La gravedad es un campo conservativo, que es un tipo especial de campo de fuerza en física. En el plano físico, esto significa que la energía se conserva al describir trayectorias cerradas que vuelven al mismo punto. Así, si un cuerpo abandona un determinado punto del espacio y vuelve a él, la energía neta invertida al hacerlo es cero.
En el plano matemático, un campo conservativo es un campo vectorial (que tiene una dirección espacial), que puede derivarse de un determinado campo conocido como campo potencial gravitatorio o, simplemente, potencial gravitatorio.
La descripción matemática completa queda fuera del alcance de este artículo. Aquí basta con decir que, para los casos considerados, podemos obtener la fuerza asociada a un potencial derivando el potencial con respecto de una o más variables.
- En este artículo aprenderemos en primer lugar qué es el potencial gravitatorio.
- A continuación, veremos la cual es la definición de la energía potencial gravitatoria y su fórmula.
- Una vez hemos entendido estos conceptos, estudiaremos las consideraciones energéticas del potencial gravitatorio.
- Finalmente, resolveremos algunos ejemplos de energía potencial gravitatoria y, específicamente, calcularemos la aproximación del potencial gravitatorio en la superficie de la Tierra.
¿Qué es el potencial gravitatorio?
El potencial gravitatorio es el trabajo (energía transferida) por unidad de masa que sería necesario para desplazar un objeto a un lugar, desde un lugar de referencia fijo, en presencia de un campo gravitatorio.
Como podemos ver en esta definición, el carácter energético del potencial es fundamental. Esto se sustenta con el hecho de que la derivación está estrechamente relacionada con el crecimiento.
Si aceptamos el principio universal que afirma que los cuerpos tienden a tener la menor energía posible (principio de estabilidad), entonces la energía puede utilizarse para describir la dinámica de un objeto sometido a la influencia de un determinado campo.
Definición de la energía potencial gravitatoria
La energía potencial gravitatoria es la energía que tiene un cuerpo bajo la influencia de un campo gravitatorio en función de su masa y su altura respecto a una superficie.
La comprensión de la energía contenida en el campo gravitatorio nos proporciona mucha información física útil sobre la naturaleza de la gravedad y el papel que desempeña en la naturaleza.
Fórmulas de la energía potencial gravitatoria
Vamos a trabajar con la ley de gravitación de Newton, porque ofrece una descripción sencilla —aunque no es la teoría que mejor describe la gravitación—. La principal característica de esta descripción de la gravedad es la simetría esférica, que indica que no hay direcciones espaciales especiales. Comencemos escribiendo la ley de Newton para la intensidad del campo gravitatorio:
\[\vec{Z}=G\cdot \dfrac{M}{r^2}\vec{e_r}\]
Aquí:
- El vector \(\vec{Z}\) es la fuerza gravitatoria
- \(M\) es la masa del cuerpo
- \(r\) es la distancia radial al cuerpo fuente
- \(\vec{e_r}\) es el vector radial unitario, que apunta hacia el cuerpo que general el campo
- \(G\) es la constante universal de gravitación, cuyo valor es aproximadamente \(G=6,67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{m^3/(kg\cdot s^2)}\).
Ahora, presentemos la expresión de la energía potencial gravitatoria \(V\):\[V=-G\cdot \dfrac{M}{r}\]
Vemos que se conserva la simetría esférica: todos los puntos distribuidos en una esfera de radio constante \(r=r_0\) tienen la misma energía potencial gravitatoria.
Por ejemplo, un cuerpo en el Polo Norte tiene la misma energía potencial que un cuerpo en el Polo Sur.
De hecho, todos los cuerpos de la superficie de la Tierra tienen la misma energía potencial gravitatoria, porque todos están a una distancia radial constante del centro de la Tierra.
Se puede ver fácilmente que, diferenciando con respecto a la distancia radial r, obtenemos la expresión de la intensidad del campo gravitatorio. Dado nuestro conocimiento, tenemos que creer en la aparición del vector \(\vec{e_r}\):\[\vec{Z}=\dfrac{dV}{dr}\cdot\vec{e_r}\]
Estas son expresiones para los campos producidos por una masa \(M\). Si queremos considerar la fuerza que experimenta una masa \(m\) bajo la influencia del campo gravitatorio y su energía potencial gravitatoria, simplemente tenemos que multiplicar las expresiones anteriores por un factor \(m\): \[\vec{F}=m\cdot\vec{Z}.\]
Fuerza sobre la masa \(m\) bajo la influencia del campo \(\vec{Z}\).
\[U=m\cdot V.\]
Energía potencial gravitatoria de la masa \(m\) bajo la influencia del campo \(\vec{Z}\).
Consideraciones energéticas del potencial gravitatorio
Comenzamos analizando las unidades de la energía potencial gravitatoria de una masa \(m\). Conociendo las unidades de todas las cantidades implicadas, encontramos que \(mV=(mGM/r)\) corresponde a \(\mathrm{(kg)\cdot(m^3/kg\cdot s^2)\cdot (kg/m)=J\,\,Julios}\) —que son las unidades de energía—. Esta es una de las razones que han llevado a denominar la energía potencial gravitatoria.
