Durante miles de años, la humanidad estuvo fascinada por las estrellas y los planetas que vagaban por el cielo nocturno, sin poder entender estos movimientos. Pero, cuando Johannes Kepler llegó y explicó cómo los planetas giran alrededor del sol, cambió nuestra comprensión del universo y preparó el camino para la astronomía moderna.
¿Qué son las tres leyes de Kepler?
Las tres leyes de Kepler son un conjunto de tres teoremas que describen el movimiento de los planetas y otros objetos que orbitan en nuestro sistema solar.
Podemos utilizar las definiciones de las leyes de Kepler para explicar las formas de las trayectorias orbitales, comprender los cambios de velocidad de los planetas en movimiento y calcular propiedades como el periodo orbital y la distancia media de un planeta a una estrella.
Fórmulas de las leyes de Kepler
Primera ley de Kepler
La primera ley de Kepler, también llamada ley de las elipses, describe que la forma de una órbita planetaria es elíptica.
La primera ley de Kepler establece que los planetas se mueven en una trayectoria elíptica que se repite, con el sol situado en un punto fijo del semieje mayor.
Una trayectoria elíptica significa que la órbita tiene una excentricidad mayor que cero y que el sol se sitúa en uno de los dos focos: los puntos fijos de su semieje mayor.
Veamos un ejemplo de la primera ley de Kepler, con un diagrama de una órbita planetaria.
Fig. 1: Órbitas elípticas con diferentes excentricidades y el sol como uno de los dos focos (no está a escala).
En este diagrama, tenemos dos elipses que representan la trayectoria de un planeta que orbita alrededor del sol. La elipse A parece mucho más plana y alargada, mientras que la elipse B es casi circular. El sol no está fijado directamente en el centro para las órbitas que no son circulares, lo que significa que hay momentos en los que un planeta estará notablemente más cerca o más lejos del sol. El punto más cercano se llama perihelio, y el más lejano, afelio.
Recuerda que la excentricidad de una elipse es el ratio entre su semidistancia focal (del centro de la elipse a un foco) y su semieje mayor; por tanto, es un indicativo de su forma. Podemos expresarla con la ecuación: \[e=\dfrac{c}{a},\]
donde \(a\) es el semieje mayor y \(c\) la semidistancia focal.
- Una elipse con una excentricidad de \(e=0\) será una circunferencia y una elipse con excentricidad \(e=1\) se aproxima más a una línea.
La órbita de nuestro planeta tiene actualmente una excentricidad de \(e = 0,0167\). El periodo de la Tierra viajando alrededor del sol dura 365 256 días, lo que comúnmente llamamos un año. Ese cuarto de día extra en cada órbita es la razón por la que añadimos un día extra en el calendario durante los años bisiestos.
En realidad, la mayoría de los planetas de nuestro sistema solar tienen órbitas más cercanas a un círculo, con pequeños cambios de excentricidad que se producen en largos periodos de tiempo. Los bocetos de trayectorias en forma de huevo, como el de arriba, ayudan a resaltar la primera ley y nos permiten ver las pequeñas diferencias entre las distintas formas.
Otros objetos, como los cometas, pueden tener órbitas con una excentricidad mucho mayor.
Las órbitas pueden ser otras secciones cónicas, como parábolas e hipérbolas. Una órbita parabólica o hiperbólica significa que la velocidad orbital es igual o mayor que la necesaria para que el objeto escape de su órbita. En un caso así, un objeto esencialmente circula alrededor del cuerpo central y continúa viajando por el espacio, sin regresar.
La órbita de la Tierra pasa de ser casi circular \(e = 0,0034\) a ser ligeramente alargada \(e = 0,058\) en un periodo de unos 100 000 años. Este periodo es independiente del ciclo familiar de viaje alrededor del sol.
Aunque los cambios de excentricidad puedan parecer pequeños, la forma variable de nuestra trayectoria orbital explica por qué las estaciones no tienen siempre la misma duración exacta y por qué la Tierra recibe más luz solar total durante los meses en que estamos más cerca del sol.
Segunda ley de Kepler
La segunda ley de Kepler, también conocida como la ley de las áreas iguales, describe el área cubierta por un planeta en movimiento dada una determinada cantidad de tiempo invariable.
La segunda ley de Kepler establece que, para una línea que une un planeta y el sol, se cubrirán o barrerán áreas iguales a medida que el planeta se mueve en cantidades iguales de tiempo.
En otras palabras, mientras el tiempo transcurrido entre cualquiera de los dos puntos que elijamos sea el mismo, el área también será la misma, sin importar lo cerca o lejos que esté el planeta del sol durante ese tiempo.
