resistencia del aire

¿Qué es la resistencia del aire?

Hasta ahora, en la mayoría de los problemas de física que implican movimiento, se dice explícitamente que la resistencia del aire es despreciable. En la vida real no es así, ya que todos los objetos experimentan cierto nivel de resistencia al atravesar el aire.

El arrastre y la resistencia del aire también son tipos de fricción, pero la palabra se suele utilizar para referirse a cómo se ralentiza un objeto cuando se mueve contra una superficie rugosa o a cómo se ralentizan las superficies rugosas que se mueven unas contra otras. Estas fuerzas de arrastre hacen que el objeto se mueva más despacio al actuar en la dirección del flujo entrante y son proporcionales a la velocidad. Es un tipo de fuerza no conservativa, ya que hace que la energía se disipe.

Las fuerzas de rozamiento entre superficies se producen porque no son perfectamente lisas. Si las observaras a escala microscópica, verías muchas pequeñas protuberancias y una superficie irregular. Cuando las superficies se deslizan unas sobre otras, se atascan un poco debido a que no son completamente planas y se requiere una fuerza para empujarlas una contra otra. Al verse forzadas a moverse, las superficies pueden dañarse un poco.

Esta línea de razonamiento también se aplica cuando los objetos se mueven a través de fluidos (gases y líquidos). Como ya se ha mencionado, el tipo de rozamiento que actúa cuando un objeto se mueve a través de un fluido se denomina arrastre. Por ejemplo, para nadar a través del agua, tienes que empujar el agua para apartarla de tu camino y, a medida que avanzas, se moverá contra tu cuerpo provocando una fuerza de arrastre, lo que hace que vayas más despacio.

Se llama resistencia del aire a la resistencia que actúa sobre algo cuando se mueve en el aire. Tiene un efecto mucho más débil que la resistencia que se experimenta en el agua, ya que el aire es mucho menos denso que el agua, por lo que contiene muchas menos partículas por unidad de volumen y, por tanto, es más fácil apartarlo. Los aviones experimentan resistencia al aire cuando vuelan, pero esto se puede utilizar en su beneficio, ya que se les puede dar forma para que el aire que los rodea se distorsione de modo que los eleve, como se muestra en el diagrama anterior.

Supongamos que tenemos una bola con masa \(m\). La dejamos caer y, al caer, experimentará una fuerza resistiva. La fuerza resistiva matemáticamente es igual a

$$ \vec{F}_{\mathrm{r}} = - k \vec{v} $$

donde \(k\) es una constante positiva, y \(v\) es la velocidad del objeto respecto al medio. El signo negativo indica que la fuerza resistiva va en sentido contrario a la velocidad.

Coeficiente de resistencia del aire

Como ya hemos dicho, \(k\) es una constante de proporcionalidad. Su valor viene determinado por las propiedades del medio y las características propias del objeto. Los principales factores que contribuyen son la densidad del medio, la superficie del objeto y una cantidad adimensional denominada coeficiente de resistencia. En un ejemplo real de un paracaidista, el medio sería el aire y la superficie se referiría al paracaidista o al paracaídas.

Ahora podemos explicar la eficacia de un paracaídas a la hora de frenar a un paracaidista. A medida que aumenta la superficie \(A\) del objeto que cae,

$$ A_{\mathrm{skydiver}} \ll A_{\mathrm{paracaídas}},$$

\(k\) aumenta, por lo que la magnitud de la fuerza resistiva también aumenta, frenando así la caída del objeto.

Veamos un diagrama de cuerpo libre para comprender mejor su movimiento.

Diagrama de cuerpo libre de la resistencia del aire

¿Qué le ocurre a un objeto cuando se deja caer hacia abajo? Experimenta una fuerza descendente en forma de peso y una fuerza de resistencia en sentido contrario al movimiento debido a la resistencia del aire, ambas visualizadas en el diagrama de cuerpo libre que se ve a continuación.

Fig. 1 - Al caer el objeto, la fuerza de resistencia actúa sobre él hacia arriba, mientras que el peso tira de él hacia abajo.

Según la segunda ley de Newton, la fuerza neta que actúa sobre un objeto \(\vec{F}_{mathrm{net}}) es igual a la masa \(m\) del objeto multiplicada por su aceleración \(\vec{a}\). Así que, sabiendo todo esto, podemos obtener la siguiente expresión

$$ m\vec{g} - k\vec{v} = m\vec{a}.$$

Cuando iniciamos el movimiento en \(t=0\), su velocidad inicial es \(\vec{v}_0=0\), por tanto, la fuerza inicial de resistencia del aire también es cero. A medida que pasa el tiempo y el objeto comienza a moverse, finalmente alcanzará una velocidad constante, que se denomina velocidad terminal \(\vec{v}_\mathrm{T}\). Como la velocidad es constante, la aceleración será cero. El lado derecho de la expresión se hace cero, y podemos reordenar los términos restantes

$$ m\vec{g} = k\vec{v}_\mathrm{T} $$

para hallar la ecuación de la velocidad terminal

$$ \vec{v}_\mathrm{T}= \frac{m\vec{g}}{k}. $$

La velocidad terminal se alcanza cuando no hay ninguna fuerza neta aplicada al objeto, lo que significa que la aceleración es cero. Veamos un problema de ejemplo relacionado con la velocidad terminal.

