Energía Potencial Gravitatoria

La gravedad es un campo conservativo, que es un tipo especial de campo de fuerza en física. En el plano físico, esto significa que la energía se conserva al describir trayectorias cerradas que vuelven al mismo punto. Así, si un cuerpo abandona un determinado punto del espacio y vuelve a él, la energía neta invertida al hacerlo es cero.

En el plano matemático, un campo conservativo es un campo vectorial (que tiene una dirección espacial), que puede derivarse de un determinado campo conocido como campo potencial gravitatorio o, simplemente, potencial gravitatorio.

La descripción matemática completa queda fuera del alcance de este artículo. Aquí basta con decir que, para los casos considerados, podemos obtener la fuerza asociada a un potencial derivando el potencial con respecto de una o más variables.

Como podemos ver en esta definición, el carácter energético del potencial es fundamental. Esto se sustenta con el hecho de que la derivación está estrechamente relacionada con el crecimiento.

Definición matemática de la energía potencial gravitatoria

La comprensión de la energía contenida en el campo gravitatorio nos proporciona mucha información física útil sobre la naturaleza de la gravedad y el papel que desempeña en la naturaleza.

Fórmulas de la energía potencial gravitatoria

Vamos a trabajar con la ley de gravitación de Newton, porque ofrece una descripción sencilla —aunque no es la teoría que mejor describe la gravitación—. La principal característica de esta descripción de la gravedad es la simetría esférica, que indica que no hay direcciones espaciales especiales. Comencemos escribiendo la ley de Newton para la intensidad del campo gravitatorio:

$\stackrel{\rightharpoonup }{Z}=G·\frac{M}{r^2}·{\stackrel{\rightharpoonup }{e}}_r$

Aquí:

• El vector$\stackrel{\rightharpoonup }{Z}$es la fuerza gravitatoria
• $M$es la masa del cuerpo
• $r$es la distancia radial al cuerpo fuente
• ${\stackrel{\rightharpoonup }{e}}_r$es el vector radial unitario, que apunta hacia el cuerpo que general el campo
• $G$es la constante universal de gravitación, cuyo valor es aproximadamente$G=6,67\times {10}^{-11}{\mathrm{m}}^3/\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^2$.

Ahora, presentemos la expresión de la energía potencial gravitatoria V:

$V=-G·\frac{M}{r}$

Vemos que se conserva la simetría esférica: todos los puntos distribuidos en una esfera de radio constante$r=r_0$tienen la misma energía potencial gravitatoria.

Se puede ver fácilmente que, diferenciando con respecto a la distancia radial r, obtenemos la expresión de la intensidad del campo gravitatorio. Dado nuestro conocimiento, tenemos que creer en la aparición del vector ${\stackrel{\rightharpoonup }{e}}_r$:

$\stackrel{\rightharpoonup }{Z}=\frac{dV}{dr}·{\stackrel{\rightharpoonup }{e}}_r$

Estas son expresiones para los campos producidos por una masa$M$. Si queremos considerar la fuerza que experimenta una masa$m$bajo la influencia del campo gravitatorio y su energía potencial gravitatoria, simplemente tenemos que multiplicar las expresiones anteriores por un factor$m$:

$\stackrel{\rightharpoonup }{F}=m·\stackrel{\rightharpoonup }{Z}$(fuerza sobre la masa$m$bajo la influencia del campo$\stackrel{\rightharpoonup }{Z}$)

Potencial gravitatorio: consideraciones energéticas

Comenzamos analizando las unidades de la energía potencial gravitatoria de una masa$m$. Conociendo las unidades de todas las cantidades implicadas, encontramos que$mV=\raisebox{1ex}{$mGM$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$r$}\right.$corresponde a$\left(\mathrm{kg}\right)·\left({\mathrm{m}}^3/\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^2\right)·\left(\mathrm{kg}\right)/\left(\mathrm{m}\right)=\mathrm{J}\left(\mathrm{Julios}\right)$ —que son las unidades de energía—. Esta es una de las razones que han llevado a denominar la energía potencial gravitatoria.