Fig. 2: Las leyes de Kepler igualan las áreas cubiertas en tiempos iguales. Las áreas de los triángulos trazados desde el sol a un planeta en dos puntos son iguales, si el tiempo se mantiene constante.
La segunda ley de Kepler también se refiere a la velocidad cambiante de un planeta en movimiento. Si tomamos dos segmentos diferentes del diagrama anterior: para dos puntos más cercanos al sol, el camino recorrido es mucho más largo que para dos puntos más alejados del sol. Sabemos que la velocidad se mantiene igual, por lo que el planeta debe haberse movido más rápido cerca del perihelio y más lento cerca del afelio para cubrir distancias tan diferentes.
Conservación del momento angular
Los cambios de velocidad son inversamente proporcionales a los cambios de distancia al sol. Esto no solo es el razonamiento para que se cubran áreas iguales en cantidades de tiempo iguales, sino que también es un ejemplo de la conservación del momento angular para el movimiento planetario.
El momento angular \(L\) es una cualidad de un cuerpo que gira, como los planetas y otros objetos en órbita. Para sistemas como un objeto que orbita alrededor de un cuerpo central como el sol, es el producto de la masa \(m\), la velocidad \(v\) y la distancia \(r\) desde el centro de masa, con unidades de \(\mathrm{kg\cdot m^2/s}\).
\[L=mvr\]
En términos más generales, el momento angular \(L\) es el producto del momento de inercia \(I\) y la velocidad angular \(\omega\): \[L=I\omega\]
La conservación del momento angular significa que el momento angular en nuestro sistema no puede ser destruido. Si la distancia de un planeta al sol aumenta, la velocidad del planeta en órbita debe disminuir, o el momento angular total habrá cambiado; lo que violaría la ley de conservación.
Una persona que gira en un taburete con los brazos extendidos puede aumentar la velocidad de giro utilizando la conservación del momento angular.
Al acercar los brazos al cuerpo, el centro de masa cambia y la inercia de rotación disminuye. Como resultado, la velocidad de rotación aumenta, pero el momento angular total permanece igual.
Veamos esto desde un ángulo diferente: la fuerza gravitatoria entre el sol y un planeta depende tanto de la masa de cada objeto como de la distancia entre ambos. Debido a esta dependencia de \(M/r^2\), la atracción gravitatoria disminuye rápidamente con la distancia, lo que ocasiona una fuerza gravitatoria más débil experimentada en el lado opuesto del sol.
Sabemos, por la segunda ley de Newton, que las fuerzas están relacionadas con un cambio de velocidad, por lo que una disminución de la fuerza gravitatoria debe implicar también una disminución de la velocidad.
Tercera ley de Kepler
La tercera ley de Kepler también se denomina ley de los periodos. Este teorema describe una relación entre el periodo orbital y el semieje mayor de una órbita elíptica. La tercera ley se denomina a veces ley de Kepler, ya que es la más utilizada de las tres.
La tercera ley de Kepler establece que el periodo orbital de un planeta al cuadrado es proporcional al semieje mayor al cubo.
Podemos escribir la tercera ley de Kepler matemáticamente como: \[T^2\propto a^3\,\,\text{o}T^2=a^3,\]
Donde, \(T\) es el periodo y \(a\) es el semieje mayor de la elipse.
Cuando cambiamos la ley de los periodos a esta forma de ecuación, en realidad hay una constante invisible de proporcionalidad, para los objetos que orbitan alrededor de nuestro sol, unidades de años y unidades astronómicas (UA); esta constante convenientemente resulta ser 1.
Por esta razón, también se puede ver la ley de los periodos escrita de manera muy diferente, como por ejemplo:
\[ \begin{align}T&=\dfrac{2\pi a^{2/3}}{\sqrt{GM_{total}}} \\ \text{o}\,\, \dfrac{T^2}{a^3}&=\dfrac{4\pi^2}{GM_{total}} \end{align}\]
Donde \(G\) es la constante gravitatoria y \(M_{total}\) es la masa total dada en unidades de masas solares.
Esto se conoce como la versión de Newton de la tercera ley de Kepler.
Estas ecuaciones parecen bastante diferentes, así que ¿cómo se relacionan ambas con la relación original? Kepler determinó por primera vez que el tiempo que tarda un planeta en completar una órbita y la distancia al sol están relacionados, pero no entendió por qué. Nuestra elección de unidades funciona bien para los planetas que orbitan alrededor de nuestro sol; sin embargo, deja de funcionar bien para otros sistemas, como la luna que orbita alrededor de la Tierra. La pieza que faltaba en el rompecabezas era la masa. Si nos atenemos a las unidades de años y UA, nuestra constante de proporcionalidad acaba siendo \(1/M_{total}\).