Fórmula de la resistencia del aire

Vamos a hallar ahora la velocidad en función del tiempo. Para ello, tenemos que convertir la segunda ley de Newton en una ecuación diferencial. La aceleración es la primera derivada de la velocidad, así que \(\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}). Entonces podemos escribir

$$ m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=m\vec{g}-k\vec{v}. $$

Separemos nuestras variables:

$$ \frac{mathrm{d}v}{mg- kv}=\frac{mathrm{d}t}{m.$$

Aquí es importante fijar los límites de integración. El tiempo va de cero al tiempo \(t_{{mathrm{f}}). Cuando el tiempo es igual a cero, nuestra velocidad inicial también es cero, y a medida que el tiempo llega a \ (t_{mathrm{f}}), nuestra velocidad se convierte en velocidad \(v_{mathrm{f}}).

$$\int_{0}^{v_\mathrm{f}} \frac{mathrm{d}v}{mg-kv} = \int_{0}^{t_{mathrm{f}} \frac{\mathrm{d}t}{m}$$

Si tomamos la antiderivada, obtendremos un logaritmo natural

$$\left.\frac{\ln(mg-kv)}{-k}\right|_0^{v_\mathrm{f}} = \left.\frac{t}{m}\right|_0^{t_\mathrm{f}}$$

Ahora apliquemos los límites

$$ \begin{align} \frac{\ln(mg-kv_{\mathrm{f}})}{-k} - \frac{{ln(mg)}{-k} & = \frac{t_{mathrm{f}}{m}, \ln \left ( \frac{mg-kv_{mathrm{f}} {mg} \right ) & = \frac{-kt_{mathrm{f}}{m}. \fin{align} $$

Por último, elimina el logaritmo natural:

$$ \begin{align} \mathrm{e}^{ln \left ( \frac{mg- kv_{mathrm{f}} {mg} \right )} &= \mathrm{e}^{{frac{-kt_{mathrm{f}} {m} \frac{mg-kv_{mathrm{f}} &= \mathrm{e}^{\frac{-kt_{mathrm{f}} {m} \ 1- \frac {kv_{mathrm{f}}{mg}&= \mathrm{e}^{\frac {-kt_{mathrm{f}}{m} \frac{kv_{mathrm{f}} {mg} & = 1- \mathrm{e}^{\frac{-kt_{mathrm{f}} {m} \\ v_{mathrm{f}} &= \frac{mg}{k} \left ( 1-\mathrm{e}^{\frac{-kt_{mathrm{f}}}{m} \right ). \fin{align} $$

La versión final de la ecuación incluyendo todos los valores vectoriales es la siguiente

$$ \vec{v_{\mathrm{f}}}=\vec{v}_\mathrm{T} \(1-\mathrm{e}^-\frac{t_{mathrm{f}}}) $$

donde \(T\) es la constante de tiempo e igual a \(\frac{m}{k}}).

¡Y así es como obtenemos la expresión de la velocidad como función del tiempo! La ecuación final confirma nuestras conclusiones anteriores sobre la velocidad terminal. Si el valor de \(t_{mathrm{f}} se fija en cero, \(\vec{v_{mathrm{f}}) también será cero, mientras que si \(t_{mathrm{f}} se fija en algo enorme, digamos el infinito, nos quedará \(\vec{v_{mathrm{f}} = \vec{v_{mathrm{T}}).

Pero, ¿qué ocurriría si la velocidad inicial no fuera cero?

Supongamos que tenemos un coche con una velocidad inicial \(\vec{v}_0) contra una fuerza de resistencia \(\vec{F}_mathrm{r}) que también es igual a \(-k\vec{v}). Cuando dibujamos un diagrama de cuerpo libre del coche, el peso está hacia abajo, la fuerza normal está hacia arriba y la fuerza de resistencia del aire está en la dirección opuesta al movimiento.

