Velocidad media y aceleración

Definición de velocidad media y aceleración media

Definiremos la velocidad media y la aceleración, y discutiremos sus fórmulas matemáticas correspondientes.

Velocidad media

La velocidad media es una cantidad vectorial que depende de la posición final e inicial de un objeto.

La fórmula matemática correspondiente a esta definición es $$v_{text{avg}}=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$$.

donde \( \Delta{x} \ ) representa el cambio de posición y \ ( \Delta{t} \) representa el cambio de tiempo.

También se puede calcular la velocidad media utilizando los valores inicial y final de la velocidad.

$$v_{texto{avg}=\frac{v_o + v}{2}$$

donde \( v_o \) es la velocidad inicial y \ ( v \) es la velocidad final.

Esta ecuación se puede derivar de la ecuación cinemática de la distancia media de la siguiente manera:

$$\begin{aligned}\Delta{x}=& \frac{v_o+v}{2}(t) \frac{\Delta{x}}{t}= & \frac{v_o+v}{2} \\ v_{\text{avg}}= & \frac{v_o+v}{2}. \\ fin{alineado}$$

Ya que hemos definido la velocidad media y discutido dos fórmulas correspondientes que podemos utilizar para determinar su valor, vamos a resolver un ejemplo sencillo que nos ayude a entenderlo antes de seguir adelante.

Aceleración media

La aceleración media es una cantidad vectorial que depende de las velocidades final e inicial de un objeto.

La fórmula matemática correspondiente a esta definición varía en función de distintas magnitudes, como la velocidad y el tiempo o la velocidad y la distancia.

Presentaremos la fórmula en otro apartado. Pero antes, discutiremos dos formas de calcular la velocidad media dadas unas variables cinemáticas.

Cálculo de la velocidad media a partir de las variables aceleración y tiempo

Arriba vimos que la definición de velocidad media no depende de los valores intermedios de la velocidad a lo largo de un intervalo de tiempo. Esto significa que sólo necesitamos los valores de la velocidad inicial y final de un objeto si queremos calcular su velocidad media. Pero, ¿qué ocurre si, en lugar de conocer la velocidad inicial y final, sólo conocemos la velocidad inicial y la aceleración? ¿Podemos seguir determinando la velocidad media? ¡Sí! Pero, para ello, tenemos que utilizar las ecuaciones cinemáticas.

¿Qué es la cinemática? Bien, la cinemática es un campo de la física que se centra en el movimiento de un objeto sin referencia a las fuerzas que lo causan. El estudio de la cinemática se centra en cuatro variables: velocidad, aceleración, desplazamiento y tiempo. Observa que la velocidad, la aceleración y el desplazamiento son todos vectores, lo que significa que tienen magnitud y dirección. Por tanto, la relación entre estas variables se describe mediante las tres ecuaciones cinemáticas.

Estas son la ecuación cinemática lineal

$$v=v_o + at;$$

la ecuación cinemática cuadrática,

$$\Delta{x}=v_o{t} + \frac{1}{2}at^2;$$

y la ecuación cinemática independiente del tiempo,

$$v^2= {v_o}^2 + 2a\Delta{x}.$$

Aquí \( v \) es la velocidad final, \ ( v_o \) es la velocidad inicial, \ ( a \) es la aceleración, \ ( t \) es el tiempo, y \( \Delta{x} \) es el desplazamiento.

Para calcular la velocidad media a partir de la aceleración y el tiempo, partimos de la ecuación cinemática cuadrática:

$$\begin{aligned}\Delta{x}&=v_o{t} + \frac{1}{2}at^2 \frac{1}{2}at)\frac{{1}{x}&= t(v_o + \frac{1}{2}at)\frac{1}{x}{t}&=v_o + \frac{1}{2}at \v_{texto{avg}&= v_o + \frac{1}{2}at.\final{alineado}$$

Por tanto, laecuación \( v_{{text{avg}}= v_o + \frac{1}{2}en \) puede determinar la velocidad media. Yendo un paso más allá, podemos introducir la definición de aceleración, \( {a=\frac{\Delta{v}}{t} \), y volver a obtener la ecuación de la velocidad media, que sólo incluye sus cantidades inicial y final.

$$\begin{aligned}v_{text{avg}}&= v_o + \frac{1}{2}at \ v_{text{avg}}&= v_o + \frac{1}{2}{\frac{Delta{v}}t} v_{text{avg}}&= v_o + \frac{1}{2}{Delta{v}}t= v_o + \frac{1}{2}{Delta{v} \frac{1}{2}{2}{v_texto{avg}&= \frac{2}{v_o + (v-v_o)}{2}{v_texto{avg}&= \frac{v_o + v}{2}{v_texto{avg}&= \frac{1}{2}{izquierda(v_o + v\derecha)}.\\\fin{alineado}$$

Con esto hemos comprobado que, efectivamente, la velocidad media sólo depende de la velocidad inicial y final. Veamos ahora cómo podemos calcular la velocidad media a partir de una representación gráfica.

