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No puedo decir mucho sobre el fitness y la meditación, pero estar centrado es extremadamente importante para la física. En este artículo exploraremos las implicaciones del centro de gravedad y cómo estar "centrado" puede tener un impacto enorme en el resultado de un problema de física.
Centro de gravedad Conocimientos previos
Para hablar del centro de gravedad, conviene repasar primero el concepto de centro de masa.
El centro de masa de un sistema es la posición media de la distribución de masas de un objeto o sistema.
En el punto del centro de masa, el sistema puede considerarse como una sola partícula. Este concepto tiene un valor astronómico para los físicos, porque simplifica muchos problemas con sistemas complejos. El centro de masa también puede implicarse como el lugar en el que una fuerza exterior actúa sobre la totalidad del sistema u objeto, sea cual sea el que tratemos.
Fuerza gravitatoria
Para entender el centro de gravedad, debemos comprender la fuerza gravitatoria.
La fuerza de gravedad es una atracción (la gravedad es siempre atracción) debida a la masividad de un objeto.
La magnitud de la fuerza de la gravedad puede calcularse con esta fórmula
$$F_g = G\frac{m_1 m_2}{r^2},$$
donde \(F_g\) es la magnitud de la fuerza de gravedad, \(G\) es la constante gravitatoria que es igual a \(6,674×10^{-11},\mathrm{\frac{ m^3}{kg\,s^2}\}), \(m_1\) es tu primera masa, \(m_2\) es tu segunda masa, y \(r\) es la distancia entre el centro de masas de los dos objetos.
En general, la fuerza de gravedad sobre dos objetos se hace sentir siempre sobre la línea que une los centros de masas de ambos objetos.
Fig. 1 - Observa cómo las dos masas ejercen entre sí una fuerza igual y opuesta a lo largo de la línea que une sus centros de masa.
En la sección en la que explicamos el centro de masa, aprendimos que las fuerzas que actúan sobre un objeto o sistema concreto se consideran como si actuaran sobre el centro de masa de dicho objeto o sistema. Este principio también se aplica a la fuerza de la gravedad. La gravedad actuará siempre a lo largo del centro de masa de un objeto o sistema en presencia de un campo gravitatorio uniforme.
La gravedad es una fuerza que actúa sin necesidad de contacto físico; esto significa que la fuerza puede sentirse en regiones dispersas del espacio y que podemos pensar que el espacio está cubierto por un campo gravitatorio uniforme.
Podemos calcular la fuerza del campo gravitatorio, \( g \) utilizando la fórmula de la fuerza gravitatoria. $$\mid\vec g\mid=\frac{\mid\vec F_g\mid}{m}\\=G\frac{M}{r^2}\\{,}$$
cuyas variables sólo difieren de la anterior en la notación de las masas. Aquí \(M\) es la fuente del campo gravitatorio, y \(m\) es la masa del objeto sometido a ese campo. La notación utilizada para \( \mid\vec g\mid \) y \( \mid\vec F_g\mid \) significa que sólo estamos utilizando la magnitud de esos vectores.
Si utilizamos los valores de la masa y el radio de la Tierra, encontramos que
\bin{aligned} g & = G\frac{M}{r^2}\ g & = \frac{left(6,67 \times 10^{-11}\};\mathrm{\frac{N m^2}{kg^2}\}right)5.(6,37 veces 10^6;\mathrm{m})^2) g & aproximadamente 10,\mathrm{frac{N}{kg}}. \fin{alineado}
Es importante observar que, para un objeto situado a cierta altura \( h \) de la superficie de la Tierra, el valor de \( r \) que tendríamos que utilizar sería la suma del radio de la Tierra, \( r_\text{E} \) más esa altura, \( r=r_\text{E} +h. \) Sin embargo, normalmente, esta altura es demasiado pequeña en comparación con el radio de la Tierra,
$$r = r_\text{E} +h \aprox r_\text{E}.$$
Por tanto, no supone una diferencia apreciable incluir esta altura en nuestros cálculos. Por eso podemos modelar la fuerza del campo gravitatorio en la Tierra como constante y calcular simplemente el peso de cualquier objeto como $$w = mg,$$
sin tener en cuenta la altura del objeto respecto a la superficie de la Tierra. Sin embargo, se trata de una aproximación, y si la altura es lo suficientemente grande, debemos tenerla en cuenta en nuestros cálculos.
Para cualquier aplicación en la que podamos modelizar el campo gravitatorio terrestre como constante, podemos considerar que ejerce la fuerza total sobre el centro de masa del objeto.
