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¿A qué velocidad tendrías que disparar una bala de cañón hacia el cielo para que dejara atrás el planeta y volara al espacio? La velocidad necesaria para que esto ocurra se llama velocidad de escape. La velocidad de escape es un concepto para cualquier campo que ejerce una fuerza de atracción sobre un objeto. Esencialmente, es la velocidad necesaria para que…
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Jetzt kostenlos anmelden¿A qué velocidad tendrías que disparar una bala de cañón hacia el cielo para que dejara atrás el planeta y volara al espacio? La velocidad necesaria para que esto ocurra se llama velocidad de escape.
La velocidad de escape es un concepto para cualquier campo que ejerce una fuerza de atracción sobre un objeto. Esencialmente, es la velocidad necesaria para que el objeto escape de la influencia del campo de atracción, a partir de un determinado punto espacial.
En esta explicación, nos centramos específicamente en el campo gravitatorio creado por la Tierra.
Fig. 1: Un cohete debe tener una velocidad inicial superior a la velocidad de escape de la Tierra para poder viajar al espacio.
Para obtener la fórmula de la velocidad de escape, empezamos por escribir la fórmula de la energía total de un cuerpo en presencia de un campo gravitatorio descrito por la ley de gravitación de Newton:
\[E=U+E_k=-G\dfrac{M\cdot m}{r}+\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\]
Donde,
Considera un objeto en la superficie de la Tierra, como una pelota o un cohete espacial. Si el objeto no tiene velocidad, su energía viene dada simplemente por la energía potencial. Sin embargo, si el objeto pasa a estar en movimiento, su velocidad determinará el crecimiento de la energía cinética (y de la energía total).
Considera, ahora, un punto situado a una distancia radial infinita de la Tierra. Como la distancia radial está en el denominador de la fórmula de la energía potencial, la energía potencial gravitatoria es cero, si la distancia radial es infinita. Esto significa que un cuerpo estático a una distancia radial infinita tiene energía cero. Sin embargo, si el objeto tiene una determinada velocidad, tendrá energía cinética y, por tanto, energía total distinta de cero.
Recuerda el principio de conservación de la energía: la energía se conserva para los sistemas aislados. La energía se conserva, ya que no estamos considerando ningún otro elemento, además de la Tierra y un determinado cuerpo. Esto implica que la energía de un cuerpo en la superficie de la Tierra debe ser la misma que la energía del cuerpo a una distancia infinita.
Teniendo esto en cuenta, podemos clasificar las posibles trayectorias de un cuerpo así:
Con esta clasificación, podemos ver que para que un cuerpo escape a una distancia radial infinita, necesita tener como mínimo energía cero. Por tanto, si estamos en la superficie de la Tierra, podemos encontrar la velocidad de escape \(v_e\) igualando la energía a cero:
\[ \begin{align} 0&=E=-G\cdot \dfrac{M\cdot m}{r_E}+\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v_e^2 \\ \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v_e^2&=G\cdot\dfrac{M\cdot m}{r_E} \\ v_e^2&=G\cdot\dfrac{M\cdot m}{r_E}\cdot\dfrac{2}{m}=\dfrac{2\cdot G\cdot M}{r_E} \\ v_e&=\sqrt{\dfrac{2\cdot G\cdot M}{r_E}} \\\end{align} \]
Aquí, \(r_E\) es el radio de la Tierra (aproximadamente \(6371\,\mathrm{km}\)).
Utilizando valores reales, encontramos que la velocidad de escape de un cuerpo en la superficie de la Tierra es independiente de su masa y tiene un valor aproximado de \(11,2\,\mathrm{km/s}\).
Calculemos la velocidad de escape de otro planeta:
¿Cuál es la velocidad de escape de Marte, que tiene una masa de \(6,39\cdot 10^{23}\,\mathrm{kg}\) y un radio de \(3,34\cdot 10^6\,\mathrm{m}\)?
La velocidad de escape viene dada por la ecuación:
\[ v=\sqrt{\dfrac{2\cdot G\cdot M}{r}}\]
Si introduces los valores dados en la pregunta, obtienes \(v=5,05\cdot 10^3\,\mathrm{m/s}\) como velocidad de escape desde la superficie de Marte.
¿Qué ocurre si un objeto se encuentra en la atmósfera, pero no es lo suficientemente rápido para escapar? En este caso, el cuerpo queda atrapado bajo la influencia del campo gravitatorio terrestre y sigue órbitas (cerradas) alrededor de la Tierra.
Las órbitas cerradas para la interacción determinada por la ley gravitatoria de Newton suelen ser elípticas. Las elipses pueden adoptar muchas formas, que están determinadas por parámetros específicos. Para una combinación única de estos parámetros, obtenemos un círculo; que es, simplemente, un caso muy especial de una elipse con propiedades singulares.
Aunque el estudio de las órbitas circulares es una enorme simplificación, nos ayuda a comprender el concepto de velocidad de escape: observa que la mayoría de los planetas de nuestro sistema solar siguen órbitas elípticas que son casi circulares. Puedes consultar nuestra explicación sobre las órbitas planetarias para obtener más información al respecto.
Para las órbitas circulares, existe una relación entre la velocidad orbital \(v_0\) del objeto y la distancia radial \(r\) desde el centro de la Tierra. Podemos deducirla utilizando la ecuación de la fuerza centrípeta, ya que esta viene dada por la atracción gravitatoria hacia el objeto en órbita:
\[ \begin{align} \dfrac{m\cdot v_0^2}{r}&=\dfrac{G\cdot M\cdot m}{r^2} \\ v_0^2\cdot r&=G\cdot M \\ v_0&=\sqrt{\dfrac{G\cdot M}{r}} \end{align} \]
Esto implica que, en función de la altitud de la órbita, los cuerpos orbitan a una determinada velocidad. La velocidad orbital no debe confundirse con la velocidad de escape \(v_e\), puesto que difieren en un factor de \(\sqrt{2}\).
\[ v_e=\sqrt{\dfrac{2\cdot G\cdot M}{r}}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\dfrac{G\cdot M}{r}}=\sqrt{2}\cdot v_0 \approx 1,4142\cdot v_0\]
Esto significa que cualquier satélite con una órbita estable alrededor de la Tierra tendría que aumentar su velocidad en un 41,42 % para escapar de la gravedad terrestre.
Si observas la imagen siguiente, puedes ver las diferentes trayectorias de un objeto en función de su velocidad inicial:
Fig. 2: Diferentes trayectorias de un objeto en función de su velocidad inicial.
La velocidad orbital no debe confundirse con la velocidad de escape, ya que difieren en un factor de \(\sqrt{2}\).
La velocidad de escape es la velocidad a la que debe desplazarse un cuerpo, para escapar de la influencia de un campo de atracción, desde un punto determinado.
La velocidad de escape se calcula con la siguiente fórmula:
(ve)2=2·G·M / re
Si un objeto se encuentra en la atmósfera, pero no es lo suficientemente rápido para escapar, el objeto seguirá órbitas cerradas alrededor de la Tierra.
La velocidad de escape de Marte es 5,05·103 m/s.
La velocidad de escape de la Tierra es, aproximadamente, 1.4142V0.
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