Hace siglos, ¿quién hubiera pensado que las mismas leyes mecánicas que rigen el movimiento de los objetos aquí en la Tierra también dictan el movimiento de los planetas? Ahora mismo nos parece lo más normal del mundo, pero no siempre ha sido así.
Mientras que los objetos en la Tierra tienden a caer en línea recta hacia su centro, la Luna se mueve en círculos alrededor de esta. Aun así, ambos movimientos están regidos por las mismas leyes. Y es a Isaac Newton que le debemos nuestra comprensión moderna de que las mismas leyes mecánicas que rigen el movimiento de los objetos aquí en la Tierra también se aplican a la Luna y a los planetas. En efecto, Newton relacionó el movimiento circular con el movimiento planetario cuando descubrió su ley de la gravitación universal. Pensó que existía una fuerza gravitatoria que hacía que los objetos cayeran hacia la Tierra, ya que se aceleraban al descender. Entonces se preguntó qué causaba que la Luna orbitara alrededor de la Tierra y se dio cuenta de que la gravedad podía extenderse más allá de la superficie de la Tierra, hasta el punto de ser la fuerza que mantenía a la Luna en una trayectoria circular.
En este artículo, hablaremos primero del movimiento circular uniforme y luego relacionaremos los principios del movimiento circular con la gravitación. Hablaremos de las definiciones de movimiento circular y gravitación, ejemplos, fórmulas y dos preguntas resueltas.
Movimiento circular uniforme
El movimiento circular se refiere a cualquier tipo de movimiento que sigue una trayectoria circular, pero hay un tipo específico de movimiento circular llamado movimiento circular uniforme.
El movimiento circular uniforme es el movimiento de un objeto que se mueve con velocidad constante en un círculo de radio fijo.
Cuando un objeto se mueve en movimiento circular uniforme, como en la figura de abajo, la velocidad siempre actúa en la dirección tangente a la trayectoria circular descrita, como muestra la flecha roja. Esto significa que la dirección de la velocidad cambia constantemente a medida que el objeto se mueve alrededor del círculo descrito. La aceleración del objeto apunta hacia el centro de este movimiento, cosa que explica la dirección cambiante de la velocidad. Esta aceleración se denomina aceleración centrípeta.
La aceleración centrípeta es la aceleración de un objeto que se mueve en un movimiento circular.
Fig. 1: Podemos ver como la velocidad, en rosa, cambiará constantemente su dirección y esta será tangencial al movimiento circular descrito. Por otro lado, la aceleración centrípeta, en azul claro, apunta hacia el centro de la trayectoria circular.
Fuerza centrípeta
La segunda Ley de Newton nos dice que hay fuerza actuando sobre un objeto si este posee una aceleración. La fuerza que causa la aceleración centrípeta se conoce como fuerza centrípeta.
La fuerza centrípeta es una fuerza que hace que un objeto siga una trayectoria circular.
La fuerza centrípeta tiene la misma dirección que la aceleración centrípeta: hacia el centro de la trayectoria circular (el nombre "centrípeta" significa literalmente "que busca el centro").
La fuerza centrípeta no es un tipo específico de fuerza; utilizamos el término fuerza centrípeta para describir cualquier fuerza que mantenga un objeto en un movimiento circular. En un movimiento circular uniforme, la fuerza centrípeta no hace que el objeto se mueva hacia el centro del círculo porque el objeto se mueve lo suficientemente rápido como para mantenerse girando en un círculo.
Si atamos una pelota a una cuerda y la hacemos girar en círculos por encima de nuestra cabeza a una velocidad constante, la pelota tendrá un movimiento circular uniforme. La tensión de la cuerda es la fuerza centrípeta en un momento dado. Por tanto, la fuerza neta en el plano del círculo es
\[F_{neta}=F_{centr}=T\]
La fuerza centrípeta hace que la pelota cambie de dirección para girar continuamente en un círculo.
Imagina ahora que soltamos la cuerda. En el momento en que sueltas la cuerda, la fuerza neta en el plano del círculo se hace cero,
\[F_{neta}=0,\]
de manera que, según la primera ley de Newton, la pelota saldría disparada y continuaría moviéndose con la velocidad que tenía en ese momento. Como en la figura anterior, se trataría de un vector tangente al círculo en el punto que la soltemos.
