Cambio de Momento Lineal

Fórmula del cambio de momento

Para entender qué es un cambio de momento, primero debemos definir el momento. Recuerda que el momento es una cantidad que se da a un objeto debido a su velocidad \(\vec{v}\) y a su masa \(m\), y lo representa una \(\vec p\) minúscula:

$$\vec p = m \vec v\mathrm{.}$$

Cuanto mayor es el impulso, más le cuesta a un objeto cambiar su estado de movimiento de en movimiento a estacionario. A un objeto en movimiento con un impulso considerable le cuesta detenerse y, por el contrario, a un objeto en movimiento con poco impulso le resulta fácil detenerse.

Por tanto, suponiendo que la masa de un objeto no cambie, el impulso es igual a la masa multiplicada por el cambio de velocidad. Definiendo nuestro impulso final

$$\vec p_\text{f}=m\vec v_\text{f}\mathrm{,}$$

y nuestro momento inicial

$$\vec p_\text{i}=m\vec v_\text{i}\mathrm{,}$$

nos permite escribir una ecuación para el cambio total del momento de un sistema, escrita como

$$\vec{J}=\Delta \vec p = \vec p_\text{f}- \vec p_\text{i}=m(\vec v_\text{f}- \vec v_text{i})=m\Delta \vec v,$$

donde \(\Delta \vec p\) es nuestro cambio de momento, \(m\) es nuestra masa, \(\vec v\) es nuestra velocidad, \(\text{i}\) significa inicial, \(\text{f}\) significa final, y \(\Delta \vec v\) es nuestro cambio de velocidad.

Tasa de cambio del momento

Ahora vamos a demostrar cómo la tasa de cambio del momento equivale a la fuerza neta que actúa sobre el objeto o sistema.

Todos hemos oído que la segunda ley de Newton es \(F = ma\); sin embargo, cuando Newton escribió por primera vez la ley, tenía en mente la idea de momento lineal. Por lo tanto, veamos si podemos escribir la segunda ley de Newton de forma un poco diferente. Empezando por

$$\vec F_\text{net}= m \vec a$$

nos permite ver una correlación entre la segunda ley de Newton y momento lineal. Recordemos que la aceleración es la derivada de la velocidad. Por tanto, podemos escribir nuestra nueva fórmula de fuerza como

$$\vec F_\text{net}= m \frac{\mathrm{d}\vec v}{\mathrm{d}t}{\mathrm{.}$$

Es esencial observar el cambio que se ha realizado. La aceleración no es más que el índice de cambio de la velocidad , por lo que sustituirla por \(\frac{mathrm{d}\vec v}{mathrm{d} t}) es válido. Como la masa \(m\) permanece constante, vemos que la fuerza neta es igual a la velocidad de cambio del impulso:

$$\vec F_\text{net} = \frac{,\mathrm{d}(m\vec v)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d} \vec p} {mathrm{d} t} .$$

Podemos reordenar esto para obtener

\[\mathrm{d}\vec{p}=\vec{F}_\text{net}\,\mathrm{d}t.\]

Con esta nueva perspectiva de la segunda ley de Newton, vemos que el cambio de momento, o impulso, puede escribirse de la siguiente manera:

\[\vec{J}=\Delta\vec{p}=\int\,\mathrm{d}\vec{p}=\int\vec{F}_\text{net}\,\mathrm{d}t.\]

• El cambio de momento, o impulso (representado por la letra mayúscula \(\vec J)\), es la diferencia entre el momento inicial y final de un sistema. Por tanto, es igual a la masa multiplicada por el cambio de velocidad.
• ¡La segunda ley de Newton es un resultado directo del teorema del impulso-momento cuando la masa es constante! El teorema del impulso-momento relaciona el cambio de momento con la fuerza neta ejercida:

  $$\vec F_\text{net} = \frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t} = m\frac{\mathrm{d}\vec v}{\mathrm{d} t} = m\vec a.$$

• Como resultado, el impulso viene dado por\[\vec{J}=int\vec{F}_\text{net},\mathrm{d}t.\].

En física, a menudo tratamos con colisiones: no tiene por qué ser algo tan grande como un accidente de coche, puede ser algo tan simple como una hoja que pasa rozando tu hombro.

El momento de un sistema en colisión siempre se conserva. Sin embargo, la energía mecánica no tiene por qué conservarse necesariamente. Existen dos tipos de colisiones: elásticas e inelásticas.

Colisiones elásticas y momento

En primer lugar, hablaremos de las colisiones elásticas. "Elástico" en física significa que la energía y el momento del sistema se conservan.

Esto implica que la energía y el momento totales serán los mismos antes y después de la colisión.

La fig. 4 es un gran ejemplo de colisión elástica en acción. Observa cómo el movimiento se transfiere completamente del objeto izquierdo al derecho. Es una señal fantástica de una colisión elástica.

Colisiones inelásticas y momento

Pasemos ahora al gemelo malvado, que dista mucho de ser perfecto.

Un ejemplo es lanzar un chicle a una papelera que flota en el espacio (especificamos que está en el espacio porque no queremos tener en cuenta la rotación de la Tierra en nuestros cálculos). Unavez que el chicle emprende el vuelo, tiene una masa y una velocidad; por tanto, podemos afirmar que también tiene momento. Al final, chocará contra la superficie de la lata y se pegará. Por tanto, la energía no se conserva porque parte de la energía cinética del chicle se disipará en la fricción cuando el chicle se pegue a la lata. Sin embargo, el momento total del sistema se conserva porque ninguna otra fuerza exterior ha podido actuar sobre nuestro sistema chicle-cubo de basura. Esto significa que el cubo de basura ganará un poco de velocidad cuando el chicle choque con él.

El cambio variable de momento de un sistema

Todos los ejemplos de colisiones anteriores implican un impulso constante. En todas las colisiones, el momento total del sistema se conserva. Sin embargo, el momento de un sistema no se conserva cuando dicho sistema interactúa con fuerzas externas: éste es un concepto fundamental que hay que comprender. Las interacciones dentro de un sistema conservan el momento, pero cuando un sistema interactúa con su entorno, el momento total del sistema no se conserva necesariamente. Esto se debe a que, en este caso, puede haber una fuerza neta distinta de cero que actúe sobre el sistema, dando a todo el sistema un impulso distinto de cero a lo largo del tiempo (a través de esa ecuación integral que escribimos antes).

Ejemplos de cambio de impulso

Ahora que sabemos lo que son el cambio de momento y las colisiones, podemos empezar a aplicarlos a escenarios del mundo real. No sería una lección de colisiones sin choques de coches, ¿verdad? Hablemos de cómo interviene el cambio de momento en las colisiones: primero, un ejemplo.