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Fig. 1 - Un huracán que demuestra el movimiento de rotación.
Definición de movimiento de rotación
A continuación definiremos el movimiento de rotación y discutiremos cómo se divide en diferentes tipos.
ElMovimiento de Rotación se define como un tipo de movimiento asociado a objetos que se desplazan siguiendo una trayectoria circular.
Tipos de movimiento de rotación
El Movimiento de Rotación puede dividirse en tres tipos.
- Movimiento alrededor de un eje fijo: También se conoce como rotación pura y describe la rotación de un objeto alrededor de un punto fijo. Algunos ejemplos son la rotación de las aspas de un ventilador o la rotación de las agujas de un reloj analógico, ya que ambas giran alrededor de un punto fijo central.
- Combinación de movimiento de rotación y traslación. Este movimiento describe un objeto, cuyos componentes pueden girar en torno a un punto fijo, mientras que el propio objeto se desplaza a lo largo de una trayectoria lineal. Un ejemplo es la rodadura de las ruedas de un coche. Las ruedas tienen dos velocidades, una debida al giro de la rueda y otra debida al movimiento de traslación del coche.
- Rotación alrededor de un eje de rotación. Este movimiento describe los objetos que giran alrededor de un eje al mismo tiempo que giran alrededor de otro objeto. Un ejemplo es la Tierra orbitando alrededor del Sol mientras también gira sobre su propio eje.
Física del movimiento de rotación
La física del movimiento de rotación se describe mediante un concepto conocido como cinemática. La cinemática es un campo de la física que se centra en el movimiento de un objeto sin hacer referencia a las fuerzas que causan el movimiento. La cinemática se centra en variables como la aceleración, la velocidad, el desplazamiento y el tiempo, que pueden escribirse en términos de movimiento lineal o rotacional. Al estudiar el movimiento de rotación, utilizamos el concepto de cinemática de rotación. La cinemática rotacional se refiere al movimiento de rotación y trata de la relación entre las variables del movimiento de rotación.
Observa que la velocidad, la aceleración y el desplazamiento son magnitudes vectoriales, lo que significa que tienen magnitud y dirección.
Variables del movimiento de rotación
Las variables del movimiento de rotación son
Velocidad angular, \(\omega\)
La velocidad angular es el cambio del ángulo con respecto al tiempo. Su fórmula correspondiente es $$ \omega = \frac{\theta}{t}$$ donde la velocidad angular se mide en radianes por segundo, \(\mathrm{\frac{rad}{s}}).
La derivada de esta ecuación da como resultado la ecuación
$$\omega = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t},$$
que es la definición de velocidad angular instantánea.
Aceleración angular , \(\alfa\)
La aceleración angular es la variación de la velocidad angular con respecto al tiempo. Su fórmula correspondiente es $$ \alpha = \frac{\omega}{t} $$ donde la aceleración angular se mide en radianes por segundo al cuadrado, \(\mathrm{\frac{rad}{s^2}}).
La derivada de esta ecuación da la ecuación
$$\alpha = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t},$$
que es la definición de la aceleración angular instantánea.
Desplazamiento angular, \(\theta\)
El desplazamiento angular es el producto de la velocidad angular y el tiempo. Su fórmula correspondiente es $$ \theta = \omega t $$ donde el desplazamiento angular se mide en radianes, \(\mathrm{rad}\).
Tiempo, \(t\)
El tiempo es tiempo. $$ \mathrm{time} = t $$ donde el tiempo se mide en segundos, \(s\).
Relación entre la cinemática rotacional y la cinemática lineal
Antes de profundizar en la cinemática rotacional, debemos asegurarnos de reconocer y comprender la relación entre las variables cinemáticas. Esto puede verse al observar las variables de la tabla siguiente.
| Variable | Lineal | Lineal Unidades SI | Angular | Angular Unidades SI | Relación |
| aceleración | $$a$$ | $$\frac{m}{s^2}$$ | $$$alfa$$ | $$\mathrm{\frac{rad}{s^2}}$$ | $$\begin{aligned}a &= \alpha r \\alpha &= \frac{a}{r}\end{aligned}$$ |
| velocidad | $$v$$ | $$\frac{m}{s}$$ | \(\omega) | $$\mathrm{\frac{rad}{s}}$$ | $$\begin{aligned}v &= \omega r \\\omega &= \frac{v}{r}\end{aligned}$$ |
| desplazamiento | $$x$$ | $$m$$ | \$$m$$ | $$\mathrm{rad}$$ | $$\begin{aligned}x &= \theta r \\theta &= \frac{x}{r}\end{aligned}$$$ |
| tiempo | $$t$$ | $$s$$ | \(t\) | $$\mathrm{s}$$ | $$t = t$$ |
Observa que \(r\) representa el radio y que el tiempo es el mismo tanto en el movimiento lineal como en el angular.
En consecuencia, las ecuaciones cinemáticas del movimiento pueden escribirse en términos de movimiento lineal y rotacional. Sin embargo, es importante comprender que, aunque las ecuaciones se escriban en términos de variables diferentes, tienen la misma forma porque el movimiento de rotación es la contrapartida equivalente del movimiento lineal.