Definición de fuerza gravitatoria
El movimiento circular y la gravitación están unidas la una a la otra, ya que muchos objetos en el espacio, como los planetas o las lunas, siguen órbitas circulares debido a la gravitación.
La gravitación, o fuerza gravitatoria, es la fuerza de atracción que todos los objetos con masa ejercen entre sí.
Dado que todos los objetos masivos experimentan la fuerza de gravitación, la llamamos fuerza fundamental. Otras fuerzas fundamentales son la fuerza electromagnética y las fuerzas nucleares fuerte y débil.
Podemos ver la fuerza gravitatoria representada en la siguiente figura. Dos masas alejadas entre sí una distancia \(r\) ejercen una fuerza gravitatoria sobre la otra masa, acercándose la una a la otra. Todo objeto con masa ejerce una fuerza gravitatoria sobre otros objetos, pero la mayoría de las veces un objeto tiene que tener una gran masa para que podamos medir su atracción gravitatoria, ya que si no es despreciable. Por ello, hablamos de la gravitación principalmente en relación con los planetas, estrellas y galaxias.
Fig. 2: Ambas masas ejercen una fuerza de atracción la una a la otra.
Cerca de la superficie de la Tierra, la gravitación hace que todos los objetos caigan. Como todos los objetos experimentan la misma fuerza apuntando en la misma dirección, podemos representar localmente el efecto de la gravedad mediante un campo vectorial.
Por el contrario, si nos alejamos de la superficie de la Tierra y consideramos el efecto de su atracción gravitatoria sobre los satélites artificiales y la Luna, nos encontramos con que la fuerza de la gravedad terrestre hace que estos objetos orbiten con un movimiento circular. Para un objeto en órbita, la fuerza gravitatoria actúa como una fuerza centrípeta. La fuerza se dirige hacia el objeto masivo en el centro de la trayectoria circular, haciendo que la velocidad del objeto en órbita cambie de dirección para mantener el objeto viajando en un círculo. La velocidad del objeto en órbita es lo suficientemente alta como para evitar que la fuerza gravitatoria lo arrastre directamente hacia el objeto masivo.
El gran descubrimiento de Kepler fue que las órbitas de los planetas alrededor del Sol no son exactamente circulares. Más bien son elipses. Un número que utilizamos para caracterizar las elipses es su excentricidad \(e\), que es una medida de cuánto se desvía su forma de la de un círculo. Más concretamente, las elipses con excentricidad \(e=0\) son círculos. Así, la excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es
\[e_{Tierra-Sol}=0,01671\]
mientras que la excentricidad de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es
\[e_{Luna-Tierra}=0,0549\]
Como ves, estos valores son casi nulos. Por lo tanto, podemos tratar la fuerza gravitatoria en estos casos como una fuerza centrípeta uniforme y obtendremos resultados precisos.
Ejemplos de órbitas gravitatorias
Algunos ejemplos de gravitación y movimiento circular son los siguientes:
- La gravedad de la Tierra atrae a la Luna en una órbita con movimiento circular.
- Los satélites orbitan alrededor de la Tierra a una velocidad constante que les permite tener un movimiento circular uniforme.
- Todos los planetas de nuestro sistema solar son arrastrados en movimiento circular por la gravedad del sol.
Veamos el ejemplo de la luna orbitando alrededor de la tierra, que se muestra en la siguiente imagen:
Fig.3- La luna gira alrededor de la Tierra con una órbita que podemos considerar circular, dado que su excentricidad es muy baja.
La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre la Luna actúa como fuerza centrípeta, dirigida hacia el centro de la Tierra (mostrada por la flecha azul celeste). Esta fuerza crea una aceleración centrípeta, también dirigida hacia el centro de la Tierra, que hace que la velocidad de la Luna cambie constantemente de dirección en un patrón circular. La velocidad de la Luna siempre se dirige tangencialmente a la órbita, o sea, perpendicular a la fuerza centrípeta y a la aceleración (la velocidad se muestra con la flecha azul oscuro). Si la gravedad terrestre se detuviera repentinamente, la Luna saldría volando hacia el espacio en línea recta desde el punto del que se desprende, similar al ejemplo de la cuerda que hemos visto anteriormente.