Definición del centro de gravedad
Ahora que conocemos bien el centro de masa y la fuerza gravitatoria, estamos preparados para comprender qué significa el centro de gravedad.
El centro de gravedad es similar al centro de masa, con una diferencia clave.
El centro de gravedad de un sistema es la posición media de la distribución del peso de un objeto o sistema.
Elpeso es la fuerza total que actúa sobre un objeto debido a la fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo astronómico.
Esto significa que el centro de gravedad es el punto de un objeto o sistema donde se encuentra la media de todo el peso. Por tanto, el centro de gravedad podría denominarse apropiadamente centro de peso.
Centro de gravedad vs. Centro de masa
El centro de masa y el centro de gravedad son muy similares. Para comprender mejor en qué se diferencian, debemos entender las diferencias entre masa y peso.
La masa es la cantidad de "cosa" o materia que hay dentro de un objeto. Es una cantidad escalar que no cambia en un sistema. El peso es una fuerza causada por la interacción con un campo gravitatorio. Es una cantidad vectorial que puede cambiar porque la fuerza de la gravedad es diferente según la intensidad del campo gravitatorio. Por lo tanto, si fueras a la Luna, tendrías un peso distinto que en la Tierra, porque el campo gravitatorio de la Luna es más débil.
El centro de masa es siempre el mismo porque depende de la distribución de masas. Sin embargo, el centro de gravedad puede cambiar porque depende del campo gravitatorio.
En un campo gravitatorio uniforme, ¡el centro de masa y el centro de gravedad están situados en el mismo punto!
Cálculo del centro de gravedad
Como hemos dicho antes, hallar el centro de masa equivale a hallar el centro de gravedad en un campo gravitatorio uniforme. La ecuación para el centro de masa de un sistema de partículas es
$$x_{mathrm{cm}} =\frac{\suma m_i x_i}{\suma m_i}\$$
donde \(x_{mathrm{cm}}) es la posición del centro de masa del sistema, \(m_i\) es el valor de la masa de una de las partículas que lo componen, y \(x_i\) es la posición de la partícula.
Observa que la ecuación del centro de masa es simplemente hallar la posición media de toda la masa (es sumar todas las partes constituyentes, cada masa por su distancia, y dividir por toda la masa del sistema, lo que nos deja sólo un valor de posición).
Si se da una función de densidad de masa para un sólido, se puede determinar la masa total integrando la densidad de masa sobre la longitud (1 dimensión), el área (2 dimensiones) o el volumen (3 dimensiones) del sólido. Por ejemplo, podríamos utilizar la ecuación \(\int M_\text{total} =p(r) \mathrm{d}V\), que toma una función de densidad \(p(r)\) como integrada, ¡para resolver la masa total de un sólido!
En los sistemas u objetos con distribución simétrica de la masa, el centro de masa se encuentra en las líneas de simetría.
Por tanto, para hallar el centro de masa de un sistema compuesto por infinitas masas diferenciales \(\mathrm{d}m\) (éste es el término matemático para "trocitos muy pequeños") podemos utilizar la siguiente fórmula
$$\vec{r}_{\mathrm{cm}}=\frac{\int \vec{r} \mathrm{d}m}{\int \mathrm{d}m}.$$
Esta ecuación es similar a la ecuación para un sistema de partículas con posición \(x\). Sin embargo, es más general y potente porque integramos la diferencial de una función de masa que nos dice cómo está distribuida la masa en el sistema y utiliza un vector de posición \(\vec r\). Así, esta fórmula funciona para cualquier sistema que describa un cuerpo de tamaño finito.
Fórmula del centro de gravedad
Sin embargo, a veces, no tenemos un campo gravitatorio uniforme. En ese caso, utilizamos las mismas fórmulas anteriores, ¡pero sustituimos todas las masas por su peso! Podemos hacerlo porque el centro de masa y el centro de gravedad son conceptualmente lo mismo; ¡uno tiene que ver simplemente con la masa y el otro con el peso! Por lo tanto, nuestras ecuaciones anteriores se convierten en
$$x_{\mathrm{cw}} =\frac{\suma w_i x_i}{\suma w_i},$$
y
$$\vec r_{mathrm{cw}} =\frac{\int r \mathrm{d}w}{\int \mathrm{d}w},$$
respectivamente.