En este caso, la velocidad final será cero, y el coche se detendrá. La única fuerza que actúa sobre el objeto en la dirección del movimiento es la fuerza resistiva, por lo que será nuestra fuerza neta. Entonces podemos escribir

$$ m\vec{a} = -k\vec{v}.$$

Vamos a repetir el mismo procedimiento que antes, ya que esto se convierte en una ecuación diferencial cuando escribimos la aceleración como \(\vec{a}=\frac{mathrm{d}\vec{v}}{mathrm{d}t}) y obtenemos

$$ \begin{align} m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} & = - k\vec{v} \frac{\mathrm{d}v}{v} & =\frac{-k}{m} \t. \fin{align}$$

Una vez más, para los cálculos, consideraremos la versión escalar de la ecuación. Aquí tenemos que tomar integrales de ambos lados, pero antes tenemos que decidir los límites. Una vez más, el tiempo va de cero a \(t\). Sin embargo, ahora tenemos una velocidad inicial, por lo que nuestro límite de velocidad va de \(v_0\) a \(v\)

$$\int_{v_0}^{v_{\mathrm{f}}} \frac{mathrm{d}v}{v} = \int_{0}^{t_{mathrm{f}} \frac{-k}{m} \mathrm{d}t. $$

De nuevo, toma la derivada para que tenga un logaritmo natural, aplica los límites y obtén la siguiente expresión

$$ \ln \left ( \frac {v_{mathrm{f}} {v_0} \right ) = \frac {-kt_{mathrm{f}}{m}.$$

Podemos reescribir esto como

$$ \begin{align} \mathrm{e}^{ln \left (\frac{v_{mathrm{f}} {{v_0} \right )} & = \mathrm{e}^{{frac{-kt_{mathrm{f}} {{m}} \\ y = {{mathrm{e}^{{frac{-kt_{mathrm}}{m}}. \fin{align}$$

donde la expresión final que incluye todas las cantidades vectoriales se convierte en

$$ \vec{v_{mathrm{f}} = \vec{v}_0 \mathrm{e}^{frac{-kt_{mathrm{f}}}m.$$

Ejemplo de resistencia del aire

Veamos un problema de ejemplo en el que interviene el mismo paracaidista mencionado antes, ¡para comprobar nuestros conocimientos!

Otros ejemplos de resistencia del aire en nuestra vida cotidiana serían

1. Caminar durante una tormenta supone un reto bastante frecuente. El individuo que camina contra el viento experimenta una gran resistencia, lo que dificulta el avance. La misma razón hace que sea un reto sostener un paraguas en la mano cuando hay un fuerte viento.

2. Una pluma que cae al suelo tiene tendencia a flotar y moverse lentamente, en lugar de caer en cuestión de segundos como otros objetos, de masa ligeramente mayor. La fuerza gravitatoria tira de la pluma hacia la tierra; sin embargo, la fuerza de resistencia del aire impide que la pluma caiga o se mueva mientras está en movimiento.

3. Losaviones de papel, si se construyen correctamente, vuelan sin esfuerzo en el aire. Para conseguirlo, se afila la superficie frontal del avión de papel. Como resultado, el avión de papel corta el aire y escapa a la fuerza de resistencia del aire lo suficiente para mantenerse en el aire durante más tiempo.

4. El motor, las alas y las hélices de un avión real están construidos para proporcionar suficiente empuje para ayudar al avión a superar la fuerza de resistencia del aire. La turbulencia también está causada por la fricción que crea el aire. Las naves espaciales, sin embargo, sólo tienen que preocuparse de la resistencia del aire durante el despegue y el aterrizaje, ya que en el espacio no hay aire.

Fricción y resistencia del aire

Recuerda que la resistencia del aire es un tipo de fricción que se produce en el aire, y la resistencia aerodinámica es un tipo de fricción que se produce en los líquidos.

Similitudes entre la fricción y la resistencia del aire

Aunque la fricción entre superficies sólidas y la resistencia del aire parecen muy diferentes, son muy parecidas y pueden relacionarse entre sí de muchas maneras:

• Fricción entre superficies sólidas y la resistencia del aire, ambas se oponen al movimiento.
• Ambas hacen que los objetos pierdan energía, por lo que se ralentizan.
• Ambas hacen que se produzca calor - los objetos pierden energía cuando liberan energía térmica.
• Tanto la resistencia del aire como la fricción actúan todo el tiempo. Hay algunas situaciones en las que sus efectos son tan pequeños que pueden despreciarse, pero siempre hay al menos alguna fuerza de resistencia que actúa sobre los objetos en movimiento.

Diferencias entre fricción y resistencia del aire

• La resistencia del aire actúa cuando un objeto se mueve a través del aire (arrastre es el término más general para la fuerza resistiva que actúa sobre un objeto que se mueve a través de un fluido) y el proceso que suele denominarse "fricción" se produce entre sólidos (aunque la resistencia del aire también es un tipo de fricción).

• La resistencia del aire suele depender de la velocidad del objeto, la relación entre la fuerza y la velocidad puede cambiar en distintas situaciones dependiendo de otros factores. La fricción entre superficies sólidas no depende de la velocidad relativa de las superficies.
• La resistencia del aire aumenta a medida que aumenta el área de la sección transversal perpendicular a la dirección del movimiento. El área no afecta a la fricción entre sólidos.
• El rozamiento entre un objeto y una superficie depende del peso del objeto.