Además, la tercera ley de Kepler también se puede expresar de la siguiente manera, para planetas en el sistema solar o a una cierta distancia del sol: \[T^2=k\cdot r^3,\]
Donde \(k\) es una constante de proporcionalidad llamada constante de Kepler, que tiene un valor de \(k=3\cdot 10^{-19}\,\,\mathrm{s^2/m^3}\), y \(r\) es la distancia al sol.
Esta fórmula la podemos utilizar también con otros astros que no sean el sol; pero, entonces, la constante de Kepler cambiaría su valor.
Ambas son formas correctas de escribir matemáticamente la ley de los periodos. Pero, hay otras formas en las que podemos expresarla: al igual que otras ecuaciones en física, podemos sustituir variables, reordenar y simplificar para encontrar la manera que mejor funcione para un tipo de problema en particular. Por ahora, la forma más importante que debes recordar es la primera forma de la tercera ley de Kepler mencionada anteriormente.
¿Te preguntas cómo hemos obtenido estas ecuaciones? Vamos a derivarlas:
1. Imagina un satélite artificial que orbita circularmente alrededor de la Tierra, con una masa \(m\). El centro de esta órbita circular es el centro de la Tierra, así que mediremos el radio \(r\) desde este punto.
Empecemos con la fórmula de la aceleración centrípeta \[a_c=\dfrac{v^2}{r}\] y la fuerza gravitatoria neta
\[F_g=\dfrac{GM_{\bigoplus}m}{r^2}\] para el satélite —donde \(G\) es la constante gravitatoria y \(M_{\bigoplus}\) la masa de la Tierra—.
Si juntamos esto con la segunda ley de Newton, obtenemos
\[ \begin{align}\dfrac{GM_{\bigoplus}m}{r^2}&=\dfrac{mv^2}{r}\\\rightarrow v_{sat}&=\sqrt{\dfrac{GM_{\bigoplus}}{r}} \end{align} \]
que es la velocidad de un satélite que orbita alrededor de la Tierra.
2. El tiempo que tarda nuestro satélite en dar una vuelta a la Tierra está relacionado con la circunferencia de la órbita y la velocidad del satélite: \[T=\dfrac{2\pi r}{v}\]
Introduciendo la expresión de \(v\) anterior y simplificándola, nos da \[T=\dfrac{2\pi r^{3/2}}{\sqrt{GM_{\bigoplus}}}\],
que es el periodo para una órbita circular alrededor de la Tierra.
3. Si estás pensando "¿Pero, no estábamos hablando de órbitas elípticas?", es una buena observación.
Aunque empezamos con la derivación para una órbita circular, la misma ecuación es válida para las elípticas. Los círculos no son más que un caso de elipse donde la excentricidad es cero.
Para generalizarla, solo hay que cambiar el radio \(r\) por el semieje mayor, \(a\), y la masa de la Tierra por la masa total \(M_{total}\): \[T=\dfrac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{GM_{total}}}\].
Si la no dependencia de la excentricidad de la elipse te resulta inquietante, recuerda la segunda ley de Kepler: un objeto con una órbita circular tiene una velocidad constante; pero, un objeto con una órbita elíptica experimenta cambios en su velocidad en diferentes puntos de su órbita. Esto hace que el periodo orbital sea igual para dos objetos con el mismo semieje mayor (o radio), pero con excentricidades completamente diferentes.
4. Podemos simplificar la ecuación anterior para obtener una forma más ordenada y sencilla de la ley de periodos corregida de Newton: \[\begin{align} T^2=\left(\dfrac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{GM_{total}}}\right)\rightarrow \dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM_{total}}\\\rightarrow T^2=Const\cdot a^3 \end{align}\]
Cuando se utilizan años para el periodo y unidades astronómicas para el semieje mayor, la constante se simplifica a \(1/M_{total}\). Para los problemas relacionados con nuestro sol, este factor acaba siendo igual a 1, cuando se mide en unidades de masas solares.
Si no estás seguro de qué forma usar, recuerda estos consejos para resolver los problemas de la tercera ley de Kepler:
- Si un problema implica encontrar un periodo orbital o una distancia alrededor del sol, emplea la forma simplificada de la ley de los periodos de Kepler. Recuerda emplear o convertir a unidades de años y UA.