Centro de gravedad y centro de masa en un campo gravitatorio uniforme
Considera un campo gravitatorio constante como el que utilizamos para modelar el de la Tierra. Entonces, para un sistema de partículas, tenemos:
$$\begin{aligned}x_{\mathrm{cm}} &=\frac{\suma w_i x_i}{\suma w_i}\ x_{\mathrm{cm}}&= \frac {w_1x_1+w_2x_2+ \ldots}{w_1+w_2+ \ldots}{x_{mathrm{cm}}&= \frac {gm_1x_1+gm_2x_2+ \ldots}{gm_1+gm_2+ \ldots}{x_{mathrm{cm}} &= \frac{\bcancel{g}(m_1x_1+m_2x_2+ \ldots)}{\bcancel{g}( m_1+m_2+ \ldots)}{\i} x_{mathrm{cm}} &= \frac{m_1x_1+m_2x_2+ \ldots}{\1+m_2+ \ldots}{\i} x{mathrm{cm}&= x_{mathrm{cm}}.fin{aligned}$$
Aunque no es necesario que sepas cómo deducir la equivalencia del centro de masa y la gravedad como hacemos más arriba, sí es necesario que recuerdes el concepto esencial de que el centro de masa es igual al centro de gravedad en un campo gravitatorio uniforme.
Ejemplos de centro de gravedad
¿Cómo podríamos escribir un artículo sobre el centro de gravedad sin hablar de gimnasios en la jungla?
Bob y Jimmy están sentados en un gimnasio de la selva. Jane se desliza hacia abajo por una parte diagonal del gimnasio de la selva inclinada a \(30^\circ\). La fuerza normal que actúa sobre ella por la inclinación es \(500 \mathrm{N}). Bob tiene una masa de \(60\,\mathrm{kg}\), y Jimmy tiene una masa de \(70\,\mathrm{kg}\). Desde el punto más a la izquierda del gimnasio de la selva, Bob está a \(1,5,\mathrm), Jimmy a \(2,75,\mathrm) y Jane a \(5,\mathrm). ¿Dónde está el centro de gravedad de Bob, Jimmy y Jane, como sistema, con respecto al punto más a la izquierda del gimnasio de la selva?
Recuerda nuestra fórmula para el centro de gravedad
$$x_{cm} =\frac{\suma w_i x_i}{\suma w_i}\\mathrm{.}$$
Primero, encontremos todos los pesos. Recuerda que tenemos que multiplicar \(60\,\mathrm{kg}) por \(10\,\mathrm{\frac{N}{kg}}) para obtener el peso de Bob, que es la fuerza sobre Bob debida a la gravedad. Por tanto
$$60\,\mathrm{kg}\times 10\,\mathrm{\frac{N}{kg}\\}=600\,\mathrm{N},$$
es el peso de Bob.
Ahora pasaremos a Jimmy:
$$70\,\mathrm{kg}\times 10\,\mathrm{\frac{N}{kg}\\}=700\,\mathrm{N.}$$
Para hallar el peso de Jane, necesitamos calcular la fuerza normal ascendente ejercida sobre ella. Para ello, tratamos su posición como un triángulo rectángulo con las fuerzas que actúan sobre ella como longitudes de los lados.
El vector morado de la imagen anterior, etiquetado como \(\vec{F}_\mathrm{N}\), es la fuerza normal que actúa sobre Jane, cuya magnitud nos viene dada en el problema como \(500 \,\mathrm{N}\). Para hallar la magnitud del peso de Jane, recuerda que la fuerza normal es igual a la componente perpendicular del peso, como se representa en la figura 4. A partir de esta relación, podemos resolver el peso.
$$\begin{align*} |\vec F_\mathrm{N}| &= F_\mathrm{N} \\ w &= mg F_\mathrm{N} &= mg\cos{30.0^\\circ } F_\mathrm{N} &= w\cos{30,0^\\circ } w&= frac{F_\mathrm{N}{coscos{30,0^\\circ .}} \\ fin{align*}$$
Calculemos ahora su peso utilizando el resultado anterior:
$$w=\frac{5,00\times 10^2 \,\mathrm{N}}{\cos{30,0^\circ}}=577,\mathrm{N.}$$
Ahora que conocemos todos los pesos, estamos preparados para utilizar la fórmula del centro de gravedad.
x_{texto{cw} &= \suma{frac}{w_ix_i}{w_i}[8pt] x_{texto{cw} &= \frac{(6,00veces10^2,\mathrm{N})1,50;\mathrm{m}+ (7,00veces10^2,\mathrm{N}) 2,75;\mathrm{m} + (577) 5.000 veces el número total de células de la célula. + 700 + [8pt]x_{texto{cw}} &= 3,04,{{mathrm{m}}end{alineado}$$.
Por tanto, el centro de gravedad del sistema está a \(3,04\,\mathrm{m}) de la parte más a la izquierda del gimnasio. ¡Vaya ejercicio de física!
Pasemos ahora a un ejemplo que profundizará un poco en tus conocimientos de cálculo.