Fórmulas de las órbitas gravitatorias
A continuación veremos algunas de las fórmulas más relevantes para la gravitación y el movimiento circular.
Estas fórmulas consideran que el movimiento es circular, lo cual es tan solo una aproximación válida del movimiento orbital. Esto es debido a que, como ya hemos comentado anteriormente, las órbitas pueden describir tanto un círculo como una elipse. Pero como las excentricidades de algunas órbitas es tan baja, las podemos aproximar a un movimiento circular.
Ley de la Gravitación Universal de Newton
La Ley de Gravitación Universal de Newton describe la ecuación de la fuerza gravitatoria entre dos objetos:
\[F=G\dfrac{m_1\cdot m_2}{r^2},\]
donde \(m_1\) y \(m_2\) son las masas de dos los dos cuerpos, \(r\) es la distancia entre los centros de las masas de estos, y \(G\) es la constante de gravitación universal, que es \(G=6,67430\,\, \mathrm{N}\cdot \mathrm{m}^2/\mathrm{kg}^2\).
Esta fórmula es especialmente relevante a grandes distancias; en la superficie de un planeta podríamos utilizar la ecuación para describir la fuerza gravitatoria,
\[F=m\cdot g,\]
pero esta ecuación únicamente es precisa si el campo gravitatorio de la Tierra es constante. A grandes distancias, cuando el campo gravitatorio no es constante, tenemos que utilizar la ecuación anterior para encontrar la fuerza gravitatoria.
Fórmula de la velocidad orbital
En el movimiento circular, la velocidad sigue siendo igual al cambio en la distancia sobre el cambio en el tiempo; únicamente que en este caso la distancia es en una trayectoria circular en lugar de lineal. Por tanto, la fórmula de la velocidad \(v\) de un objeto que se mueve en un círculo sería la circunferencia del círculo \(2\pi r\) dividida por el tiempo que tarda el objeto en completar una revolución \(T\). Por tanto:
\[v=\dfrac{2\pi r}{T}\]
La velocidad se mide en metros por segundo (\(\mathrm{m/s}\)), el radio está en metros (\(\mathrm{m}\)), y el tiempo para completar una revolución está en segundos (\(\mathrm{s}\)).
Aceleración centrípeta
La fórmula de la aceleración centrípeta es la siguiente
\[a_c=\dfrac{v^2}{r},\]
donde \(v\) es la velocidad del objeto en metros por segundo (\(\mathrm{m/s}\)), y \(r\) es el radio de la trayectoria circular del objeto, en metros (\(\mathrm{m}\)).
Fórmula de la fuerza centrípeta
Como la fuerza es igual a la masa por la aceleración, podemos multiplicar la fórmula de la aceleración centrípeta anterior por la masa para obtener la ecuación de la fuerza centrípeta:
\[\begin{align} F_c&=m\cdot a_c\\&=\dfrac{mv^2}{r} \end{align},\]
donde \(F_c\) representa la fuerza centrípeta en Newtons (\(\mathrm{N}\)), \(m\) es la masa del objeto en órbita en kilogramos (\(\mathrm{kg}\)), \(v\) es la velocidad del objeto en metros por segundo (\(\mathrm{m/s}\)), y \(r\) es el radio de la órbita del objeto en metros (\(\mathrm{m}\)).
Ejercicios de órbitas gravitatorias
Veamos ahora un ejemplo de pregunta de física sobre órbitas gravitatorias
Un satélite de \(200\,\,\mathrm{kg}\) se encuentra en una órbita circular a \(30,000\,\,\mathrm{km}\) de la superficie terrestre. ¿Cuál es la velocidad del satélite? Utiliza \(6371\,\,\mathrm{km}\) para el radio de la Tierra y \(5,98\dot 10^{24}\,\,\mathrm{kg}\) para su masa.