Recuerda que estas ecuaciones cinemáticas sólo se aplican cuando la aceleración, para el movimiento lineal, y la aceleración angular, para el movimiento de rotación, son constantes.
Fórmulas del movimiento de rotación
La relación entre el movimiento de rotación y las variables del movimiento de rotación se expresa mediante tres ecuaciones cinemáticas, a cada una de las cuales le falta una variable cinemática.
$$\omega=\omega_{o} + \alfa{t}$$
$$\Delta{\theta} =\omega_o{t}+\frac{1}{2}{\alpha}t$$
$$\omega^2={\omega_{o}}^2 +2{\alpha}\Delta{\theta}$$
donde \(\omega\) es la aceleración angular final, \(\omega_0\) es la velocidad angular inicial, \(\alpha\) es la aceleración angular, \(t\) es el tiempo, y \( \Delta{\theta}\) es el desplazamiento angular.
Estas ecuaciones cinemáticas sólo se aplican cuando la aceleración angular es constante.
Cinemática rotacional y dinámica rotacional
Como hemos hablado de cinemática rotacional, también es importante que hablemos de dinámica rotacional. La dinámica rotacional trata del movimiento de un objeto y de las fuerzas que hacen que el objeto gire. En el movimiento de rotación, sabemos que esta fuerza es el par.
Segunda ley de Newton para el movimiento de rotación
A continuación definiremos el par y su correspondiente fórmula matemática.
Par de torsión
Para formular la segunda ley de Newton en términos de movimiento de rotación, primero debemos definir el par.
Elpar se representa por \(\tau\) y se define como la cantidad de fuerza aplicada a un objeto que hará que gire alrededor de un eje.
La ecuación del par se puede escribir de la misma forma que la segunda ley de Newton, \(F=ma\), y se expresa como $$\tau = I \alpha$$
donde \(I\) es el momento de inercia y \(\alpha\) es la aceleración angular. El par puede expresarse así, ya que es el equivalente rotacional de la fuerza.
Observa que el momento de inercia es la medida de la resistencia de un objeto a la aceleración angular. Las fórmulas relativas al momento de inercia de un objeto variarán en función de la forma del objeto.
Sin embargo, cuando el sistema está en reposo, se dice que está en equilibrio rotacional. El equilibrio rotacional se define como un estado en el que ni el estado de movimiento de un sistema ni su estado de energía interna cambian con respecto al tiempo. Por tanto, para que un sistema esté en equilibrio, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él debe ser cero. En el movimiento de rotación, esto significa que la suma de todos los pares que actúan sobre un sistema debe ser igual a cero.
$$ \suma \tau = 0 $$
La suma de todos los pares que actúan sobre un sistema puede ser cero si los pares actúan en sentidos opuestos, anulándose.
Par y aceleración angular
La relación entre la aceleración angular y el par se expresa cuando la ecuación, \( \tau={I}\alpha \) se reordena para resolver la aceleración angular. El resultado es que la ecuación se convierte en \( \alpha=\frac{\tau}{I} \). Así, podemos determinar que la aceleración angular es proporcional al par e inversamente proporcional al momento de inercia.
Ejemplos de movimiento de rotación
Para resolver ejemplos de movimiento de rotación, se pueden utilizar las cinco ecuaciones cinemáticas de rotación. Como ya hemos definido el movimiento de rotación y discutido su relación con la cinemática y el movimiento lineal, vamos a trabajar con algunos ejemplos para comprender mejor el movimiento de rotación. Ten en cuenta que antes de resolver un problema, debemos recordar siempre estos sencillos pasos:
- Lee el problema e identifica todas las variables que aparecen en él.
- Determina qué pide el problema y qué fórmulas se necesitan.
- Aplica las fórmulas necesarias y resuelve el problema.
- Haz un dibujo si es necesario para proporcionar una ayuda visual.
Ejemplo 1
Apliquemos las ecuaciones cinemáticas de rotación a una peonza.
Una peonza, inicialmente en reposo, gira y se mueve con una velocidad angular de \(3,5,\mathrm{\frac{rad}{s}). Calcula la aceleración angular de la peonza tras \(1,5\,\mathrm{s}).
Fig. 2 - Una peonza que demuestra el movimiento de rotación.
Basándonos en el problema, se nos da lo siguiente
- velocidad inicial
- velocidad final
- tiempo
Como resultado, podemos identificar y utilizar la ecuación, ,\( \omega=\omega_{o} + \alpha{t} \) para resolver este problema. Por tanto, nuestros cálculos son
$$\begin{aligned}\omega &= \omega_{o} + \alpha{t} \\\omega-\omega_{o} &= \alpha{t} \\alpha &= \frac{\omega-\omega_{o}}{t} \\alpha &= \frac{3,5,\frac{rad}{s}- 0}{1,5,s} \\\alpha &= 2,33,\frac{rad}{s}\end{aligned}$$
La aceleración angular de la parte superior es \(2,33,\mathrm{\frac{rad}{s^2}).