Imagina que queremos diseñar una megaestructura y necesitamos determinar el centro de gravedad de una varilla de \(3\,000\,\mathrm{km}\) de longitud. Podemos modelar la varilla como unidimensional, por lo que podemos describir su distribución de masa con una función de densidad de masa lineal \( \lambda (y) \). La varilla debe estar parcialmente enterrada, de modo que sólo sea visible \(2\,000\,\mathrm{km}\). Para tus cálculos, utiliza el centro de la Tierra como origen y considera el radio de la Tierra como \(6\,371\,\mathrm{km})). ¿A qué altura estaría el centro de gravedad de esta barra?
Solución
La densidad lineal de la masa de una varilla recta es la derivada de la masa de la varilla respecto a la posición (en este caso, es constante):
$$\lambda = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}y}.$$
Esto significa que
$$\mathrm{d}m = \lambda\mathrm{d}y$$
Recordemos que la fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre una partícula de masa \( m \) es el peso de la partícula. Y podemos calcularlo con la fórmula
$$ w = F_g =G\frac{M_{texto{Tierra}}m}{r^2} $$
En este caso, tenemos que utilizar esta fórmula, y no podemos considerar la constante de fuerza gravitatoria porque la longitud de nuestro sistema (\( 3\,000\;\mathrm{km}\)) no es despreciable en comparación con el radio de la Tierra (\(6\,371\,\mathrm{km}\)). Ahora, consideramos que la barra está formada por infinitos trozos de masa, \( dm, \) situados a una distancia \( y \) del centro de la Tierra. Por tanto, la ecuación para el peso de ese trozo de masa se convierte en
$$ \mathrm{d}w =G\frac{M_{texto{Tierra}}\mathrm{d}m}{y^2}.$$
Ya estamos casi listos para utilizar nuestra fórmula para el centro de masa:
$$\vec y_{mathrm{cw}} =\frac{\int y \mathrm{d}w}{\int \mathrm{d}w}\mathrm{.}$$
Observa que aquí sólo consideramos una dimensión, por lo que utilizamos \( y \) en lugar de \( \vec{r} .\) Como estamos midiendo la distancia con respecto al centro de la Tierra, la distancia al principio de la varilla es \[6,371,\mathrm{km}-1000;\;\mathrm{km}=5371;\mathrm{km},\}].
ya que los primeros \( 1\,000\;\mathrm{km} \) de la varilla están enterrados. Del mismo modo, la distancia de la parte superior de la varilla al centro de la Tierra es
\[6\,371\,\mathrm{km}+2\,000\;\mathrm{km}=8371\;\mathrm{km}.\]
Esto se debe a que el resto (2.000) sobresale de la superficie de la Tierra. ¡Estos valores definen nuestros límites de integración!
Fig. 4 - Esta imagen nos ayuda a visualizar el escenario.
Ahora tenemos todo lo que necesitamos, y podemos sustituir todos nuestros datos en la fórmula para el centro de gravedad.
$$\begin{aligned}y_{\text{cw} &= \frac{\int y \textcolor{#00b695}{\mathrm{d}w}{\textcolor{#00b695}{\mathrm{d}w}[8pt]y_{\text{cw} &= \frac {{displaystyle\int}} y \textcolor{#00b695}{\frac{GM_{texto{Tierra}}{mathrm{d}m}{y^2}}{{{displaystyle\int}{{textcolor{#00b695}{\frac{GM_{texto{Tierra}}{mathrm{d}m}{y^2}}. }}\\[8pt]y_{\text{cw}} &= \frac{\textcolor{#00b695}{\bcancel{\textcolor{black}{G}}} \textcolor{#1478c8}{\bcancel{\textcolor{black}{M_{\text{Earth}}}}} \displaystyle\int y \frac{\mathrm{d}m}{y^2}}{\textcolor{#00b695}{\bcancel{\textcolor{black}{G}}} \textcolor{#1478c8}{\bcancel{\textcolor{black}{M_{\text{Earth}}}}} \displaystyle\int \frac{\mathrm{d}m}{y^2}}\\[8pt]y_{\text{cw}} &= \frac{\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}m}{y}}{\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}m}{y^2}}\end{aligned}$$
Observa que la \(G\) y la \(M_{texto{Tierra}}) se anulan. ¡Darnos la masa de la Tierra sólo era un intento de despistarnos!
