para mostrar la magnitud de la fuerza que representa; también puede indicarse el tipo de fuerza que se ejerce.
Aquí tienes un ejemplo básico de diagrama de cuerpo libre. Ten en cuenta que no muestra todas las fuerzas que actúan sobre el objeto (por ejemplo, suele mostrar también la fuerza normal y la fuerza gravitatoria).
Los diagramas de cuerpo libre contienen la información cuantitativa necesaria para resolver los problemas.
Los diagramas de sistema únicamente sirven para entender el problema y visualizarlo.
Leyes de Newton - Puntos clave
- Newton formuló tres leyes del movimiento, que siguen siendo claves fundamentales de la mecánica clásica.
- La primera ley del movimiento de Newton establece que un cuerpo tiende a permanecer en su estado de movimiento o reposo, a menos que actúe sobre él una fuerza externa.
- La segunda ley del movimiento de Newton establece que la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a la tasa de cambio de su momento. Esto equivale a que la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración cuando la masa es constante.
- La tercera ley del movimiento de Newton establece que si un sistema ejerce una fuerza sobre otro sistema, el segundo ejerce una fuerza de igual magnitud y en sentido contrario al primer sistema.
- Newton formuló la primera ley de la atracción gravitatoria. Esta ley es coherente con sus leyes del movimiento.
- Un diagrama de cuerpo libre es un esquema en el que solo aparece el objeto en cuestión y las fuerzas que actúan sobre él.
References
- Fig. 1: Retrato de Isaac Newton (1642-1727) (https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton#/media/Archivo:Portrait_of_Sir_Isaac_Newton,_1689.jpg) by Godfrey Kneller (https://es.wikipedia.org/wiki/Godfrey_Kneller) is licensed by CC-PD-Mark / PD-Art (PD-old-100) (https://creativecommons.org/share-your-work/public-domain/pdm/)
- Fig. 2: Billiard (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Billard.JPG) by No-w-ay in collaboration with H. Caps - Own work (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:No-w-ay) is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/)
- Fig. 3: Space Shuttle Columbia launching (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Space_Shuttle_Columbia_launching.jpg) catalogued by Kennedy Space Center of the United States (https://en.wikipedia.org/wiki/NASA) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)
- Fig. 4: Diagrama de un cuerpo libre (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Free_Body_Diagram_es.png) by Andrew Dressel (https://en.wikipedia.org/wiki/User:AndrewDressel) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)
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