- Para otras estrellas o sistemas orbitales sin nuestro sol, utiliza la versión de Newton de la tercera ley \(\dfrac{a^3}{T^2}=M_{total}\), de nuevo con unidades de años y UA. Recuerda que tus unidades de masa estarán en masas solares, no en kilogramos.
- Si no usas unidades de años y UA, tendrás que usar la versión completa de la tercera ley.
Leyes que describen las órbitas planetarias: las leyes de Kepler
Veamos un par de ejemplos en los que se utiliza la tercera ley de Kepler para encontrar la distancia media de planetas en la órbita del sol.
El planeta Venus tiene un periodo orbital de 225 días. Encuentra la distancia media de Venus al sol.
Empezaremos con la ecuación de la tercera ley de Kepler: \[\dfrac{a^3}{T^2}=1\]
Pero, tenemos que convertir los días en años, antes de utilizar nuestra ecuación:
\[\dfrac{225\,\,\mathrm{dias}}{365\,\,\mathrm{dias/año}}=0,616\,\,\mathrm{años}\]
Ahora, solo tenemos que introducir nuestro valor de \(T\) y resolver para \(a\)
\[a=T^{2/3}=0,616^{2/3}\\\rightarrow a=0,724\,\,\mathrm{UA} \]
que coincide con el valor aceptado para la distancia media de Venus al sol.
Podemos utilizar esta relación para encontrar el periodo orbital o la distancia media al sol, si conocemos una de estas dos variables.
Veamos otro ejemplo de la tercera ley de Kepler, esta vez con un exoplaneta.
Un exoplaneta tiene una distancia media a su estrella de \(9,35\cdot 10^7\,\,\mathrm{km}\) y un periodo orbital de 4,89 días. Encuentra la masa combinada del planeta y su estrella, en unidades de masa solar.
Primero, convirtamos la distancia media en UA:
\[\dfrac{9,350\cdot 10^7\,\,\mathrm{km}}{1,4696\cdot 10^8\,\,\mathrm{km/UA}}=0,0625\,\,\mathrm{UA}\]
A continuación, convirtamos los días en años:
\[\dfrac{4,89\,\,\mathrm{dias}}{365\,\,\mathrm{dias/año}}=0,0134\,\,\mathrm{años}\]
Para encontrar la masa combinada en relación con una masa solar, podemos utilizar la forma \(T^2 = \dfrac{a^3}{M_{total}}\) de la tercera ley de Kepler. Recuerda que, con las unidades correctas, hay un valor constante para la masa total en un lado de la ecuación; ese es el valor que queremos resolver:
\[\begin{align}M=\dfrac{a^3}{T^2}=\dfrac{0,0625^3}{0,01342^2}=1,36\,\,\mathrm{m}\\\rightarrow M=1,36M_{\bigodot}\end{align}\]
Las leyes de Kepler siguen siendo válidas para los objetos fuera de nuestro sistema solar, únicamente tenemos que tener en cuenta que la masa de la estrella es diferente de la masa del sol.
¿Cómo se acercan las leyes de Kepler a la realidad?
Las tres leyes de Kepler son aproximaciones: hacen suposiciones que simplifican el movimiento planetario. Suponemos que solo hay una estrella y un planeta cuando, en realidad, sabemos que un sistema puede tener varios planetas e incluso más de una estrella. Pero, como la masa de una estrella domina de forma abrumadora, estas aproximaciones funcionan muy bien para el modelado simple del movimiento planetario.
Leyes de Kepler - Puntos clave
- Las leyes de Kepler del movimiento planetario son un conjunto de tres relaciones que describen el movimiento de los planetas y otros objetos en órbita en el espacio.
- Las tres leyes de Kepler son aproximaciones, pero funcionan bien con la masa dominante del sol.
- La ley de las elipses nos dice que los planetas orbitan a lo largo de una trayectoria elíptica que se repite, con el sol en un punto fijo llamado foco.
- La ley de las áreas iguales nos dice que, dada una línea entre un planeta en movimiento y el sol, se cubrirán áreas iguales en cantidades iguales de tiempo.
- La ley de los periodos nos dice que el periodo orbital al cuadrado es proporcional a la distancia de un objeto al sol al cubo.
- Dado que las tres leyes de Kepler son universales, podemos aplicarlas a otros objetos en órbita en el espacio, incluyendo cometas y planetas fuera de nuestro sistema solar.
References
- Fig. 2: Kepler's Second Law ([[File:Keplers Second Law.svg|Keplers_Second_Law]]) by Whiteknight (https://en.wikibooks.org/wiki/User:Whiteknight) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/).
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