Ahora reescribamos el diferencial de masa utilizando la densidad de masa lineal. Recordemos que descubrimos que \( \mathrm{d}m = \lambda dy \). Utilizar este resultado nos permite integrar con respecto a \( y \) y utilizar los límites de integración que determinamos anteriormente.
$$\begin{aligned} y_{\text{cm} &= \frac{\displaystyle \int \frac{\textcolor{#00b695}{\mathrm{d}m}{y}{\frac{\textcolor{#00b695}{\mathrm{d}m}{y^2}[10pt]y_{\text{cm} &= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = == \frac{\bcancel{\lambda} \displaystyle\int \frac{\mathrm{d}y}{y}}{\bcancel{\lambda} \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}y}{y^2}{end{aligned}$$.
Podemos eliminar la densidad lineal de la integral porque es constante. Por último, integremos utilizando los límites que encontramos antes y simplifiquemos.
$$\begin{aligned} y_{\text{cm}} &= \frac{\displaystyle\int_{5,371}^{8,371}} \frac{ \mathrm{d}y}{y}}{\displaystyle\int_{5\,371}^{8\,371} \y_{\text{cm}} &= \frac{\ln(y)\Big |_{5\,371}^{8\,371}} {[10pt]izquierda. -\frac{1}{y}\right|_{5\,371}^{8\,371}}\\[10pt]y_{\text{cm}} &= \frac{\ln(8\,371)-\ln(5\,371)}{\frac{1}{5\,371}-\frac{1}{8\,371}}\\[10pt]y_{\text{cm}} &= 6\, 651\end{aligned}$$
Por tanto, el centro de gravedad de la varilla está a \(6\,651\km) del centro de la Tierra, lo que significa que el centro está a
$$6\,651\;\mathrm{km}- 6\,371\,\mathrm{km} = 280\,\mathrm{km}$$
por encima de la superficie terrestre. Recuerda que la mitad de la longitud de la varilla está a \$$ 1\$$ 500\$;\mathrm{km}$), pero como \$$ 1\$$ 000\$;\mathrm{km}$) está enterrada hacia abajo, el centro geométrico estaría \$$ 500\$;\mathrm{km}$) por encima de la superficie. Por tanto, ¡el centro de gravedad de la barra no está en su centro geométrico!
Fig. 5 - Observa que el centro de masa no está en el mismo lugar que el centro de gravedad.
Esto se debe a que el campo gravitatorio de la Tierra cambia con la distancia, y es más fuerte cerca de la parte inferior de la varilla, más cerca del centro de masa de la Tierra.
Ahora ve a probar de nuevo ese Nivel Zen en Wii Fit, a ver si tus conocimientos de física te convierten en un maestro.
Centro de gravedad - Puntos clave
El centro de masa de un sistema es la posición media de la distribución de masas de un objeto o sistema.
El centro de gravedad de un sistema es la posición media de la distribución del peso de un objeto o sistema.
Se considera que las fuerzas que actúan sobre un objeto o sistema concreto actúan sobre el centro de masa de dicho objeto o sistema. En general, la fuerza de gravedad ejercida por dos objetos se siente siempre sobre la línea que une los centros de masas de ambos objetos.
Peso es la cantidad de fuerza que actúa sobre un objeto debido a la fuerza gravitatoria de un cuerpo astronómico.
El centro de gravedad está situado en el centro de masa para un campo gravitatorio uniforme.
En la Tierra, la fuerza del campo gravitatorio puede considerarse constante, con un valor aproximado de \( 10\;\mathrm{\frac{N}{kg}}. \) Esto nos permite calcular el peso de un objeto como \( w=mg \). Sin embargo, si las dimensiones del objeto o su altura respecto a la superficie de la Tierra son considerables, esta aproximación no será exacta.
En los sistemas u objetos con distribución simétrica de la masa, el centro de masa se encuentra en la línea de simetría.
Si el campo gravitatorio no es uniforme, podemos calcularlo mediante la fórmula $$x_{cm} =\frac{\suma W_i x_i}{\suma W_i},$$ si se trata de un sistema de partículas, o podemos utilizar $$\vec r_{mathrm{cw}} =\frac{\int r \mathrm{d}w}{\int \mathrm{d}w},$$ si se trata de un cuerpo de tamaño finito.
Referencias
- Fig. 1 - Fuerza gravitatoria, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - Gimnasio de madera con tobogán (https://www.publicdomainpictures.net/en/view-image.php?image=101134&picture=wooden-jungle-gym-with-slide) de Lynn Greyling (http://www.artseasons.co.za/) tiene licencia CC0 1.0 (https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/)
- Fig. 3 - Persona en un plano inclinado, StudySmarter Originals
- Fig. 4 - Barra en la Tierra, StudySmarter Originals
- Fig. 5 - Barra sobre la Tierra con centro de masa y centro de gravedad, StudySmarter Originals
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