Ejemplo 2
A continuación haremos lo mismo con un tornado.
¿Cuál es la aceleración angular de un tornado, inicialmente en reposo, si se da que su velocidad angular es \(95\,\mathrm{\frac{rad}{s}) después de \(7,5\,\mathrm{s})? ¿Cuál es el desplazamiento angular del tornado?
Fig. 3 - Un tornado que muestra movimiento de rotación.
Basándonos en el problema, se nos da lo siguiente
- velocidad inicial
- velocidad final
- tiempo
Como resultado, podemos identificar y utilizar la ecuación, \( \omega=\omega_{o}+\alpha{t} \), para resolver la primera parte de este problema. Por tanto, nuestros cálculos son:\begin{align}\omega &= \omega_{o} + \alpha{t} \\\omega-\omega_{o} &= \alpha{t} \\alpha &= \frac{\omega-\omega_{o}}{t} \\alpha &= \frac{95,\mathrm{\frac{rad}{s} - 0}{7,5}{mathrm}{s} \\\alpha &= 12,67\mathrm{\frac{rad}{s^2}\end{align}
Ahora, utilizando este valor de aceleración angular calculado y la ecuación, \( \Delta{\theta}=\omega_o{t}+\frac{1}{2}{\alpha}t \), podemos calcular el desplazamiento angular del tornado de la siguiente manera:\begin{align}\Delta{\theta} &= \omega_o{t}+\frac{1}{2}{alpha}t \\Delta{\theta} &= \left(0\right) \left(7.5,\mathrm{s}derecha) + \frac {1} {2} izquierda(12,67,\mathrm{\frac{rad} {s^2} derecha)\ izquierda({7,5,\mathrm{s}derecha)^2\Delta{\theta} &= \frac {1} {2} izquierda(12,67,\mathrm{s}derecha)^267,\mathrm{\frac{rad}{s^2} \ right) ({7,5,\mathrm{s})^2 \\Delta{\theta} &= 356,3,\mathrm{rad}\end{align}.
El desplazamiento angular del tornado es \(356,3,\mathrm{rad}).
Ejemplo 3
Para nuestro último ejemplo, aplicaremos la ecuación del par a un objeto en rotación.
Un objeto, cuyo momento de inercia es \( 32\,\mathrm{\frac{kg}{m^2}}) gira con una aceleración angular de \( 6,8\,\mathrm{\frac{rad}{s^2}}). Calcula la cantidad de par necesaria para que este objeto gire alrededor de un eje.
Tras leer el problema, se nos da
- aceleración angular
- momento de inercia
Por tanto, aplicando la ecuación del momento de torsión expresada en la forma de la segunda ley de Newton, nuestros cálculos serán los siguientes:\begin{align}\tau &= {I}\alpha \\\\tau &= \left(32\,\mathrm{\frac{kg}{m^2}\right)\left(6.8,\mathrm{\frac{rad}{s^2} derecha)\tau &= 217,6,\mathrm{N\,m}\end{align}
La cantidad de par necesaria para girar el objeto alrededor de un eje es ( 217,6, m ).
Movimiento de rotación - Puntos clave
- Movimiento de rotación se define como un tipo de movimiento asociado a objetos que se desplazan siguiendo una trayectoria circular.
- Los tipos de movimiento de rotación incluyen el movimiento alrededor de un eje fijo, el movimiento alrededor de un eje en rotación y una combinación de movimiento de rotación y movimiento de traslación.
- Cinemática rotacional se refiere al movimiento rotacional y trata la relación entre las variables del movimiento rotacional.
- Las variables del movimiento de rotación incluyen la aceleración angular, la velocidad angular, el desplazamiento angular y el tiempo.
- Las variables del movimiento de rotación y las ecuaciones cinemáticas de rotación pueden escribirse en términos de movimiento lineal.
- El movimiento de rotación es la contrapartida equivalente al movimiento lineal.
- La dinámica rotacional se ocupa del movimiento de un objeto y de las fuerzas que hacen que el objeto gire, que es el par.
- El par se define como la cantidad de fuerza aplicada a un objeto que hará que gire alrededor de un eje y se puede escribir en términos de la Segunda Ley de Newton.
- Cuando la suma de todos los pares que actúan sobre un sistema es igual a cero, se dice que el sistema está en equilibrio rotacional.
Referencias
- Fig. 1 - Ojo de la tormenta desde el espacio exterior (https://www.pexels.com/photo/eye-of-the-storm-image-from-outer-space-71116/) por pixabay (https://www.pexels.com/@pixabay/) dominio público
- Fig. 2 - Jarrón de cerámica con rayas multicolores (https://www.pexels.com/photo/multi-color-striped-ceramic-vase-972511/) por Markus Spiske (https://www.pexels.com/@markusspiske/) dominio público
- Fig. 3 - Tornado en una masa de agua durante la hora dorada (https://www.pexels.com/photo/tornado-on-body-of-water-during-golden-hour-1119974/) de Johannes Plenio (https://www.pexels.com/@jplenio/) dominio público
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