Teniendo en cuenta esta noción, recordemos ahora el principio de estabilidad: que establece que los cuerpos tienden a minimizar su energía. Si tomamos la expresión de la energía potencial gravitatoria, vemos (debido al signo negativo) que las energías más bajas se consiguen al reducir la distancia radial con la fuente. El siguiente gráfico te ayudará a entenderlo:
Fig. 1: Energía potencial gravitatoria, frente a distancia radial. La fuerza gravitatoria se calcula haciendo uso de la derivada radial.
Como puedes ver, la energía es menor hacia distancias radiales más bajas (alcanzando asintóticamente una cantidad infinitamente negativa). La magnitud de la fuerza, que puede calcularse como la derivada de la energía potencial gravitatoria, corresponde a la pendiente de la línea tangente en cada punto.
Para distancias radiales mayores, la pendiente disminuye, alcanzando asintóticamente un valor de cero a una distancia radial infinita; lo que, además, indica que la masa ya no está bajo la influencia del campo gravitatorio.
Cómo resolver los ejemplos de energía potencial gravitatoria
En general, si nos preguntan por las distribuciones espaciales, solemos tener que dibujar o describir gráficas que incluyan las ecuaciones del campo (sin incluir la masa de prueba \(m\)). Si nos preguntan por valores concretos para una determinada masa \(m\), tenemos que utilizar las otras dos, recordando que \(U\) es la energía potencial de un objeto que entra en la fórmula de la energía total con un signo menos (en caso de que estuviéramos considerando otras formas de energía como la energía cinética).
Imagina que tenemos un cuerpo que genera un campo gravitatorio con una masa \(M=1,50\cdot 10^{10}\,\mathrm{kg}\) ,y colocamos un cuerpo con una masa \(m=1\,\mathrm{kg}\) para ver su comportamiento bajo el campo gravitatorio creado por el cuerpo con masa \(M\).
Como el cuerpo con masa \(m\) tiene la masa unidad, el valor numérico del campo gravitatorio y la fuerza gravitatoria —por un lado— y el valor numérico del campo potencial gravitatorio y la energía potencial gravitatoria —por otro—, serán iguales. Sin embargo, son conceptos diferentes con unidades distintas.
Podemos calcular todas las funciones y estudiar su comportamiento así:
\[\begin{align} \vec{Z}&=G\dfrac{M}{r^2}\vec{e_r} \\ \vec{F}&=m\cdot\vec{Z} \end{align}\]\[\begin{align} V&=-G\cdot\dfrac{M}{r} \\ U&=m\cdot V \end{align}\]
Para la energía potencial gravitatoria, obtenemos una gráfica similar a la de la Figura 1. Para la fuerza gravitatoria, vamos a ignorar la orientación espacial radial —que requeriría un gráfico complejo—, y representaremos su magnitud en función de la distancia radial \(r\):
Fig. 2: Magnitud de la fuerza gravitatoria frente a la distancia radial.
También observamos que ambas cantidades divergen al acercarse a una distancia radial nula, lo que indica que los objetos no pueden estar infinitamente cerca. Esto restringe la validez de la ley de Newton, en determinadas circunstancias.
Al considerar superficies imaginarias esféricas centradas en la fuente gravitatoria, no cambian la intensidad de la fuerza ni la energía —aunque sí cambia la dirección de la fuerza al dirigirse hacia el centro/fuente—.
Por eso, al desplazarnos sobre la Tierra, que es una superficie casi esférica, no experimentamos cambios en la fuerza de la gravedad. Además, no necesitamos invertir energía para hacerlo (nos cansamos por el rozamiento, no por la gravedad), a no ser que vayamos hacia arriba, como cuando subimos una montaña, porque estamos ganando energía. En cambio, cuando bajamos por una superficie inclinada, perdemos energía, por lo que no nos cuesta ningún esfuerzo.
Muchos deportes extremos se basan en este principio.
Aproximación del potencial gravitatorio en la superficie de un planeta
Para la Tierra y otros cuerpos esféricos, existe una aproximación para los objetos cercanos a la superficie que simplifica considerablemente la fórmula de atracción gravitatoria y de potencial gravitacional. Esta simplificación desplaza el origen de energías, donde la energía es cero (que se encuentra a una distancia radial infinita según la fórmula de Newton) a la superficie de la tierra. La expresión final es:
\[E=m\cdot g\cdot h\]
Aquí,
- \(E\) es la energía potencial gravitatoria para los objetos cercanos a la superficie de la Tierra y el origen de la energía en la superficie.
- \(m\) es la masa del cuerpo, cuya energía potencial gravitatoria estamos calculando.
- \(g\) es la aceleración superficial gravitatoria para la tierra (igual a \(GM/R^2=9,81\,\mathrm{m/s^2}\)).
- \(h\) es la altura sobre la superficie de la Tierra.
Potencial gravitacional - Puntos clave
- La fuerza gravitatoria es un campo conservativo y podemos asociarle una energía con propiedades sencillas.
- El campo gravitatorio es conservativo; es decir, su energía se conserva en bucles cerrados y existe una función llamada potencial gravitatoria que recoge la información sobre el campo y su energía.
- La energía potencial gravitacional es esféricamente simétrica y, por tanto, solo depende de la distancia radial.
- Existen aproximaciones en determinados regímenes para calcular la energía potencial gravitatoria, como la fórmula para objetos cercanos a la superficie terrestre.
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