Teniendo en cuenta esta noción, recordemos ahora el principio de estabilidad: que establece que los cuerpos tienden a minimizar su energía. Si tomamos la expresión de la energía potencial gravitatoria, vemos (debido al signo negativo) que las energías más bajas se consiguen al reducir la distancia radial con la fuente. El siguiente gráfico te ayudará a entenderlo:

Fig. 1: Energía potencial gravitatoria, frente a distancia radial.

La fuerza gravitatoria se calcula haciendo uso de la derivada radial.

Como puedes ver, la energía es menor hacia distancias radiales más bajas (alcanzando asintóticamente una cantidad infinitamente negativa). La magnitud de la fuerza, que puede calcularse como la derivada de la energía potencial gravitatoria, corresponde a la pendiente de la línea tangente en cada punto.

Para distancias radiales mayores, la pendiente disminuye, alcanzando asintóticamente un valor de cero a una distancia radial infinita; lo que, además, indica que la masa ya no está bajo la influencia del campo gravitatorio.

Cómo resolver los ejemplos de energía potencial gravitatoria

En general, si nos preguntan por las distribuciones espaciales, solemos tener que dibujar o describir gráficas que incluyan las ecuaciones del campo (sin incluir la masa de prueba$m$). Si nos preguntan por valores concretos para una determinada masa$m$, tenemos que utilizar las otras dos, recordando que$U$es la energía potencial de un objeto que entra en la fórmula de la energía total con un signo menos (en caso de que estuviéramos considerando otras formas de energía como la energía cinética).

Podemos calcular todas las funciones y estudiar su comportamiento así:

$\stackrel{\rightharpoonup }{Z}=G·\frac{M}{r^2}·{\stackrel{\rightharpoonup }{e}}_r=\frac{1}{r^2}·{\stackrel{\rightharpoonup }{e}}_r\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ $\stackrel{\rightharpoonup }{F}=m·\stackrel{\rightharpoonup }{Z}=\frac{1}{r^2}·{\stackrel{\rightharpoonup }{e}}_r\mathrm{N}$

$V=-G·\frac{M}{r}=-\frac{1}{r}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$$U=m·V=-\frac{1}{r}\mathrm{J}$

Para la energía potencial gravitatoria, obtenemos una gráfica similar a la de la figura 1. Para la fuerza gravitatoria, vamos a ignorar la orientación espacial radial —que requeriría un gráfico complejo—, y representaremos su magnitud en función de la distancia radial$r$:

También observamos que ambas cantidades divergen al acercarse a una distancia radial nula, lo que indica que los objetos no pueden estar infinitamente cerca. Esto restringe la validez de la ley de Newton, en determinadas circunstancias.

Al considerar superficies imaginarias esféricas centradas en la fuente gravitatoria, no cambian la intensidad de la fuerza ni la energía —aunque sí cambia la dirección de la fuerza al dirigirse hacia el centro/fuente—.

Aproximación del potencial gravitatorio en la superficie de un planeta

Para la Tierra y otros cuerpos esféricos, existe una aproximación para los objetos cercanos a la superficie que simplifica considerablemente la fórmula de atracción gravitatoria y de potencial gravitacional. Esta simplificación desplaza el origen de energías, donde la energía es cero (que se encuentra a una distancia radial infinita según la fórmula de Newton) a la superficie de la tierra. La expresión final es:

$E=m·g·h$

Aquí,

• $E$es la energía potencial gravitatoria para los objetos cercanos a la superficie de la Tierra y el origen de la energía en la superficie.
• $m$es la masa del cuerpo, cuya energía potencial gravitatoria estamos calculando.
• $g$es la aceleración superficial gravitatoria para la tierra (igual a$GM/R^2=9,81\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$).
• $h$es la altura sobre la superficie de la Tierra.