Solución:
La única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria, por lo que la fuerza gravitatoria será igual a la masa del satélite \(m_s\) por su aceleración centrípeta:
\[F_c=m_s\cdot a_c\]
Para la fuerza gravitatoria tenemos que utilizar la ley de gravitación universal, ya que el satélite está lejos de la superficie terrestre:
\[F_g=G\dfrac{M\cdot m_s}{r^2}\]
Aquí, \(M\) es la masa de la Tierra. También tenemos la ecuación de la aceleración centrípeta:
\[a_c=\dfrac{v^2}{r}\]
Sustituyendo estas dos ecuaciones en nuestra primera ecuación obtenemos lo siguiente:
\[G\dfrac{M\cdot m_s}{r^2}=m_s\dfrac{v^2}{r}\]
Simplificando y resolviendo para \(v\):
\[v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}\]
A continuación, podemos introducir los números dados en el enunciado. Antes de hacerlo, hay que tener en cuenta que el valor que debemos utilizar para \(r\) no es simplemente la distancia del satélite a la Tierra, sino que es la suma del radio de la Tierra y esta distancia. La razón por la que tenemos que tener en cuenta esto es que la ley de gravitación universal de Newton requiere la distancia entre los centros de las masas. Sabiendo esto, obtenemos que:
\[v=\sqrt{\dfrac{6,67\cdot 10^{-11}\,\,\mathrm{m^3/(kg\cdot s^2)}\cdot 5,98\cdot 10^{24}\,\,\mathrm{kg}}{3\cdot 10^7\,\,\mathrm{m}+6,371\cdot 10^6\,\,\mathrm{m}}}=3275\,\,\mathrm{m/s}\]
La velocidad del satélite es \(v=3275\,\,\mathrm{m/s}\).
Consideremos un ejemplo similar con la principal diferencia de que, en lugar de orbitar la Tierra, el satélite orbita ahora la Luna.
Un satélite de \(200\,\,\mathrm{kg}\) se encuentra en una órbita circular a \(30,000\,\,\mathrm{km}\) desde la superficie de la Luna. ¿Cuál es la velocidad del satélite? Utiliza \(1737\,\,\mathrm{km}\) para el radio de la Luna y \(7,35\cdot 10^{22}\,\,\mathrm{kg}\) para su masa.
Solución:
Como la situación es casi idéntica a la del ejemplo anterior, podemos utilizar la ecuación que derivamos antes para la velocidad del satélite:
\[v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}\]
En este caso, debemos tener cuidado de utilizar los valores correctos para la Luna en lugar de los de la Tierra. Sustituyendo los valores dados, tenemos:
\[v=\sqrt{\dfrac{6,67\cdot 10^{-11}\,\,\mathrm{m^3/(kg\cdot s^2)}\cdot 7,35\cdot 10^{22}\,\,\mathrm{kg}}{3\cdot 10^7\,\,\mathrm{m}+1,737\cdot 10^6\,\,\mathrm{m}}}=393\,\,\mathrm{m/s}\]
En este caso, la velocidad del satélite es \(v=393\,\,\mathrm{m/s}\).
Órbitas gravitatorias - Puntos clave
- El movimiento circular uniforme es el movimiento de un objeto que se mueve con velocidad constante en un círculo de radio fijo.
- La aceleración centrípeta es la aceleración de un objeto que se mueve en un movimiento circular, actuando hacia el centro del círculo.
- La fuerza centrípeta es una fuerza que hace que un objeto siga una trayectoria circular. Actúa hacia el centro del círculo.
- La gravitación, o fuerza gravitacional, es la fuerza de atracción que todos los objetos con masa ejercen entre sí.
- La fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta para los objetos en órbita.
- La ecuación de la fuerza gravitatoria entre dos objetos es \(F=G\dfrac{m_1\cdot m_2}{r^2}\).
- La ecuación de la velocidad en el movimiento circular es \(v=\dfrac{2\pi r}{T}\).
- La fórmula de la aceleración centrípeta es \(a_c=\dfrac{v^2}{r}\) y la ecuación de la fuerza centrípeta es \(F_c=\dfrac{mv^2}{r}\).
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