Cálculo de la velocidad media a partir de una gráfica aceleración-tiempo

Otra forma de calcular la velocidad media es mediante una gráfica de aceleración-tiempo. Al observar una gráfica de aceleración-tiempo, puedes determinar la velocidad del objeto, ya que el área bajo la curva de aceleración es el cambio de velocidad.

$$\text{Área}=\Delta{v}.$$

Por ejemplo, la gráfica de aceleración-tiempo que aparece a continuación representa la función, \( a(t)=0,5t+5 \). Utilizándola, podemos demostrar que el cambio de velocidad corresponde al área bajo la curva.

Fig. 1 Determinación de la velocidad media a partir de una gráfica aceleración-tiempo.

Utilizando esta gráfica, podemos averiguar cuál será la velocidad después de un tiempo determinado, entendiendo que la velocidad es la integral de la aceleración

$$v=\int_{t_1}^{t_2}a(t)$$

donde la integral de la aceleración es el área bajo la curva y representa el cambio de velocidad. Por tanto

v&=int_{t_1=0}^{t_2=5}(0,5t +5)dt\ v&=frac{0.5t^2}{2}+5t \\v&=\left(\frac{0.5(5)^2}{2}+5(5))-(\frac{0.5(0)^2}{2}+5(0)\right)\\v&=31.25\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\\\end{aligned}$$

Podemos comprobar este resultado calculando el área de dos formas distintas (un triángulo y un rectángulo), como muestra la primera figura.

Empieza calculando el área del rectángulo azul:

$$\begin{aligned}\text{Area}&=(\text{height})(\text{width})=hw \\\text{Area}&=(5)(5)\\ \text{Area}&=25.\\\end{aligned}$$

Calcula ahora el área del triángulo verde:

$$\begin{aligned}\text{Area}&=\frac{1}{2}\left(\text{base}\right)\left(\text{height}\right)=\frac{1}{2}bh \\\text{Area}&=\frac{1}{2}\left(5\right)\left(2.5\right)\\ \text{Area}&=6.25.\\\end{aligned}$$

Ahora, sumando estas dos, obtenemos el resultado del área bajo la curva:

$$\begin{aligned}\text{Area}_{\text{(curve)}}&=\text{Area}_{(\text{rec})}+ \text{Area}_{(\text{tri})} \text{Area}_{(\text{curva})}&= 25 + 6,25 \text{Area}_{(\text{curva})}&=31,25.\nd{aligned}$$

Los valores coinciden claramente, lo que demuestra que en la gráfica aceleración-tiempo, el área bajo la curva representa el cambio de velocidad.

Cálculo de la aceleración media dada la velocidad y el tiempo

Para calcular la aceleración media a una velocidad y un tiempo dados, la fórmula matemática adecuada para empezar es

$$a_{avg}=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}$$

donde \( \Delta{v} \) representa el cambio de velocidad y \ ( \Delta{t} \) representa el cambio de tiempo.

A continuación veremos cómo cambia el método para calcular la aceleración si nos han dado la distancia en lugar del tiempo.

Cálculo de la aceleración media con la velocidad y la distancia

Para calcular la aceleración media a partir de la velocidad y la distancia, tenemos que utilizar una vez más las ecuaciones cinemáticas. Mirando la lista anterior, observa que la primera y la segunda ecuaciones tienen una dependencia temporal explícita. Esto significa que tenemos que descartarlas y utilizar en su lugar la tercera ecuación.

$$\begin{aligned}v^2&={v_o}^2+2a\Delta{x} \\v^2-{v_o}^2&=2a\Delta{x}\\ a&=\frac{v^2-{v_o}^2}{2\Delta{x}}.\\\end{aligned}$$

Recuerda que las ecuaciones cinemáticas sólo son aplicables en caso de aceleración constante. Como la aceleración media en un intervalo de tiempo es constante, la ecuación \( a=\frac{v^2-{v_o}^2}{2\Delta{x}}\) nos permite calcular la aceleración media a partir de la velocidad y la distancia.

Podemos comprobar que la ecuación derivada también es reducible a la definición de aceler ación media.

$$\begin{aligned}a&=\frac{v^2-{v_o}^2}{2\Delta{x}} \\a&=\frac{v^2-{v_o}^2}{2\Delta{t}(v_{\text{avg}})}\\ a&=\frac{(v+v_o)-(v-v_o)}{2\Delta{t}(\frac{v_o +v}{2})}\\a&=\frac{(v-v_o)}{\Delta{t}}\\a&=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}.\\\fin{alineado}$$

Ahora, en la derivación anterior, encontramos una expresión para la aceleración dada la velocidad y la distancia. Tomamos la tercera ecuación cinemática como punto de partida y aislamos en el lado izquierdo la cantidad que queríamos. También podríamos haber manipulado la misma ecuación para resolver otra cantidad.

El ejemplo siguiente ilustra este punto. En él, te dan la aceleración y la distancia y te piden que resuelvas la velocidad final.

Velocidad cero y aceleración media no nula

¿Es posible tener una velocidad cero y una aceleración media distinta de cero? La respuesta a esta pregunta es sí. Imagina que lanzas una pelota directamente al aire. Debido a la gravedad, la pelota tendrá una aceleración constante distinta de cero durante todo su vuelo. Sin embargo, cuando la pelota alcance el punto vertical más alto de su trayectoria, su velocidad será momentáneamente cero. La figura siguiente lo ilustra.

Diagrama que muestra la velocidad cero y la aceleración distinta de cero.CC-Mathsgee